教案第二讲逻辑代数基础知识.docx
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教案第二讲逻辑代数基础知识
第二讲逻辑代数基础知识
本讲重点
1.三种基本逻辑运算和几种常用逻辑运算;
2.逻辑代数的基本公式、常用公式及定理;
3.逻辑函数及其表示方法。
本讲难点
1.常用逻辑公式的证明;
2.逻辑真值表、逻辑式、逻辑图、波形图之间的相互转换。
教学手段
本讲多数是基础概念问题,宜于教师讲授为主,用多媒体演示为主、板书为辅。
教学步骤
教学内容
设计意图
表达方式
1.回顾上一讲反码、补码和补码运算内容,导入逻辑代数基础知识。
上一讲反码、补码和补码运算内容回顾:
原码:
最高位为符号位,正数为0,负数为1。
补码:
最高位作为符号位,正数为0,负数为1。
正数的补码和它的原码相同;负数的补码需先将原码数值逐位求反,然后在最低位加1。
(逐位求反也是基本逻辑运算之一)
为了与前次课内容衔接,需要进行简单回顾。
之后,引入新教学内容,效果会好。
为了节约课时采用课件PPT演示方式组织教学。
2.提出问题,导入逻辑代数基础知识所要讲述的内容。
1)数字电路、逻辑电路以及逻辑代数之间是何种关系;
2)基本逻辑运算和几种常用逻辑运算有哪些,都是如何定义的;
3)逻辑代数有哪些公式和定理或规则;
4)逻辑函数如何定义其表示方法有哪些;
5)如果有多种方式表示逻辑函数,它们之间如何转换?
用问题激发学生听课的兴趣。
3.对问题的逐一讲解、解答。
3.1讲解数字电路、逻辑电路以及逻辑代数之间是何种关系。
3.2讲解基本逻辑运算和常用逻辑运算概念和定义。
3.2.1讲解基本逻辑运算概念
3.2.2讲解几种常用逻辑运算概念
3.3讲解逻辑代数公式和定理与规则
3.3.1讲解逻辑代数的基本公式和常用公式
3.3.2讲解逻辑代数的基本定理和规则
3.4讲解逻辑函数定义其表示方法
3.4.1讲解逻辑函数定义
3.4.2讲解逻辑函数逻辑函数几种表示方法
3.5讲解逻辑函数表示方法之间的相互转换
3.5.1讲解函数表示方法之间的相互转换
3.5.2讲解逻辑函数的标准与或表示形式
1.数字电路的基本概念
在数字电路中,主要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系,因此数字电路又称逻辑电路,其研究工具是逻辑代数(布尔代数或开关代数)。
逻辑变量:
用字母表示,取值只有1和0。
此时,1和0不再表示数量的大小,只代表两种不同的状态。
表示事件的发生与否、电平的高低、指示灯的亮灭、开关的通断等二值信息。
2.基本逻辑运算和几种常用逻辑运算
✓三种基本逻辑运算
(1)与逻辑(与运算)
与逻辑:
仅当决定事件(Y)发生的所有条件(A,B,C,…)均满足时,事件(Y)才能发生。
表达式为:
Y=A·B·C·…。
例:
开关A,B串联控制灯Y亮或灭。
开关闭合定义为控制事件发生,灯被点亮定义为被控事件发生。
将开关接通记作1,断开记作0;灯亮记作1,灯灭记作0。
可以作出表格来描述与逻辑关系——真值表方式描述。
两个开关均接通时,灯才会亮。
逻辑表达式为:
Y=A·B。
实现与逻辑的电路称为与门。
与门的逻辑符号如下。
(2)或逻辑(或运算)
或逻辑:
当决定事件(Y)发生的各种条件(A,B,C,…)中,只要有一个或多个条件具备,事件(Y)就发生。
表达式为:
Y=A+B+C+…。
例:
开关A,B并联控制灯Y,只要任意有一个开关接通,灯就会亮。
逻辑表达式为:
Y=A+B。
实现或逻辑的电路称为或门。
或门的逻辑符号:
(3)非逻辑(非/反运算)
非逻辑:
当决定事件(Y)发生的条件(A)满足时,事件不发生;条件不满足,事件反而发生。
表达式为:
。
例:
实现非逻辑功能的开关A控制灯Y,如图所示。
实现非逻辑的电路称为非门。
非门的逻辑符号:
✓常用的逻辑运算
①与非运算
逻辑表达式为:
②或非运算
逻辑表达式为:
③异或运算
逻辑表达式为:
④同或运算
逻辑表达式为:
A⊙B
⑤与或非运算
3.逻辑代数有哪些公式和定理或规则
✓逻辑代数的基本公式和常用公式
求证:
A+BC=(A+B)(A+C)
证明:
右式=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC=A+A(B+C)+BC
=A(1+B+C)+BC=A·1+BC=A+BC=左式
注:
也可以用真值表证明。
公式推广:
A+BCD…=(A+B)(A+CD…)
=(A+B)(A+C)(A+D)…
求证反演律正确性的真值表证明法:
包含律公式推广:
✓逻辑代数的基本定理/规则
①代入定理/规则
在任一含有变量A的逻辑等式中,如果用另一个逻辑函数去代替所有的变量A,则等式仍然成立。
例:
已知等式
,若令A=X+Y,则
。
②对偶定理/规则
对偶式:
逻辑函数式Y中,进行乘←→加互换,0←→1互换,得到的新逻辑式称为Y的对偶式。
对偶规则:
有一逻辑等式,对等号两边进行对偶变换,得到的新逻辑函数式仍然相等。
例:
A·(B+C)=A·B+A·C←→A+B·C=(A+B)·(A+C)。
③反演定理/规则
逻辑函数式Y中,进行乘←→加互换,0←→1互换,原变量←→反变量互换,得到的新的逻辑式为Y。
应用反演规则应注意两点:
©保持原来的运算优先顺序不变,即如果在原函数表达式中,AB之间先运算,再和其它变量进行运算,那么非函数的表达式中,仍然是AB之间先运算。
©不属于单个变量上的反号应保留不变!
!
!
例:
,则
。
4.逻辑函数定义及表示方法
✓逻辑函数定义
如果以逻辑变量作为输入,以运算结果作为输出,当输入变量的取值确定之后,输出的取值便随之而定。
输出与输入之间的函数关系称为逻辑函数。
表示为:
Y=F(A,B,C,…)。
✓逻辑函数几种表示方法
常用逻辑函数的表示方法有:
逻辑真值表(真值表)、逻辑函数式(逻辑式或函数式)、逻辑图、波形图。
此外还有卡诺图及硬件描述语言,这两种方法留给后面章节详细介绍。
例:
举重裁判逻辑电路。
设A为主裁判、B和C为副裁判,裁判控制开关闭与断开,闭合用“1”表示,断开用“0”表示;灯Y亮用“1”表示,灯灭用“0”表示。
根据电路图得到函数式描述:
。
①真值表:
将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。
②函数式:
把输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式,即逻辑代数式,又称为逻辑函数式,通常采用“与或”形式。
③逻辑图:
把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来。
④波形图:
将输入、输出的所有可能状态一一对应用波形描述出来。
一般用高电平代表逻辑“1”,用低电平代表逻辑“0”。
5.各种逻辑函数表示方法之间的相互转换
✓函数表示方法之间的相互转换
①真值表→逻辑函数式
方法:
将真值表中为1的项相加,写成“与或式”。
→
②逻辑式→真值表
方法:
将输入变量取值的所有组合状态逐一带入逻辑式求函数值,列成表即得真值表。
举例:
→
③逻辑式→逻辑图
方法:
用图形符号(门电路符号)代替逻辑式中的运算符号,就可以画出逻辑图。
举例:
→
④逻辑图→逻辑式
方法:
从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式,即得到对应的逻辑函数式.
→
⑤波形图→真值表
✓逻辑函数的标准与或表示形式
①最小项概念
在n变量逻辑函数中,若m为包含n个因子的乘积项,而且这n个变量都以原变量或反变量的形式在m中出现,且仅出现一次,则这个乘积项m称为该函数的一个标准积项,通常称为最小项。
三个变量A、B、C可组成8(23)个最小项:
四个变量可组成16(24)个最小项,记作m0~m15。
②逻辑函数的最小项表达式
任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和,称为标准与或表达式,也称为最小项表达式。
如果列出了函数的真值表,则只要将函数值为1的那些最小项相加,便是函数的最小项表达式。
该部分主要是让学生们掌握数字电路研究工具逻辑代数基础知识。
为了节约课时采用课件PPT演示方式组织教学。
此处注意:
要提醒学生,正负逻辑问题,课程主要针对正逻辑进行讨论。
课堂设计:
与逻辑运算可采用实例教学,这易于学生理解和掌握。
课堂设计:
或逻辑运算可采用实例教学,这易于学生理解和掌握。
课堂设计:
非逻辑运算可采用实例教学,这易于学生理解和掌握。
为了节约课时采用课件PPT演示方式组织教学。
此处强调:
常用逻辑运算只是“与、或、非”三种基本逻辑运算的组合。
为了节约课时采用课件PPT演示方式组织教学。
此处注意:
需要详细解释异或运算概念和含义。
此处注意:
需要详细解释同或运算概念和含义,并提醒学生异或和同或运算关系互为反函数。
为了节约课时采用课件PPT演示方式组织教学。
此处注意:
应该针对比较难理解的分配律进行证明,使学生能更好地掌握。
此处注意:
应该针对比较难理解的反演律进行证明,使学生能更好地掌握。
此处注意:
对比较难理解的包含律进行证明,使学生能更好地掌握。
为了节约课时采用课件PPT演示方式组织教学。
此处强调:
应用反演规则两个必须注意的问题。
此处说明:
卡诺图及硬件描述语言需要专门研究,该讲暂不介绍。
此处提醒:
函数式描述可能有多种形式,以后要介绍标准与或逻辑表示形式。
课堂设计:
函数表示方法之间的相互转换易于采用给出方法并实例方式教学,这易于学生理解和掌握。
为了节约课时采用课件PPT演示方式组织教学。
为了节约课时采用课件PPT演示方式组织教学。
此处提醒:
通过不同方法得到函数式描述逻辑功能时,可能有多种形式且都是正确的,为便于统一需要采用标准与或表示。
此处强调:
逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和的标准与或表达式,但该表达式也是最繁琐的。
4.小结逻辑代数基础知识内容
1)基本逻辑运算——与、或、非逻辑运算。
2)常用逻辑运算——与非、或非、与或非、异或和同或逻辑运算。
3)逻辑函数定义及表示方法——逻辑真值表(真值表)、逻辑函数式(逻辑式或函数式)、逻辑图、波形图。
此外还有卡诺图及硬件描述语言。
4)逻辑函数表示方法之间的相互转换。
通过课堂总结,使学生加深对本节课逻辑代数基础知识内容的印象。
5.课后讨论与思考
问题:
设计三人表决电路(A、B、C)。
每人一个按键,如果同意则按下按键,用“1”表示,不同意则不按按键,用“0”表示。
表决结果用指示灯Z表示,多数同意时指示灯Z亮,用“1”表示;否则指示灯Z不亮,用“0”表示。
分别用真值表、标准与或逻辑函数式、逻辑图、波形图描述该逻辑电路功能。
让学生思考,利于对该节课内容的掌握。
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- 教案 第二 逻辑 代数 基础知识