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必修一数学练习题及解析
第一章练习
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.集合{1,2,3}的所有真子集的个数为()
A.3B.6
C.7D.8
解析:
含一个元素的有{1},{2},{3},共3个;含两个元素的有{1,2},{1,3},{2,3},
共3个;空集是任何非空集合的真子集,故有
7个.
答案:
C
2.下列五个写法,其中错误写法的个数为()
..
①{0}∈{0,2,3};②?
{0};③{0,1,2}?
{1,2,0};④0∈?
;⑤0∩?
=?
A.1B.2
C.3D.4
解析:
②③正确.
答案:
C
3.使根式x-1与x-2分别有意义的x的允许值集合依次为M、F,则使根式x-1+
x-2有意义的x的允许值集合可表示为()
A.M∪FB.M∩FC.?
MFD.?
FM
解析:
根式x-1+x-2有意义,必须x-1与x-2同时有意义才可.
答案:
B
.已知
M={x|y=x
2-2},N={y|y=x2-2},则M∩N等于()
4
A.N
B.MC.R
D.?
解析:
M={x|y=x2-2}=R,N={y|y=x2-2}={y|y≥-2},故M∩N=N.
答案:
A
5.函数y=x2+2x+3(x≥0)的值域为()
1
A.RB.[0,+∞)C.[2,+∞)D.[3,+∞)
解析:
y=x2+2x+3=(x+1)2+2,∴函数在区间[0,+∞)上为增函数,故y≥(0+1)2+2
=3.
答案:
D
6.等腰三角形的周长是20,底边长y是一腰的长x的函数,则y等于()
A.20-2x(0 C.20-2x(5≤x≤10)D.20-2x(5 解析: C=20=y+2x,由三角形两边之和大于第三边可知2x>y=20-2x,x>5. 答案: D 7.用固定的速度向图1甲形状的瓶子注水,则水面的高度h和时间t之间的关系是图1 乙中的() 甲 乙 图1 解析: 水面升高的速度由慢逐渐加快. 答案: B 8.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是() ①y=f(|x|)②y=f(-x)③y=xf(x)④y=f(x)+x A.①③B.②③C.①④D.②④ 解析: 因为y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).①y=f(|x|)为偶函数;②y =f(-x)为奇函数;③令F(x)=xf(x),所以F(-x)=(-x)f(-x)=(-x)·[-f(x)]=xf(x).所以F(- x)=F(x).所以y=xf(x)为偶函数;④令F(x)=f(x)+x,所以F(-x)=f(-x)+(-x)=-f(x)-x=-[f(x)+x].所以F(-x)=-F(x).所以y=f(x)+x为奇函数. 2 答案: D 3 9.已知0≤x≤2,则函数f(x)=x2+x+1() A.有最小值-3,无最大值 B.有最小值 3,最大值1 4 4 C.有最小值1,最大值 19 D.无最小值和最大值 4 2 12 3 3 解析: f(x)=x+x+1=(x+ 2) +4,画出该函数的图象知,f(x)在区间[0 ,2]上是增函数, 319所以f(x)min=f(0)=1,f(x)max=f (2)=4. 答案: C 10.已知函数f(x)的定义域为[a,b],函数y=f(x)的图象如图2甲所示,则函数f(|x|)的图 象是图2乙中的() 甲 乙 图2 解析: 因为y=f(|x|)是偶函数,所以y=f(|x|)的图象是由y=f(x)把x≥0的图象保留,再关 于y轴对称得到的.答案: B 11.若偶函数f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,则() 33 A.f(-2) (2)B.f(-1) (2) 33 C.f (2) (2) 3 解析: 由f(x)是偶函数,得 f (2)=f(-2),又f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,且-2< 3 3 -2<-1,则f (2) 答案: D 12.已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x都有xf(x+ 1)=(1+x)f(x),则f f 5 的值是( ) 2 1 5 A.0B.2 C.1D.2 解析: 令x=- 1,则- 11 =1 - 1,又∵ 1= -1,∴ 1=;令= 1,1 3 =31, 2 2f (2) 2f( 2) f (2)f( 2) f (2)0 x 22f (2) 2f (2) 得f(3 =;令 = 3, 35 =5 3,得 5 =;而·= =,∴ f f 5 = f(0) =,故选 2) 0 x 2 2f (2)2f (2) f (2) 0 0f (1)f(0) 0 2 0 A. 答案: A 第Ⅱ卷(非选择题,共90分) 二、填空题(每小题5分,共20分) 13.设全集U={a,b,c,d,e},A={a,c,d},B={b,d,e},则? UA∩? UB=________. 解析: ? UA∩? UB=? U(A∪B),而A∪B={a,b,c,d,e}=U. 答案: ? 14.设全集U=R,A={x|x≥1},B={x|-1≤x<2},则? U(A∩B)=________. 解析: A∩B={x|1≤x<2},∴? R(A∩B)={x|x<1或x≥2}. 答案: {x|x<1或x≥2} 15.已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,3]上为减函数,求实数a的取值范围为________. 解析: 函数f(x)的对称轴为x=1-a,则由题知: 1-a≥3即a≤-2. 答案: a≤-2 16.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数,则f(0)、f (1)、f(-2)从小到大的顺序是 __________. 解析: ∵f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数,∴m=0. 4 ∴f(x)=-x2+2.∴f(0)=2,f (1)=1,f(-2)=-2,∴f(-2) (1) f(-2) (1) 三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共 70分) 17.(10分)设A={x|-2≤x≤5},B={x|m-1≤x≤2m+1}, (1)当x∈N*时,求A的子集的个数; (2)当x∈R且A∩B=? 时,求m的取值范围. 解: (1)∵x∈N*且A={x|-2≤x≤5}, ∴A={1,2,3,4,5}.故A的子集个数为25=32个. (2)∵A∩B=? , ∴m-1>2m+1或2m+1<-2或m-1>5, ∴m<-2或m>6. 18.(12分)已知集合A={-1,1},B={x|x2-2ax+b=0},若B≠? 且B? A,求a,b的 值. 解: (1)当B=A={-1,1}时,易得a=0,b=-1; (2)当B含有一个元素时,由=0得a2=b, 当B={1}时,由1-2a+b=0,得a=1,b=1 当B={-1}时,由1+2a+b=0,得a=-1,b=1. x 19.(12分)已知函数f(x)=ax+b(a,b为常数,且a≠0),满足f (2)=1,方程f(x)=x有唯一实数解,求函数f(x)的解析式和f[f(-4)]的值. 解: ∵f(x)= x且f (2)=1,∴2=2a+b. ax+b 又∵方程f(x)=x有唯一实数解. ∴ax2+(b-1)x=0(a≠0)有唯一实数解. 故(b-1)2-4a×0=0,即b=1,又上式2a+b=2,可得: a= 1,从而f(x)= x = 2x , 2 1 x+2 2x+1 5 2×-4 84 4 ∴f(- 4)=-4+2=4,f(4)=6=3,即f[f(-4)]=3. . 分 已知函数 2-4ax+(a2-2a+2)在闭区间[0,2]上有最小值 3,求实数a 20(12 ) f(x)=4x 的值. a 解: f(x)=4 x-22+2-2a. a (1)当2<0即a<0时,f(x)min=f(0)=a2-2a+2=3,解得: a=1-2. a a 1 (2)0≤ 2≤2即0≤a≤4时,f(x)min=f2 =2-2a=3,解得: a=- 2(舍去). a =f (2)=a2-10a+18=3,解得: a=5+ 10, (3)2>2即a>4时,f(x)min 综上可知: a的值为1- 2或5+10. 21.(12分)某公司需将一批货物从甲地运到乙地,现有汽车、火车两种运输工具可供选择.若该货物在运输过程中(含装卸时间)的损耗为300元/小时,其他主要参考数据如下: 运输工 途中速度(千 途中费用(元/ 装卸时间(小 装卸费用(元) 具 米/小时) 千米) 时) 汽车 50 8 2 1000 火车 100 4 4 1800 问: 如何根据运输距离的远近选择运输工具,使运输过程中的费用与损耗之和最小? 解: 设甲、乙两地距离为x千米(x>0),选用汽车、火车运输时的总支出分别为y1和y2. 由题意得两种工具在运输过程中(含装卸)的费用与时间如下表: 运输工途中及装卸费途中时 具用间 汽车8x+100050x+2 火车4x+1800100x+4 x 于是y1=8x+1000+(50+2)×300=14x+1600, x y2=4x+1800+(100+4)×300=7x+3000. 令y1-y2<0得x<200. 6 ①当0 ②当x=200时,y1=y2,此时选用汽车或火车均可; ③当x>200时,y1>y2,此时应选用火车. 故当距离小于200千米时,选用汽车较好;当距离等于200千米时,选用汽车或火车均可;当距离大于200千米时,选用火车较好. 22.(12分)已知f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f (2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),又当x2>x1>0时,f(x2)>f(x1). (1)求f (1)、f(4)、f(8)的值; (2)若有f(x)+f(x-2)≤3成立,求x的取值范围. 解: (1)f (1)=f (1)+f (1),∴f (1)=0,f(4)=f (2)+f (2)=1+1=2,f(8)=f (2)+f(4)=2+1=3. (2)∵f(x)+f(x-2)≤3,∴f[x(x-2)]≤f(8),又∵对于函数f(x)有x>x >0时f(x)>f(x),∴f(x) 2 1 2 1 在(0,+∞)上为增函数. x>0 ∴ x-2>0 ≤∴ 的取值范围为 . ? 2 (2,4] xx-2≤8 7 第二章练习 一、选择题(每小题5分,共60分) 1.计算log25·log22·log9的结果为( ) 2 3 5 A.3 B.4 C.5 D.6 3 解析: 原式= lg25lg2 2lg9 = 2lg5 2lg2 2lg3 lg2 · · lg2 · ·=6. lg3 lg5 lg3 lg5 答案: D .设 2ex-1,x<2, 则f(f (2))的值为() = 3 2f(x) x 2-1,x≥2, log A.0 B.1 C.2 D.3 解析: f (2)=log3(22-1)=1,f(f (2))=2e1-1=2e0=2. 答案: C 1 3.如果log 2x>0 成立,则x应满足的条件是() 1 1 A.x>2 B.2 C.x<1 D.0 解析: 由对数函数的图象可得. 答案: D 4.函数f(x)=log3(2-x)在定义域区间上是() A.增函数B.减函数 C.有时是增函数有时是减函数D.无法确定其单调 解析: 由复合函数的单调性可以判断,内外两层单调性相同则为增函数,内外两层的单调性相反则为减函数. 8 答案: B 5.某种放射性元素,100年后只剩原来的一半,现有这种元素 1克,3年后剩下( ) A.0.015克 B.(1-0.5%)3克 C.0.925克 100 D. 0.125克 1 1 1 解析: 设该放射性元素满足 y=ax(a>0且a≠1),则有2=a100 得a= (2)100. 可得放射性元素满足y=[( 1 1 x 1 x 1 3 100 13 100 0.125. 2)100] =( 2)100.当x=3 时,y= (2)100= 2 = 答案: D 2 1 ) 6.函数y=logx与y=log2x的图象( A.关于原点对称 B.关于x轴对称 C.关于y轴对称 D.关于y=x对称 解析: 据图象和代入式判定都可以做出判断,故选 B. 答案: B 2 7.函数y=lg(1-x-1)的图象关于( ) A.x轴对称 B.y轴对称 C.原点对称 D.y=x对称 解析: f(x)=lg(2-1)=lg 1+x,f(-x)=lg1-x=-f(x),所以y=lg( 2 -1)关于原点 1-x 1-x 1+x 1-x 对称,故选C. 答案: C 8.设a>b>c>1,则下列不等式中不正确的是() A.ac>bcB.logab>logac C.ca>cbD.logbc 解析: y=xc在(0,+∞)上递增,因为a>b,则ac>bc;y=logax在(0,+∞)上递增,因为 9 b>c,则logab>logac;y=cx在(-∞,+∞)上递增,因为a>b,则ca>cb.故选D. 答案: D 9.已知f(x)=loga(x+1)(a>0且a≠1),若当x∈(-1,0)时,f(x)<0,则f(x)是() A.增函数B.减函数 C.常数函数D.不单调的函数 解析: 由于x∈(-1,0),则x+1∈(0,1),所以a>1.因而f(x)在(-1,+∞)上是增函数. 答案: A 10.设a=424,b=312,c=6,则a,b,c的大小关系是() A.a>b>cB.b C.b>c>aD.a 解析: a= 4 12 3 ,b= 12 4 6= 12 6 ∵ 3 4 6 24 = 24 12 ,c= 24<12<6 , 6. ∴12243<12124<1266,即a 答案: D 11.若方程ax=x+a有两解,则a的取值范围为() A.(1,+∞)B.(0,1) C.(0,+∞)D.? 解析: 分别作出当a>1与0 (1)当a>1时,图象如下图1,满足题意. 图1图2
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