平面向量全章复习.docx
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平面向量全章复习
【基础反复练】
1、若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=( ).
A.3a+bB.3a-bC.-a+3bD.a+3b
2、(2012·郑州月考)设向量a=(m,1),b=(1,m),如果a与b共线且方向相反,则m的值为( ).
A.-1B.1C.-2D.2
3、设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a、3b-2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c=( ).
A.(4,6)B.(-4,-6)C.(4,-6)D.(-4,6)
4、已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则m=________.
5、已知|a|=3,|b|=2,若a·b=-3,则a与b的夹角为( ).
A.B.C.D.
6、若a,b,c为任意向量,m∈R,则下列等式不一定成立的是( ).
A.(a+b)+c=a+(b+c)B.(a+b)·c=a·c+b·c
C.m(a+b)=ma+mbD.(a·b)·c=a·(b·c)
7、(2011·广东)若向量a,b,c满足a∥b,且a⊥c,则c·(a+2b)=( ).
A.4B.3C.2D.0
8、已知向量a=(1,2),向量b=(x,-2),且a⊥(a-b),则实数x等于( ).
A.9B.4C.0D.-4
9、(2011·江西)已知|a|=|b|=2,(a+2b)·(a-b)=-2,则a与b的夹角为________.
1、D是△ABC的边AB上的中点,则向量等于( ).
A.-+B.--
C、-D.+
2、(2011·四川)如图,正六边形ABCDEF中,++=( ).
A.0B.
C.D.
3、在△ABC中,=c,=b,若点D满足=2,则=
( ).
A.b+cB.c-b
C.b-cD.b+c
4、(2012·南京质检)如图所示,在△ABC中,H为BC上异于B,C的任一点,M为AH的中点,若=λ+μ,则λ+μ=________.
5、如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若=x+y,则x=________,y=________.
6、(2011·合肥模拟)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=3,=2.求M,N的坐标和.
7、在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若=(2,4),=(1,3),则=( ).
A.(-2,-4)B.(-3,-5)
C.(3,5)D.(2,4)
8、(2011·湖南)在边长为1的正三角形ABC中,设=2,=3,则·=________.
9、(2011·合肥模拟)在△ABC中,M是BC的中点,||=1,=2,则·(+)=_______
10、如图,
在菱形ABCD中,若AC=4,则·=________.
11、平面上有四个互异点A、B、C、D,已知(+-2)·(-)=0,则△ABC的形状是( ).
A.直角三角形B.等腰直角三角形
C.等腰三角形D.无法确定
12、在△ABC中,已知向量与满足·=0且·=,则
△ABC为( ).
A.等边三角形B.直角三角形
C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形
13、(2010·辽宁)平面上O,A,B三点不共线,设=a,=b,则△OAB的面积等于( ).
A.B.
C.D.
14、已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量,
,.
(1)若//,求证:
ΔABC为等腰三角形;
(2)若⊥,边长c=2,角C=,求ΔABC的面积.
1.【2012高考全国文9】中,边的高为,若,,,,,则
(A)(B)(C)(D)
2、【2012高考四川文7】设、都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是()
A、且B、C、D、
3、【2012高考天津文科8】在△ABC中,A=90°,AB=1,设点P,Q满足=,=(1-),R。
若=-2,则=
(A)(B)C)(D)2
4、【2012高考湖南文15】如图4,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且=.
5、【2012高考浙江文15】在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则=________.
6、【2012高考江苏9】(5分)如图,在矩形中,点为的中点,点在边上,若,则的值是▲.
7、【2012高考上海文12】在矩形中,边、的长分别为2、1,若、分别是边、上的点,且满足,则的取值范围是
8、【2102高考北.京文13】已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为________,的最大值为______。
9、【2012高考真题辽宁理3】已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|ab|,则下面结论正确的是
(A)a∥b(B)a⊥b
(C)(D)a+b=ab
10、【2012高考真题江西理7】在直角三角形中,点是斜边的中点,点为线段的中点,则=
A.2B.4C.5D.10
11、【2012高考真题湖南理7】在△ABC中,AB=2,AC=3,=1则.
A.B.C.D.
12、【2012高考真题天津理7】已知为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足,,,若,则=
(A)(B)(C)(D)
13、【2012高考真题全国卷理6】△ABC中,AB边的高为CD,若a·b=0,|a|=1,|b|=2,则
(A)(B)(C)(D)
14、【2012高考真题浙江理15】在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则=________.
15、【2012高考真题上海理12】在平行四边形中,,边、的长分别为2、1,若、分别是边、上的点,且满足,则的取值范围是。
16、【2012高考真题北京理13】已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为________,的最大值为______。
17、【2012高考江苏9】(5分)如图,在矩形中,点为的中点,点在边上,若,则的值是▲.
1.(人教A版教材习题改编)D是△ABC的边AB上的中点,则向量等于( ).
A.-+B.--
C.-D.+
解析 如图,
=+
=+=-+.
答案 A
4.(2011·四川)如图,正六边形ABCDEF中,++=( ).
A.0B.
C.D.
解析 ++=++=+=.
答案 D
【训练2】在△ABC中,=c,=b,若点D满足=2,则=
( ).
A.b+cB.c-b
C.b-cD.b+c
解析 ∵=2,∴-=2(-),
∴3=2+
∴=+=b+c.
答案 A
【例1】►(2012·南京质检)如图所示,在△ABC中,H为BC上异于B,C的任一点,M为AH的中点,若=λ+μ,则λ+μ=________.
[审题视点]由B,H,C三点共线可用向量,来表示.
解析 由B,H,C三点共线,可令=x+(1-x),又M是AH的中点,所以==x+(1-x),又=λ+μ.所以λ+μ=x+(1-x)=.
答案
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算,共线向量定理的应用起着至关重要的作用.当基底确定后,任一向量的表示都是唯一的.
【训练1】如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若=x+y,则x=________,y=________.
解析 以AB所在直线为x轴,以A为原点建立平面直角坐标系如图,
令AB=2,则=(2,0),=(0,2),过D作DF⊥AB交AB的延长线于F,由已知得DF=BF=,则=(2+,).
∵=x+y,∴(2+,)=(2x,2y).
即有解得
另解:
=+=+,
所以x=1+,y=.
答案 1+
【例2】►(2011·合肥模拟)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=3,=2.求M,N的坐标和.
[审题视点]求,的坐标,根据已知条件列方程组求M,N.
解 ∵A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),
∴=(1,8),=(6,3).
∴=3=3(1,8)=(3,24),=2=2(6,3)=(12,6).
设M(x,y),则=(x+3,y+4).
∴得∴M(0,20).
同理可得N(9,2),∴=(9-0,2-20)=(9,-18).
利用向量的坐标运算解题,主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则,通过列方程(组)进行求解;在将向量用坐标表示时,要看准向量的起点和终点坐标,也就是要注意向量的方向,不要写错坐标.
【训练2】在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若=(2,4),=(1,3),则=( ).
A.(-2,-4)B.(-3,-5)
C.(3,5)D.(2,4)
解析 由题意得=-=-=(-)-=-2=(1,3)-2(2,4)=(-3,-5).
答案 B
【示例】►(2011·湖南)在边长为1的正三角形ABC中,设=2,=3,则·=________.
错因 搞错向量的夹角或计算错
实录 -(填错的结论多种).
正解 由题意画出图形如图所示,取一组基底{,},结合图形可得=(+),=-=-,
∴·=(+)·=2-
2-·=--cos60°=-.
答案 -
【例1】►(2011·合肥模拟)在△ABC中,M是BC的中点,||=1,=2,则·(+)=________.
[审题视点]由M是BC的中点,得+=2.
解析 如图,因为M是BC的中点,所以+=2,又=2,||=1,所以·(+)
=·2=-4||2=-||2=-,故填-.
答案 -
当向量表示平面图形中的一些有向线段时,要根据向量加减法运算的几何法则进行转化,把题目中未知的向量用已知的向量表示出来,在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识.
【训练1】如图,
在菱形ABCD中,若AC=4,则·=________.
解析 =+,故·=·(+)=·+·.而=-,⊥.所以·=-CA2=-8.
答案 -8
2.平面上有四个互异点A、B、C、D,已知(+-2)·(-)=0,则△ABC的形状是( ).
A.直角三角形B.等腰直角三角形
C.等腰三角形D.无法确定
解析 由(+-2)·(-)=0,得[(-)+(-]·(-)=0,所以(+)·(-)=0.
所以||2-||2=0,∴||=||,
故△ABC是等腰三角形.
答案 C
4.在△ABC中,已知向量与满足·=0且·=,则
△ABC为( ).
A.等边三角形B.直角三角形
C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形
解析 由·=0知△ABC为等腰三角形,AB=AC.由·=知,〈,〉=60°,所以△ABC为等边三角形,故选A.
答案 A
【例1】►(2010·辽宁)平面上O,A,B三点不共线,设=a,=b,则△OAB的面积等于( ).
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