数学北师大版高中必修5高中数学等差数列的前n项和教学设计与反思.docx
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数学北师大版高中必修5高中数学等差数列的前n项和教学设计与反思
高中数学“等差数列的前n项和”教学设计与反思
一、教学内容分析
本节课教学内容是《普通高中数学课程标准实验教科书·必修5》(北师大版)中第一章的第二节中“等差数列的前n项和”的第一课时。
本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用。
等差数列在现实生活中比较常见,因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题。
同时,求数列前n项和也是数列研究的基本问题,通过对公式推导,可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法。
二、学生学习情况分析
在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质,也对高斯算法有所了解,这都为倒序相加法的教学提供了基础;同时学生已有了函数知识,因此在教学中可适当渗透函数思想.高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离,如何从首尾配对法引出倒序相加法,这是学生学习的障碍。
三、设计思想
建构主义学习理论认为,学习是学生积极主动地建构知识的过程,因此,应该让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展,让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验,自主地在教师的引导下促进对新知识的建构。
在教学过程中,根据教学内容,从介绍高斯的算法开始,探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法.通过设计一些从简单到复杂,从特殊到一般的问题,层层铺垫,组织和启发学生获得公式的推导思路,并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习,通过生生互动和师生互动等形式,让学生在问题解决中学会思考、学会学习。
同时根据我校的特点,为了促进成绩优秀学生的发展,还设计了选做题和探索题,进一步培养优秀生用函数观点分析、解决问题的能力,达到了分层教学的目的。
四、教学目标
1.理解等差数列前n项和公式的推导过程;掌握并能熟练运用等差数列前n项和公式;了解倒序相加法的原理;
2.通过公式的推导过程,体验从特殊到一般的研究方法,渗透函数思想与方程(组)思想,培养学生观察、归纳、反思的能力;通过小组讨论学习,培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质。
五、教学重点和难点
本节教学重点是探索并掌握等差数列前n项和公式,学会用公式解决一些实际问题;难点是等差数列前n项和公式推导思路的获得。
六、教学过程设计
(一)创设情景,唤起学生知识经验的感悟和体验
世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格,传说陵寝中有一个三角形
图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层,你知道这个图案一共花了多少宝石吗?
体展示三角形图案)
[设计意图]情境学习理论认为:
数学学习总是与一定的知识背景,即“情境”相联系.从实际问题入手,图中蕴含算数,能激发学生学习新知识的兴趣,并且可引导学生共同探讨高斯算法更一般的应用,为新课的讲解作铺垫.
[知识链接]高斯,德国著名数学家,被誉为“数学王子”。
200多年前,高斯的算术教师提出了下面的问题:
1+2+3+…+100=?
据说,当其他同学忙于把100个数逐项相加时,10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案:
(1+100)+(2+99)+……+(50+51)=101×50=5050.
[学情预设]高斯的算法蕴涵着求等差数列前n项和一般的规律性.教学时,应给学生提供充裕的时间和空间,让学生自己去观察、探索发现这种数列的内在规律.学生对高斯的算法是熟悉的,知道采用首尾配对的方法来求和,但估计他们对这种方法的认识可能处于记忆阶段,为了促进学生对这种算法的进一步理解,设计了以下三道由易到难的问题.
(二)由易到难,在自主探究与合作中学习
问题1图案中,第1层到第51层一共有多少颗宝石?
该题组织学生分组讨论,在合作中学习,并把小组发现的方法一一呈现.
[学情预设]学生可能出现以下求法
方法1:
原式=(1+2+3+……+50)+51
方法2:
原式=0+1+2+……+50+51
方法3:
原式=(1+2+…+25+27…+51)+26
以上方法实际上是用了“化归思想”,将奇数个项问题转化为偶数个项求解,教师应进行充分肯定与表扬.
[设计意图]这是求奇数个项和的问题,若简单地摹仿高斯算法,将出现不能全部配对的问题,借此渗透化归思想.
问题2:
求图案中从第1层到第n层(1<n<100,n∈N*)共有多少颗宝石?
[学情预设]学生通过激烈的讨论后,发现n为奇数时不能配对,可能会分n为奇数、偶数的情况分别求解,教师如何引导学生避免讨论成为该环节的关键.
[设计意图]从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和,让学生领会从特殊到一般的研究方法,旨在让学生对“首尾配对求和”这一算法的改进.
启发:
(多媒体演示)如右图,在三角形图案右侧倒放一个全等的三角形与原图补成平行四边形.
[设计意图]借助几何图形的直观性,能启迪思路,唤醒学生记忆深处的东西,并为倒序相加法的出现提供了一个直接的模型.
通过以上启发学生再自主探究,相信容易得出解法:
∵1+2+3+…(n-1)+n
n+(n-1)+(n-2)+…+2+1
____________________________________________________________________
(n+1)+(n+1)+(n+1)+…+(n+1)+(n+1)
∴1+2+3+…+n=
问题3:
在公差为d的等差数列{an}中,定义前n项和
Sn=a1+a2+…+an,如何求Sn?
由前面的大量铺垫,学生应容易得出如下过程:
∵Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-1)d]
Sn=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-1)d]
∴
(公式1)
组织学生讨论:
在公式1中若将an=a1+(n-1)d代入又可得出哪个表达式?
即:
(公式2)
(三)设置典例,促进学生对公式的应用
对于以上两个公式,初学的学生在解决一些问题时,往往不知道该如何选取.教师应通过适当的例子引导学生对这两个公式进行分析,根据公式各自的特点,帮助学生恰当地选择合适的公式.
例1为了参加冬季运动会的5000m长跑比赛,某同学给自己制定了7天的训练计划(单位:
m)如下表:
5000
5500
6000
6500
7000
7500
8000
问这个同学7天一共将跑多长的距离?
[设计意图]该例题是将课本P53习题2.3A组第3题改编成表格形式,可以锻炼学生处理数据信息的能力和选用公式的能力。
学生可以从首项、末项、项数出发,选用公式1;也可以从首项、公差、项数出发,选用公式2,通过两种方法的比较,引导学生在解题时注意选择适当的公式,以便于计算.
例2已知等差数列5,4
,3
,…
求
(1)数列{an}的通项公式;
(2)数列{an}的前几项和为
?
(3)Sn的最大值为多少?
并求出此时相应的n的值。
[设计意图]通项公式与求和公式中共有a1、d、n、an、Sn五个基本元素,如果已知其中三个,就可求其余两个,主要是训练学生的方程(组)思想。
第(3)小题是让学生初步接触用函数观点解决数列问题,为以后函数与数列的综合打下基础.
[知识链接]
(1)由
若令
可知当
时,点
是在常数项为0的二次函数图象上,可由二次函数的知识解决
的最值问题;
(2)若数列
的前n项和
(
),则数列
一定是等差数列;
(3)由
,可知
,点
在直线上;
(4)在等差数列
中,当
时,
最大,当
时,
最小。
(四)反馈调控,实现学生对知识的掌握
练习1已知等差数列{an}的前10项和是310,前20项的和是1220,求前n项和Sn.
练习2等差数列{an}中,a1=-4,a8=-18,n=8,求公差d及前n项和Sn.
选做题已知函数f(x)=
,则f(-5)+f(-4)+……+f(0)+……+f(5)+f(6)的值为
[设计意图]分层练习使学生在完成必修教材基本任务的同时,拓展自主发展的空间,让每一个学生都得到符合自身实践的感悟,使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦,看到自己的潜能,从而实现“以人为本”的教育理念.
(五)回顾反思,深化知识
组织学生分组共同反思本节课的教学内容及思想方法,小组之间互相补充完成课堂小结,实现对等差数列前n项和公式的再次深化.
1.从特殊到一般的研究方法;
2.体会倒序相加的算法,掌握等差数列的两个求和公式,领会方程(组)思想;
3.前n项和公式的函数意义
4、用梯形面积公式记忆等差数列的前n项和公式;
[知识链接]
(六)布置作业
1.课本P52习题2.3,第1题
(1)(3),第2题(3)(4),第5题
2.探索题
(1)数列{
}的前n项和
=
+
+
+…+
,求
;
(2)若公差为d(d≠0)的等差数列{
}中,
=
+
+
+…+
,你能否由题
(1)的启发,得到
的表达式?
七、教学反思
“等差数列前n项和”的推导不只一种方法,本节课是通过介绍高斯的算法,探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和。
该方法反映了等差数列的本质,可以进一步促进学生对等差数列性质的理解,而且该推导过程体现了人类研究、解决问题的一般思路。
本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路。
为了突破这一难点,在教学中采用了以问题驱动的教学方法,设计的三个问题体现了分析、解决问题的一般思路,即从特殊问题的解决中提炼方法,再试图运用这一方法解决一般问题。
在教学过程中,通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究,尤其是借助图形的直观性,学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了。
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