检2任天昕 实验报告教材.docx

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检2任天昕实验报告教材

燕山大学

课程设计说明书

题目：

切比雪夫带通滤波器的设计

学院（系）：

电气工程学院

年级专业：

检测

（2）班

学号：

100104060009

学生姓名：

任天昕

指导教师：

王娜

教师职称：

讲师

电气工程学院《课程设计》任务书

课程名称：

数字信号处理课程设计

基层教学单位：

仪器科学与工程系指导教师：

学号

学生姓名

（专业）班级

设计题目

26切比雪夫带通滤波器设计

设

计

技

术

参

数

采样频率100Hz，低频、中频、高频信号频率分别为5Hz、15Hz、30Hz

设

计

要

求

产生一个连续信号，包含低频，中频，高频分量，对其进行采样，进行频谱分析。

设计带通滤波器对信号进行滤波处理，观察滤波后信号的频谱。

分析该类型滤波器与其他类型低通滤波器（如Butterworth）优势及特点。

参

考

资

料

数字信号处理方面资料

MATLAB方面资料

周次

前半周

后半周

应

完

成

内

容

收集消化资料、学习MATLAB软件，进行相关参数计算

编写仿真程序、调试

指导教

师签字

基层教学单位主任签字

说明：

1、此表一式四份，系、指导教师、学生各一份，报送院教务科一份。

2、学生那份任务书要求装订到课程设计报告前面。

电气工程学院教务科

第一章摘要…………………………………………………………………4

第二章引言…………………………………………………………………5

第三章基本原理……………………………………………………………6

1.切比雪夫滤波器简介……………………………………………………6

2.采样定理及相关原理……………………………………………………6

3.IIR数字滤波器设计的原理……………………………………………6

第四章设计过程……………………………………………………………8

1.总体流程…………………………………………………………………8

2.设计步骤…………………………………………………………………9

3.连续信号…………………………………………………………………11

4.程序编程…………………………………………………………………11

第五章IIR带通滤波器的仿真结果及波形………………………………14

第六章仿真分析及总结……………………………………………………16

第七章心得体会……………………………………………………………17

参考文献………………………………………………………………………18

第一章摘要

本次课设本文将通过利用MATLAB滤波器设计函数直接实现切比雪夫滤波器的设计，找到应用MATLAB来设计切比雪夫滤波器的方法。

介绍了切比雪夫滤波器的基本理论和设计思想，给出了基于MATLAB设计切比雪夫带通滤波器的具体步骤和利用MATLAB产生一个包含低频、中频、高频分量的连续信号，并实现对信号进行采样。

文中还对采样信号进行频谱分析和利用设计的波器对采样信号进行滤波处理，并对仿真结果进行分析和处理。

关键字：

切比雪夫滤波器采样MATLAB频谱分析

第二章引言

随着信息时代和数字世界的到来，数字信号处理已成为当今一门极其重要的学科和技术领域。

目前数字信号处理在通信、语音、图像、自动控制、雷达、军事、航空航天、医疗和家用电器等众多领域得到了广泛的应用。

数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统，通过对抽样数据进行数学处理来达到频域滤波的目的。

MATLAB是美国的MathWorks公司推出的一套用于科学计算和图形处理可视化、高性能语言与软件环境。

通过编程可以很容易实现低通、高通、带通、带阻滤波器,并能画出滤波器的幅频特性曲线，大大简化了模拟滤波器设计。

在设计数字滤波器时，通常采用MATLAB来进行辅助设计和仿真。

常用模拟滤波器有巴特沃斯（Butterworth）滤波器、切比雪夫（Chebyshev）滤波器、椭圆（Cauer）滤波器、贝塞尔（Bessel）滤波器等，这些典型的滤波器各有特点。

切比雪夫滤波器是在通带或阻带上频率响应幅度等波纹波动的滤波器。

分为在通带波动的为“I型切比雪夫滤波器”，在阻带波动的为“II型切比雪夫滤波器”两种。

切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快，但频率响应的幅频特性不如后者平坦。

切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差最小，但是在通频带内存在幅度波动。

下面利用双线性变换和无限冲激响应IIR原理完成设计I型切比雪夫带通滤波器，并利用MATLAB进行仿真。

第三章基本原理

1.切比雪夫滤波器简介

根据频率响应曲线波动位置的不同，切比雪夫滤波器可以分为以下两种：

I型切比雪夫滤波器,II型切比雪夫滤波器。

在通带上频率响应幅度等波纹波动的滤波器称为“I型切比雪夫滤波器”；在阻带上频率响应幅度等波纹波动的滤波器称为“II型切比雪夫滤波器”。

切比雪夫滤波器特点：

误差值在规定的频段上等波纹变化。

切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快，但频率响应的幅频特性不如后者平坦。

切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差最小，但是在通频带内存在幅度波动。

巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止

处，幅度下降很多，或者说，为了使通带内的衰减足够小，需要的阶次N很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式来逼近所希望的

。

切比雪夫滤波器的

在通带范围内是等幅起伏的，所以在同样的通常内衰减要求下，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。

2．采样定理及相关原理

模拟信号经过（A/D）变换转换为数字信号的过程称之为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率fs，重复出现一次。

理想采样就是假设采样开关闭合时间无限短，即0的极限情况。

此时采样序列可表示为一个冲激函数序列。

采样定理：

要想采样后能够不失真地还原出原模拟信号，则采样频率必须大于两倍原模拟信号频谱的最高截止频率（

2

）。

3．IIR数字滤波器设计的原理

IIR数字滤波器具有无限持续时间冲激响应,需要用递归模型来实现,其系统函数为:

设计IIR滤波器的任务就是寻求一个因果、物理上可实现的系统函数H（z），使其频率响应

满足所希望得到的频域指标，即符合给定的通带截止频率、阻带截止、通带衰减和阻带衰减.。

利用冲激响应不变法设计数字滤波器时可能会导致频域混叠现象，为了克服这一问题，需要找到由s平面到z平面的另外的映射关系，这种关系应保证：

1）s平面的整个jΩ轴仅映射为z平面单位圆上的一周；

2）若G（s）是稳定的，由G（s）映射得到的H（z）也应该是稳定的；

3）这种映射是可逆的，既能由G（s）得到H（z），也能由H（z）得到G（s）；

4）如果G（j0）=1，那么

＝1。

双线性Ｚ变换满足以上4个条件的映射关系，其变换公式为

双线性Ｚ变换的基本思路：

首先将整个Ｓ平面压缩到一条从－π/Ts变换到2π/Ts的横带里，然后通过标准的变换关系

将横带变换到整个Ｚ平面上去，这样就得到了Ｓ平面与Ｚ平面间的一一对应的单值关系。

图2.1双线性变换法S平面到Z平面的映射关系

第四章设计过程

1.总体流程

IIR数字滤波器的设计方法有两类,一类是借助于模拟滤波器的设计方法设计出模拟滤波器,利用冲激响应不变法或双线性变换法转换成数字滤波器,再用硬件或软件实现；另一类是直接在频域或时域中进行设计,设计时需要计算机作辅助工具。

下面应用第一类方法设计切比雪夫带通滤波器。

IIR带通滤波器的设计流程如下：

本文设计的IIR带通滤波器是从低通变换过来的，利用的是双线性变换以及切比雪夫I滤波器的原型，其具体的设计流程为上图所示。

首先根据题目要求确定带通滤波器的技术指标，先要进行频率的预畸变，并且归一化频率，再设计出切比雪夫I模拟低通滤波器，并求出其阶数等相关参数。

其次利用双线性变换法设计数字带通滤波器，，再调用函数进行双线性变换，并求出分子、分母的系数向量。

最后通过画图求出其幅频响应、相频响应、幅度特性曲线与零极点，并画出波形图。

最后产生一个连续信号，包含低频，中频，高频分量，用设计好的带通滤波器对信号进行滤波处理，观察滤波后信号的频谱。

2.设计步骤

IIR带通滤波器的具体设计步骤如下：

（1）根据设计流程，首先确定所要设计的数字带通滤波器的相关指标：

①　通带截止频率wp1=0.2π，wp2=0.4π，通带最大衰减Rp=1dB；

②　阻带截止频率ws1=0.16π和ws2=0.5π，阻带最小衰减Rs=40dB；

③　取样间隔T=0.01s。

其实现程序如下（程序中pi代表π）：

Fs=100;％取样周期或频率

Rp=1;％通带最大衰减

Rs=40;％阻带最小衰减

ws1=2*pi*8/Fs;％通带、阻带上、下限截止频率

wp1=2*pi*10/Fs;

wp2=2*pi*20/Fs;

ws2=2*pi*25/Fs;

（2）频率的预畸变。

双线性变换中无法避免的一个问题即是频率的非线性偏移，因为数字频率的最大值为π，而模拟频率可以向无穷延伸，两者之间又要保持一一对应的映射关系。

双线性变换中的模拟角频率

与数字角频率

之间的关系为：

＝2/T*tan（w/2）

表明S平面与Z平面是单值的一一对应关系，即频率轴是单值变换关系。

虽然避免了脉冲响应不变法的频率响应的混叠现象，但是经过变换后，得到的幅频响应特性各分段边缘频率不能保持原来的比例关系，必须通过预修正加以校正。

做法是将数字频率

按

＝2/T*tan（w/2）的关系，变成模拟频率

，利用这组做过修正的模拟频率来设计模拟带通滤波器作为模拟原型。

Wp1=（2/T）*tan（wp1/2）;

Wp2=（2/T）*tan（wp2/2）;

Wp=[Wp1,Wp2];

Ws1=（2/T）*tan（ws1/2）;

Ws2=（2/T）*tan（ws2/2）;

Ws=[Ws1,Ws2];

BW=Wp2-Wp1;

Omegaw0=sqrt（Wp1*Wp2）;

（2）设计切比雪夫模拟低通滤波器。

[N,OmegaC]=cheb1ord（Wp,Ws,Rp,Rs,'s'）;

[z0,p0,k0]=cheb1ap（N,Rs）;

利用函数[N,OmegaC]=cheb1ord（Wp,Ws,Rp,Rs,’s’），通过给定滤波器的技术指标Wp、Ws、Rp、Rs，求得滤波器的阶数N与边缘频率OmegaC。

Wp、Ws、与OmegaC均在［0,1］区间归一化，以π弧度为单位。

利用函数[z,p,k]=cheb1ap（N,Rs），来设计一个阶数为N，阻带波动为Rs的归一化切比雪夫II型原型滤波器，得到左半平面零极点。

数组Z中返回零点，数组P中返回极点，并且返回增益K。

（3）设计归一化的模拟原型带通滤波器：

AnalogB=k0*real（poly（z0））;

AnalogA=real（poly（p0））;

[BandB,BandA]=lp2bp（AnalogB,AnalogA,Omegaw0,BW）;

[DigitalB,DigitalA]=bilinear（BandB,BandA,Fs）;

[sos,G]=tf2sos（DigitalB,DigitalA）;

利用函数p=poly（A）来计算模拟滤波器的分子、分母系数向量，因其为实数，因此用real（）函数取其实部，即可得模拟滤波器的分子、分母系数向量。

这两个函数实现的功能可以用函数[Bs,As]=zp2tf（z,p,k）直接求得传递函数的分子、分母系数向量。

利用函数[BandB,BandA]=lp2bp（AnalogB,AnalogA,Omegaw0,BW），将模拟域的低通变为带通，并且得到模拟带通滤波器的分子、分母系数向量，Omegaw0取为中心频率，BW为带宽。

利用函数[DigitalB,DigitalA]=bilinear（BandB,BandA,Fs），双线性变换为数字带通滤波器的指标，如分子、分母的系数向量。

函数[sos,G]=tf2sos（DigitalB,DigitalA），即把z变换传递函数的直接形式转换成级联形式。

需要注意的是，这个函数是针对以z的负幂排列的多项式开发的，虽然可以推广到s域，但连续系统传递函数是按s的正幂排列的，要使两者一致，关键是使分子、分母系数向量同长，两序列中各元素的幂次排列一致（4）求数字带通滤波器的幅频、相频特性、及其群延迟

[Hz,Wz]=freqz（DigitalB,DigitalA,1024,'whole'）;

dbHz=20*log10（（abs（Hz）+eps）/max（abs（Hz）））;

φ＝angle（Hz）

grd=grpdelay（DigitalB,DigitalA,Wz）;

函数[Hz,Wz]=freqz（DigitalB,DigitalA,1024,'whole'）可以求数字带通滤波器的幅频特性，而其幅度（即模值）的最大值可以归一化为1，则其模值（单位为dB）即可以用公式表示为、dbHz=20*log10（（abs（Hz）+eps）/max（abs（Hz）））。

函数φ＝angle（Hz）可求得其相频特性，而对于一个滤波器来说，要满足其线性相位，则其群延迟

要为一常数，则其相位特性必须为一直线，即满足

。

因此，利用群延迟函数grd=grpdelay（DigitalB,DigitalA,Wz）可以判断所设计的滤波器是否是线性相位，如果不符合，可以更改参数加以较正或者用其他方法重新设计，从而方便了设计。

3.连续信号

产生一个连续信号，对其采样，频率100Hz，低频、中频、高频信号频率分别为5Hz、15Hz、，30Hz：

Fs=100;

t=（1:

100）/Fs;

s1=sin（2*pi*t*5）;

s2=sin（2*pi*t*15）;

s3=sin（2*pi*t*30）;

s=s1+s2+s3;

4.程序编程

%连续信号的产生及采样

Fs=100;%采样频率100Hz

t=（1:

100）/Fs;%采样100S

s1=sin（2*pi*t*5）;%频率分量5Hz

s2=sin（2*pi*t*15）;%频率分量15Hz

s3=sin（2*pi*t*30）;%频率分量30Hz

s=s1+s2+s3;

T=1/Fs

%切比雪夫带通滤波器的设计

Rp=1;

Rs=40;

ws1=2*pi*8/Fs;

wp1=2*pi*10/Fs;

wp2=2*pi*20/Fs;

ws2=2*pi*25/Fs;

%频率的预变换

Wp1=（2/T）*tan（wp1/2）;

Wp2=（2/T）*tan（wp2/2）;

Wp=[Wp1,Wp2];%模拟滤波器的通带截止频率

Ws1=（2/T）*tan（ws1/2）;

Ws2=（2/T）*tan（ws2/2）;

Ws=[Ws1,Ws2];%模拟滤波器的阻带截止频率％模拟滤波器的带宽

BW=Wp2-Wp1;

Omegaw0=sqrt（Wp1*Wp2）;

%求模拟低通滤波器的阶数与边缘频率

[N,OmegaC]=cheb1ord（Wp,Ws,Rp,Rs,'s'）;

%求切比雪夫模拟低通滤波器的零、极点与增益

[z0,p0,k0]=cheb1ap（N,Rp）;

%设计归一化的模拟原型带通滤波器

%求原型滤波器的分子系数

AnalogB=k0*real（poly（z0））;

%求原型滤波器的分母系数

AnalogA=real（poly（p0））;

%模拟低通到模拟带通的分子、分母系数的变换

[BandB,BandA]=lp2bp（AnalogB,AnalogA,Omegaw0,BW）;

%双线性变换：

模拟带通与数字带通的分子分母系数的变换

[DigitalB,DigitalA]=bilinear（BandB,BandA,Fs）;

%变为二阶节级联结构

[sos,G]=tf2sos（DigitalB,DigitalA）;

%求数字带通滤波器的幅频、相频特性、及其群延迟

%求数字带通滤波器的幅频特性

[Hz,Wz]=freqz（DigitalB,DigitalA,1024,'whole'）;

%将数字带通滤波器的幅频特性转化为分贝表示

dbHz=20*log10（（abs（Hz）+eps）/max（abs（Hz）））;

%求数字带通滤波器的相频特性

%φ＝angle（Hz）

%求数字带通滤波器的群延迟特性

grd=grpdelay（DigitalB,DigitalA,Wz）;

%作图

figure

（1）;

subplot（2,3,1）;plot（Wz/pi,abs（Hz））;title（'幅频响应'）;

xlabel（''）,ylabel（'幅度:

|Hz|'）;axis（[0,1,0,1.1]）;

set（gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,ws1/pi,wp1/pi,wp2/pi,ws2/pi,1]）;grid;

subplot（2,3,4）;plot（Wz/pi,dbHz）;title（'模值（dB）'）;

xlabel（'频率（单位：

\pi）'）;ylabel（'分贝（dB）'）;axis（[0,1,-40,5]）;

set（gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,ws1/pi,wp1/pi,wp2/pi,ws2/pi,1]）;

set（gca,'YTickmode','manual','YTick',[-50,-30,-2,0]）;

set（gca,'YTickLabelMode','manual','YTickLabels',['50';'30';'2';'0']）;grid;

subplot（2,3,2）;plot（Wz/pi,angle（Hz）/pi）;title（'相频响应'）;

xlabel（''）;ylabel（'单位：

\pi'）;axis（[0,1,-1,1]）;

set（gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,ws1/pi,wp1/pi,wp2/pi,ws2/pi,1]）;grid;

subplot（2,3,5）;title（'零极点图'）;

ylabel（'单位：

\dB'）;xlabel（'单位：

\pi'）;

zplane（DigitalB,DigitalA）;axis（[-1.1,1.1,-1.1,1.1]）;

subplot（2,3,3）;plot（Wz/pi,grd）;title（'群延迟'）

xlabel（'频率（单位：

\pi）'）;ylabel（'样本'）;axis（[0,1,0,8]）

set（gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,ws1/pi,wp1/pi,wp2/pi,ws2/pi,1]）;%画高刻度线

set（gca,'YTickmode','manual','YTick',[0:

0.5:

10]）;grid

set（gcf,'color','w'）%置图形背景色为白色

figure

（2）;

sf=filter（DigitalB,DigitalA,s）;

plot（t,sf）;

第五章IIR带通滤波器的仿真结果及波形

1.根据上述对IIR切比雪夫I带通滤波器的设计过程，在Matlab软件中得到其幅频响应、相频响应、零极点图以及群延迟特性曲线如下图所示。

2．输入低频、中频、高频信号频率分别为5Hz、15Hz、30Hz的原始信号波形如下：

3．经过通带为10Hz到20Hz的切比雪夫滤波器后的理想波形为：

4．经过通带为10Hz到20Hz的切比雪夫滤波器后的实际仿真波形为：

第六章仿真分析及总结

根据上述的仿真波形，可以看出：

（1）由ChebyshevI型低通原型变换成带通模型的幅频特性可以用分贝形式表示。

幅频响应在通带内为等纹波衰减、阻带内为单调减小的，且通带归一化截止频率在波形上显示为：

0.2与0.4，阻带归一化截止频率在波形上显示为：

0.16与0.5，可以将输入信号15Hz的信号滤出，将5Hz、30Hz的信号滤除。

（2）此次设计的IIR带通滤波器的阶数可由函数[N,OmegaC]=cheb1ord（Wp,Ws,Rp,Rs,'s'）

N=6。

幅频响应曲线上，在

（归一化后为0--1）范围内通带波动有五个波谷，阻带则单调减小，这与理论内容一致。

（3）对于分贝化后的幅度特性通带最大衰减大约为1dB，阻带衰减最小为30dB，。

（4）对于相频响应来说，带通滤波器在通带内的相频响应曲线接近为一条平滑曲线，在阻带内则存在衰减、畸变。

因此，对于双线性变换法，其相位特性得不到满足，必须用其它方法加以校正或采用其它方法重新设计滤波器，使之满足线性相位。

（5）群延迟是衡量一个滤波器或是整个系统性能指标的一个重要参数。

故经滤波后的信号与理想信号有延迟。

（6）零、极点图则反映Z域的传递函数，因为从图上得知滤波器在Ｚ域单位圆内的传递函数存在6对极点，其每一对则关于实轴对称，而且存在1对零点，且关于虚轴对称。

从理论上分析，可以求出其传递函数。

综上所述，由于软件的精度要求以及所调用函数的特性，在误差允许范围内，上述的滤波器特性的仿真结果基本符合题目的要求，并且在一定的程度上设计的指标远远好于题目的要求。

因此，所设计的滤波器达到了题目的要求。

第七章心得体会

此次Matlab课程设计是在一定的理论基础之上进行的，在先修课程《信号与系统》与《数字信号处理》中，大量有Matlab设计方面的知识，所以做起来还比较容易，而且经过了自己的亲身实践，学到了许多实践方面的知识。

首先，在信号滤波系统中，有时因为模拟滤波器阶数太高，硬件占用空间太大为某些仪器的实现设置了障碍，而对于一些窄带情况下的低通滤波器用模拟手段往往很难实现。

在这些情况下，数字滤波器将会是一个很好的解决办法。

MATLAB信号处理工具箱提供了丰富而简便的设计、实现FIR和IIR的方法，使原来繁琐的程序设计简化成函数的调用，特别是滤波器的表达方式和滤波器之间的相互转换显得十分简便。

其次，IIR数字滤波器的设计和模拟滤波器的设计有着紧密的关系。

通常要先设计出适当的模拟滤波器，再通过一定的频带变换把它转换成为所需的数字IIR滤波器。

最后，在比较设计滤波器的方法上应该明确其技术指标以及某些参数的实际意义。

比如本文用双线性变换法设计数字带通滤波器时，必须先将频率归一化，并且进行频率预畸变，然后设计模拟滤波器，再利用频率变换法将模拟低通变为模拟带通，最后经过双线性变换法将模拟带通变换为数字带通。

如果不进行频率预畸变，那么设计出来的带通滤波器的幅频特性与相频特性将会产生很严重的畸变（如图5、图6所示，