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第六章数理统计的基本概念
一、基本教学要求与主要内容
(一)教学要求
1.理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念,掌握样本均值、样本方斧及样本矩的计算。
2.了解直‘分布、t分布和F分布的定义和性质,了解分位数的概念并会查表计算。
3.掌握正态总体的某些常用统计量的分布。
4.了解最大次序统计量和最小次序统计量的分布。
本章重点:
统计量的概念及其分布。
(二)主要内容
1.总体、个体
我们把研究对象的全体称为总体(或母体),把组成总体的每个成员称为个体。
在实际问题中,通常研究对象的某个或某几个数值指标,因而常把总体的数值指标称为总体。
设x为总体的某个数值指标,常称这个总体为总体X。
X的分布函数称为总体分布函数。
当X为离散型随机变量时,称X的概率函数为总体概率函数。
当X为连续型随机变量时,称X的密度函数为总体密度函数。
当X服从正态分布"(娱“)时,称总体X为正态总体。
正态总体有以下三种类型:
⑴声未知,但/已知;
(2)j未知,但声已知;
(3)声和口‘均未知。
2.简单随机样本
数理统计方法实质上是由局部来推断整体的方法,即通过一些个体的特征来推断总体的特征。
要作统计推断,首先要依照一定的规则抽取n个个体,然后对这些个体进行测试或观察得到一组数据"•…•耳,这一过程称为抽样。
由于抽样前无法知道得到的数据值,因而站在抽样前的立场上,设有可能得到的值为心无•…,n维随机向量(為.场.….耳)称为样本。
n称为样本容量。
(两形•….召)称为样本观测值。
如果样本(鬲•比•…•竝)满足
(1)為■為•…•益相互独立;
(2)心屁•…"益服从相同的分布,即总体分布;
则称(為■场■…占)为简单随机样本。
简称样本。
设总体X的概率函数(密度函数)为/W,则样本(為•為•…■耳)的联合概率函数(联合密度函数为)
■
/仇七■…对=□/("
3.统计量完全由样本确定的量,是样本的函数。
即:
设石.屁.…必是来自总体X的-个样本,&的.為…儿)是一个n元函数,如果£中不含任何总体的未知参数,贝为一个统计量,经过抽样后得到一组样本观测值可宀.…宀,则称&(可・巧.…亠)为统计量观测值或统计量值。
4.常用统计量
(1)样本均值:
*
(2)样本方差:
⑶样本标准差:
皿4挣"它们的观察值分别为:
这些观察值仍分别称为样本均值、样本方差和样本标准差。
当n为奇数
I(4)样本中位数:
med=
当n为偶数
其中:
和《和壬…三狗是数据-由小到大的重排。
(5)样本的极差:
尺・乜〉■和
(6)样本的四分位间距:
H=其中@・Qg分别为数据的上、下四分位数。
fk-^Xyt-y)
M-
样本相关系数:
5.三个重要分布
(1)£分布
设石K■…必为独立标准正态变量,称随机变量+…+X?
的分布为自由度为n的才分布,记为"~兰偵)。
称满足:
・a的点£g)为分布的兰分位点。
(2)t分布
设随机变量x与y独立,,则称
的分布为自由度n的t分布,记为
称满足:
巾M£W))-a的点为t分布的兰分位点。
(3)F分布
设随机变量u与v相互独立,则称
的分布为自由度(HN)的F分布,记为八冲>.播)。
称满足:
的点号飢>■)为F分布的u分位点,且有
6.正态总体的抽样分布
统计量的分布称为抽样分布,设局•壬・•••・■&是来自正态总体**)的一个简单随机样本,E与3®分别为样本的均值和样本方差,则有
T~N(a—1
(1)I«J;
(2)童与相互独立;
⑶孚~如)。
学习要点
统计学的核心问题是由样本推断总体,因此理解统计量的概念非常重要。
它是样本的函数,统计量的选择和运用在统计推断中占据核心地位。
样本均值、样本方斧以及其他样本矩都是一些常用的统计量,必须熟悉它们的计算方法及其有关性质。
统计量的分布称为抽样分布,其中『分布、t分布、F分布即是本章的重点,必须熟悉它们的定义、性质及其上匸分位点的杳表方法;正态总体抽样分布是统计学中最重要的一个理论结果,必须弄清它的条件及结论,并能运用判断一些常用统计量的分布。
习题解答
1.设爲,才”•••耳是来自服从参数为1的泊松分布中)的样本,试写出样本的联合分布律。
2.设石…•如是来自M±的均匀分布的样本,未知
C1)写出样本的联合密度函数;
C2)指出下列样本函数中哪些是统计量,哪些不是?
为什么?
百.孟*卫:
…+X.厲-疋■-兀・心k-皿陰£.…"X、
(3)设样本的一组观察是:
0.5,1,0.7,061,1,写出样本均值、样本方差和标准差。
解
/
I
(1)/(々丹…L0 0其他 (2)五和焉是,玉和E不是。 因为召和訂中不含总体中的唯一未知参数$,而玉和血中含有未知参数扌O If-a3)1+(12)*+(-0.1)>4-(-0.2)>+(0.2),+(0.2^)-&0433 样本标准斧仲■^0C3-12082o 3.査表求2w»O2)? 云的(12),务(12),o 解^02)=26.217,^(1^=3.571,也02)=26810,%。 刃=-26810 4.设丁~尬0),求常数『,使疋>・)-<195。 解由t分布关于纵轴对称,所以申>小僅序即为 由附表5.6可査得-C-1-8I,所以C--181O 5.设石尢.…血是来自正态总体卜和*7")的样本,试证: (2) 证明: S,即 (1)&独立同分布于1^0,由-;'分布的定义,m(a)昇2® (2)易见,幺1',即石庐,由£分布的定义,1丿, 即占飼V 6.设是独立且服从相同分布的随机变量,且每一个^(F-1A-.5)都服从樽」)。 (1)试给出常数「使得服从£分布,并指出它的自由度; 服从t分布,并指出它的自由度。 (2)试给出常数;,使得何匚 解 (1)易见,聲即为二个独立的服从呦)的随机变量平方和,服从兰(0分布,即二=・;自由度为2。 ⑵由于补33),则勞沁" (亦无)/迈 又炉昭山~兰(3),与以相互独立,则 X5) A益+K_申)即2何茗茗 d逅 即'~2,自由度为3。 7.设•才・)是取自总体主的一个样本,在下列三种情况下,分别求 (1)1珈上);⑵疋“⑴;⑶厂岡心),其中@>叭 解 (1)*~甌*) 8(x)=川匕1)*Q(X)=Ml-p) I"7/*7 矽)=€諛・;唱拧心卜黯咖)・W))(巩紛凶也®)】] =(i-gp(D ⑵乂~矶1) 啲冷疋)洛 祸=胎驱卜吐尸)锐呦•uw)H£令 (3)*~尺0.加),其中"0 吃).0 ^)-y g^t}-8 g 來°)・北血)+(曲)『)-d取%(4^y)]-('•浒 8.某市有100000个年满18岁的居民,他们中10%年收入超过1万,20%受过高等教育。 今从中抽取1600人的随机样本,求: (1)样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率; (2)样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率。 解 C1)引入新变量: L 1---=1,第T个样本居民年收入超过1万 0,第『个样本居民年收入没超过1万 其中乙•••”&»■1600 易见: 》・円兀・1)"1 又因»-lino«j/-looooo,故可以近似看成有放回抽样,再山…/相互独立。 戸-哥)-0.L<7-历(可-』Llxa9-0L3 样本中年收入超过1万的比例即为兰,由于»-1600较大,可以使用渐近分布求 1,第J个样本居民受过高等教育 0,第『个样本居民未受过高等教育 其中*…人牙"1600p■心・l)・D2“■0乂0■*^2x0S■0.4 答: (1)样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率为0.0918; (2)样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率为0.6826o 课外练习 1设总体 (1)抽取容量为36的样本,求”38SXS43);⑵抽取容量为64的样本,求/0r_4Ol<,);(3)取样本容量n多大时,才能使 <1)-195 2设总体才~心“),皆未知,已知样本容量样本均值T-I2.5,修正样本方差宀5333,求护-小词。 3设是•…■耳•耳•”…■耳来自正态总体Hgc"),容量为"+■的样本,求下列统计量的抽样分布: 4若厂~咐,则严服从什么分布? 5设乌…心是来自泊松分布中)的一个样本,花与二: 分别为样本均值与样本方差,试求班)畑倒邮沪)。 6某区有25000户家庭,10%的家庭没有汽车,今有1600户家庭的随机样本,试求: 9%~11%之间的样本家庭没有汽车的概率。 答案和提示 9.10.9916,0.8904,96。 9.20.5。 9.3(l)rJ(«+*); (2)4»);(3) 9.4冲川)。 9.52,n,卜 9.60.8164o 第七章参数估计 一、教学基本要求与主要内容 (一)教学基本要求 1.理解点估计的概念。 2.掌握矩估计法(一阶、二阶)和极大似然估计法。 3.了解估计量的评选标准(无偏性、有效性、一致性)。 4.理解区间估计的概念。 5.会求单个正态总体的均值和方斧的置信区间。 6.会求两个正态总体的均值斧和方斧比的置信区间。 本章重点: 未知参数的矩估计,极大似然估计及正态总体未知参数的区间估计。 (二)主要内容 1.点估计方法 设E•禺•…•耳)是来自总体X的样本,£是总体的未知参数,若用一个统计量©-範•…•兀)来估计&,则称扌为参数$的估计量,在抽样后,称忌为参数夕的估计值。 这种估计称为点估计。 矩估计和最大似然估计是两种常用的点估计法。 (1)矩估计法 用样本的各阶原点矩去估计对应的各阶总体的原点矩,这就是矩估计的基本方法。 [* 记样本的]阶原点矩为: ';记总体的邛介原点矩为: a-4^9,则A=*io 若总体的未知参数吗■豹馆•血•…•如X』■讥…•*),其中gi.-g*为盒个多元的已知函数,则耳的矩估计量为4-&(*>.«>••■Jo 其中用样本均值估计总体均值,用样本方斧估计总体方斧最为常用。 C2)最大似然估计法 设总体x的密度函数(其中丢为未知参数),已知xi-x3-~'»zb为总体x的样本(耳屁.••*.)的观察值,则求気的最大似然估计值戟的步骤如下: ①写出似然函数 ②称满足关系式 二©•4)■DMflr4^…"毎) 的解4显….7为氏的最大似然估计值,而•…•兀)为冈的最大似然估计量。 如果冷・二弘)是规的可微函数,则将似然函数取对数 虹…•遵)■£5/(可.勺"理■■■•^1) 建立并求似然爲组 一般来说,最大似然估计值可以由解对数似然方程得到。 当似然函数不可微时,可以直接寻求使得£他・…•%)达到最大的解来求得最大似然估计值。 如果总体X为离散型,其分布律为 只斗冏島•…島)■■山吗角.…心) 则似然函数为 ….毁)-rip(卒昭◎.…"砒 计算方法同连续型一致。 2.点估计的优良性评判准则 (1)无偏性 设—40G…必)是60)的一个估计量,若斗值)对每一佻o成立则称■"…必)是水)的一个无偏估计。 (2)有效性 设g”决是gW)的两个无偏估计,如对每一,有巩hE矶h)且至少对某个&使之成立严格不等式,则称二比為有效。 称在所有的*3)无偏估计中,方差最小的那一个为一致最小方差无偏估计。 (3)相合性 对…必)■的>・)皿",则称估计量童具有相合性。 3.区间估计 C1)定义 设JFj.--.Jr,是来自总体巾上)的样本,佻8未知,对于VD@,使得 则称[多硏为*的双侧i-u置信区间,】-=为置信水平,一旦样本有观察值X”…斗,则称相应的[霞和…•召】死仍…•耳'为置信区间的观察值。 若有统计量@・@忆….兀),使得 则称氐为咅的单侧1-乂置信区间,为$的单侧】-・: 置信上限。 若有统计量-A),使得 %(4姿1・6机8 则称便*|严・耳1*«)为M的单侧JU置信区间,虱心••》£)为&的单侧-U置信上限。 C2)求置信区间的一般步骤 (i)先求出&的一个点估计(通常为最大似然估计)§-和。 …・*・); (ii)构造§和却的一个枢轴函数 G-Ofeo), 其中除包含未知参数扌以外,不再有其他的未知参数,且芒的分布完全已知或完全可以确定的。 (iii)确定xb,使得: 当•匸的分布为连续型时,只须考虑等号的情形; (iv)将等价变形为@"三@,其中他…M.)和範T”…M.)仅是样本函数,则(@(和“心】条v耳、就是夕的】七置信区间。 2.单正态总体下的置信区间 设JG.-.A是取自正态总体N仏J)的一个样本,置信水平为i-s样本均 C1)均值戶的置信区间 若+已知,取如卜叫 故主的双侧1-M置信区间为: 若P未知,取*" [*%备*5討 (2)方差P的置信区间 若a已知,取FJ占'円,故十的双侧】七置信区 间为: 故金的双侧】Y置信区间为: 若&未知,取 故+的双侧置信区间为: 3.二正态总体下均值斧的置信区间 设坊•…是取自正态总体的一个样本,K"…•為是取自正态总体祐毎虫)的一个样本,且(T”…•兀)与傅相互独立,置信水平为记"牯"挣嵐-希帥F骨耐] (1)若分已知时,取傀-円的双侧--Q置信区间为 『亠时昏? ] (2)若打-另未知,取 故列-他的双侧1-兰置信区间为 龙"“A+._2)S; 学习要点 本章的要点是理解参数点估计的概念,掌握参数点估计的三个评判标准,会能实际应用。 特别是要掌握矩估计法和最大似然估计法这二种点估计的常用方法,并能熟练地运用这二种点估计的常用方法去求参数的估计量.本章的另一要点是理解参数区间估计的概念和置信水平、置信区间的概念及其意义,熟悉对单正态总体的均值与方差和两正态总体的均值差进行区间估计的方法及步骤,并能熟练地运用以上方法求各种置信区间。 习题解答 1-设才”是取自总体X的一个样本,在下列情形下,试求总体参数的矩估计与最大似然估计: (1)*~同"』),其中匸未知, (2)工~矶0,其中乂未知,2>0o 解 (1)風X)=P,故2•的矩估计量有0・卩。 另,X的分布律为心・-涉Xml,故似然函数为 对数似然函数为: 令妙p\-p 解得歹的最大似然估计量弱屿'O 可以看出P的矩估计量与最大似然估计量是相同的。 蚣)・丄丄,・•! (2)'丿2,令JL,故丿-的矩估计量To 另,X的密度函数为 /&4X>0 I.ZrU)-0i<0 故似然函数为 14小Q其他 对数似然函数为 1-4 d\ei4几)n•„_ MAM 可以看出-2的矩估计量与最大似然估计量是相同的。 2.设….X.是取自总体X的一个样本,其中X服从参数为丿-的泊松分布,其中-2未知,1>0,求1的矩估计与最大似然估计,如得到一组样本观测值 X 0 1 2 3 4 频数 17 20 10 2 1 求-2的矩估计值与最大似然估计值。 解中J-),故丄的矩估计量匸"。 由样本观测值可算得 P_0x17+1x20+2x10+3x21-4x1 另,X的分布律为 故似然函数为 4可・j・咽乙-j-以…4 对数似然函数为 h比)・弼•呼卜4 故2的最大似然估计值兀・io 3.设Xg.….X.是取自总体X的一个样本,其中X服从区间血@)的均匀分布,其中未知,求*的矩估计。 解^*2,令尹,故询矩估计量0-2*。 4. 设.A是取自总体x的一个样本,x的密度函数为 解咚)-“寻,令扌―故咅的矩估计量为T 5.设是取自总体X的一个样本,X的密度函数为 J0 l/W=0其他 其中未知,求$的矩估计和最大似然估计。 解SW需,令黑"故讪估计量为鼻君 另,似然函数 I屯卜o其他 对数似然函数为 h血)"ln(9+1)+或h应 解得&的最大似然估计量为H。 6.设X皿•…几是取自总体X的一个样本,总体X服从参数为F的几何分布,即*)-.(x-U2.1■••),其中匸未知,0"<1,求戸的最大似 然估计。 a 解似然函数心)■才@-朋3对数似然函数 ■I 解得;•的最大似然估计量为p~x. 7.已知某路口车辆经过的时间间隔服从指数分布璋),其中2>0未知,现在观测到六个时间间隔数据(单位: s): 1.8,32484.525,试求该路口车辆经过的平均时间间隔的矩估计值与最大似然估计值。 I 解根据习题1的结果,丄的矩估计和最大似然估计量都为P,故平均时间 丄 间隔的矩估计和最大似然估计都为工,即为E。 由样本观测值可算得乳樹mm样切 I 8.设总体X的密度函数为""卜百八」-®1"'**0),其中小未知,设 是取自这个总体的一个样本,试求j的最大似然估计。 解似然函数(2叭, 对数似然函数为 h£(«)・-弘(帀)■丄£凶| 如&)_亠紳|_0亦a/ 得丁的最大似然估计量为°诵匡L 9.在第3题中夕的矩估计是否是*的无偏估计? mm2 解匍去刃“⑷-吩討卜箔心)■镐卜“ 故扌的矩估计量2无是咅的无偏估计。 10.试证第8题中l的最大似然估计是l的无偏估计。 证明: 砖)・£泗卜挣阿 &・丄殳闯 故”的最大似然估计"台产"是尸的无偏估计。 H.设不・%・%为总体*~如一)的样本,证明 A-jJTi*yJG*|x» 都是总体均值存的无偏估计,并进一步判断哪一个估计有效。 证明血)珂存心“討) -押心”討芝)=(卜卜9住)=切="血)・«#乱4斷€届〕 ■沁此心)+#心) -(扌+壬+-/i 所以禹•鬲都是总体均值左的无偏估计。 又如伊吟) -刍心)碍咻)丐咻) 可见咻)<血J,所以二个估计量中%更有效。 12.设Xg.…・*■是取自总体才~*一)的一个样本,其中一>0未知,■丄? Jf" 令1,试证F是b? 的相合估计。 证明易见孙£詞•挣创寺討~加, 由公式(9),k 故盾)噜討|手•右 由切比雪夫不等式,当"T8,对任给"0, 相・外永響召T0 即尸是P的相合估计。 13.某车间生产滚珠,从长期实践中知道,滚珠直径X服从正态分布弘皿沪),从某天生产的产品中随机抽取6个,量得直径如下(单位: mm): 14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1,求主的0.9双狈0置信区间和0.99双狈0置信区间。 解由于已知,所以选用左的置信区间[八叭卸f启]。 当1-«-0.9,査表得Wf1",当|-«-099,査表得tti-? "t*«i"ZS76oX-I4^Jf-4 代入数据得B的双狈g0.9置信区间观测值为 14.95-1.64-^.14.951-L64-Vr. 丢46\,即为[M.WJ5.(B]o [w.95-2S7«鲨.149$*257(号] 左的双侧0.99置信区间观测值为L聒不」,即为 (M.MJS.16]o 14.假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布弘沪),丁未知。 为了合理的确定对该商品的进货量,需对占和审作估计,为此随机抽取七个月,其销售量分别为: 64,57,49,81,76,70,59,试求左的双侧0.95置信区间和方差,的双侧0.9置信区间。 解由于左和h都未知,故&的1-二双侧置信区间为 备钊, ,的1-=双侧置信区间为 代入数据得 X-65.14.S3-lO8.4Lf*-ll.25.igm(S)-Z45;M-7>2$K(S)^Os(S)-l.635, [eS-14-245x+245 左的0.95双侧置信区间观测值为L°审」,即 为[54.74.7S.54]o [7x108.417xlOS”q F的0.9双侧置信区间观测值为LR珑’M3S」,即为[3M«M]0 15.随机地取某种子弹9发作试验,测得子弹速度的r-u,设子弹速度服从正态分布弘「),求这种子弹速度的标准差山和方差F的双侧0.95置信区间。 [血-忖*■时] 解由于存未知,故p的双侧置信区间为風D才;代入数据得—9.L-血瘵„附“7-皿.迅』)-218, pxUl8x1211 F的0.95双侧置信区间观测值为I万示即为[55W.4M4W]o故h的0.95双侧置信区间观测值为卩乃20*・如0371,即为MM-07】。 16.已知某炼铁厂的铁水含碳量(1%)正常情况下服从正态分布从*),且标准差o・(Ll(K。 现测量五炉铁水,其含碳量分别是: 4.2&4.4,4.42,4.35,4.37 C1%),试求未知参数左的单侧置信水平为0.95的置信下限和置信上限。 解由于b-0.108已知,故"的单侧置信下限为Pg,左的1-兰 单侧置信上限为石,代入数据得故严的 43M-1.6454.285 0.95单侧置信下限观测值为葛,芦的0.95单侧置信上限 4.364+1.645-2^.・4-443 观测值为幕。 17.某单位职工每天的医疗费服从正态分布N広*),现抽查了25天,得*■170元,J-30元,求职工每天医疗费均值戶的双侧0.95置信区间。 解由于/未知,故左的1-兰双侧置信区间为峠石],代入数据得*-30.—2.MW,故a的0.95双侧置信区间观测值 [ 170-Z06397.1704-2MJ9t、 厕岳」,即为f57.4,182^] 18.某食品加工厂有甲乙两条加工猪肉罐头的生产线。 设罐头质量服从正态分布并假设甲生产线与乙生产线互不影响。 从甲生产线并假设抽取10只管头测得其平均质量刃“,已知其总体标准差g广%;从乙生产线抽取20只罐头测得其平均质量9-^8,已知其总体标准羌巧-低,求甲乙两条猪肉罐头生产线生产罐头质量的均值美k肌的双侧0.99置信区间。 解由于5=5第q=4孝已知,故地w的1-乂的双侧置信区间为 代入数据得*・刃叨・初8上・UU-20,a? -25.^-16心枷-2■为,故 AF的0.99双狈0置信区间观测值为奇501畑2叫滸曙 19.为了比较甲、乙两种显像管的使用寿命X和Y,随机的抽取甲、乙两种显像管各10只,得数据>r>.和片•••』・(单位: 10、),且由此算得 I*■ X-2.nj-0.7S,弱W-27•话5・疔・19.2,假定两种显像管的使用寿命均服从正态分布,且由生产过程知道它们的方斧相等。 试求两个总体均值之斧A-*>的双侧0.95置信区间。 解由于戒未知,故舛-血的双侧置信区间为 其中今馬鼬-商-郭■叫 代入数据得-075.»-10--|.«(l.|«m(lS)-110W,故列-血的 0.95双侧置信区间观测值为 即为 20.在3091个男生,3581个女生组成的总体中,随机不放回地抽取
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