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平面直角坐标系
第12章-平面直角坐标系
12.1平面上点的坐标
内容要求:
1.认识并能画出平面直角坐标系;在给定的直角坐标系中,会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。
2.能在方格纸上建立适当的直角坐标系,描述物体的位置。
学法指导:
例1如果点M的坐标为(
),(
)则点M位于第几象限?
思路分析请思考各个象限内的点的坐标的符号特征:
象限
横坐标的符号
纵坐标的符号
第一象限
+
+
第二象限
-
+
第三象限
-
-
第四象限
+
-
解∵
∴
∴当n>0时,点M(
)位于第一象限;
当n<0时,点M(
)位于第四象限。
例2设点M(a,b)为平面直角坐标系中的点,
(1)当a>0,b<0时,点M位于第几象限?
(2)当ab>0时,点M位于第几象限?
(3)当a为任意实数,且b<0时,点M位于第几象限?
思路分析:
(1)横坐标为正数,纵坐标为负数的在第四象限;
(2)由ab>0,可得a、b同号,则点M在第一象限或第三象限;(3)a为任意实数,则点M的横坐标可以为正数、零或负数,而纵坐标为负数,故点M在x轴下方,即点M在第三象限或第四象限或在y轴的负半轴上。
解:
(1)∵a>0,b<0∴点M位于第四象限;
(2)∵ab>0,∴a>0,b>0或a<0,b<0,
∴点M在第一象限或第三象限;
(3)∵a为任意实数,b<0
∴点M在x轴下方,即点M在第三象限或第四象限或在y轴的负半轴上。
说明:
点在x轴下方,它可能在第三象限或第四象限,也可能在y轴上,但y轴上的点不属于任何象限。
例3
(1)过点P(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标有什么特征?
(2)过点P(a,b)平行于y轴的直线上的点的坐标有什么特征?
(3)过点P(a,b)平行于x轴的直线上的点的坐标有什么特征?
解:
(1)按照题意画出符合条件的直线l,在l上任取三点并分别向x轴、y轴作垂线(如图12-1),可见三点到x轴的垂足都是P,设三点到y轴的垂足分别是A1、B1、C1,它们到原点的距离分别是a、b、c,于是A(2,a),B(2,b),c(2,c),其共同特征是横坐标都是2;
(2)同理,过点P(a,b)平行于y轴的直线上的点的坐标特征是横坐标都是a(如图12-2);
(3)过点P(a,b)平行于x轴的直线上的点的坐标特征是纵坐标都是b(如图12-3)
说明:
本例的结论告诉我们,平行于y轴的直线上的点的横坐标相同,该直线与x轴交于某一点,这点的横坐标就是该直线上扡有点的横坐标;平行x于轴的直线上的点的纵坐标相同,该直线与y轴交于某一点,这点的纵坐标就是该直线上所有点的纵坐标。
反之,如果两个点的横坐标相同,那么过这两点的直线必平行于y轴;如果两个点的纵坐标相同,那么过这两点的直线必平行于x轴。
例4在平面直角坐系中,△ABC的边AB在x轴上,且AB=3,A点的坐标为(-5,0),C点的坐标为(2,5)。
(1)画出所有符合条件的△ABC,并写出B点的坐标;
(2)求△ABC的面积。
解:
(1)按照题意画出符合条件的△ABC有两个,B点的坐标分别是(-2,0),(-8,0).
(2)求△ABC的面积是
说明:
△ABC的底边AB的高即是C点的纵坐标5。
基础训练
练习12.1
(1)
1、填空题
(1)点A的横坐标是4,纵坐标是-3,点A的坐标记作_______.
(2)点A(3,-4)到y轴的距离为_______,到x轴的距离为_____.
(3)如图12-4,如果所在位置的坐标为(-1,-2),所
在位置的坐标为(2,-2),那么,所在位置的坐
标为.
(4)已知a<b<0,则点A(a-b,-b)在第象限。
2、选择题
(1)图中“故宫”、“鼓楼”所在的区域分别是( )
(A)D7,E6 (B)D6,E7 (C)E7,D6 (D)E6,D7
(2)平行于x轴的直线上的任意两点的坐标之间的关系是( )
(A)横坐标相等(B)纵坐标相等(C)横坐标和纵坐标都相等(D)以上结论都不对
(3)在平面内有一点P,点P到x轴、y轴的距离分别为b、a,且P点在x轴上侧,y轴左侧,那么P点的坐标为()。
(A)、(b,-a)(B)、(-b,a)(C)、(-a,b)(D)、(a,-b)
(4)点P(m,1)在第二象限,则点Q(-m,0)在()
(A)x轴正半轴上(B)x轴负半轴上(C)y轴正半轴上(D)y轴负半轴上
(5)已知点P的坐标为(2–
,3
+6),且点P到两坐标轴的距离相等,则点P坐标是()
(A)(3,3)(B)(3,—3)(C)(6,一6)(D)(3,3)或(6,一6)
3.指出下列各点所在的象限或坐标轴:
A(-3,-5),B(6,-7),C(0,-6),D(-3,5),E(4,0).
4.在图中分别描出坐标是(2,3)、(-2,3)、(3,-2)的点Q、S、R,Q(2,3)与P(3,2)是同一点吗?
S(-2,3)与R(3,-2)是同一点吗?
x轴上点的纵坐标有什么特点?
y轴上点的横坐标有什么特点?
5.在这个平面直角坐标系中,描出下列各组内的点用线段依次连接起来。
(1)(-6,5),(-10,3),(-9,3),(-3,3),(-2,3),(-6,5);
(2)(3.5,9),(2,7),(3,7),(4,7),(5,7),(3.5,9);
(3)(3,7),(1,5),(2,5),(5,5),(6,5),(4,7);
(4)(2,5),(0,3),(3,3),(3,0),(4,0),(4,3),(7,3),(5,5)。
观察所得的图形,你觉得它像什么?
练习12.1
(2)
1、如图,求出A、B、C、D、E、F的坐标。
2.如图,马所处的位置为(2,3).
(1)你能表示出象的位置吗?
(2)写出马的下一步可以到达的位置。
3、在直角坐标系中,设法找到若干个点使得连接各点所得的封闭图形是如下图所示的“十”字。
(选取的坐标系不同,得出的坐标也不同。
)
4、在一次“寻宝”游戏中,寻宝人已经找到了坐标为(3,2)和(3,-2)的两个标志点,并且知道藏保地点的坐标为(4,4),除此外不知道其他信息。
如何确定直角坐标系找到“宝藏”?
与同伴进行交流。
5、如图12-7所示,求矩形ABCD与梯形ABEF面积的差。
综合应用12.1
1、填空题
(1)若点A(a,b)在第三象限,则点C(-a+1,3b-5)在第象限
(2)过点A(2,-3),垂直于
轴的直线交
轴于点B,那么点B的坐标为________。
2、选择题
(1)已知坐标平面内点A(m,n)在第四象限,那么点B(n,m)在()
A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限
(2)平面直角坐标系内两个不同点A、B的纵坐标相同,则直线AB与x轴的位置关系是()
A、平行B、垂直C、相交D、平行或重合
3.在直角坐标系中描出下列各点,顺次用线段将这些点连起来,并将最后一点与第一点连起来,看看得到的是一个什么图形?
4.如图是一个围棋棋盘,我们可以用类似于直角坐标系的方法表示各个棋子的位置.例如,图中右下角的一个棋子可以表示为(12,十三).请至少说出图中四个棋子的“位置”.
5.某地为了发展城市群,在现有的四个中小城市A、B、C、D附近新建机场E,试建立适当的直角坐标系,并写出各点的坐标。
6.写出图中的多边形ABCDEF各各顶点的坐标。
上图中各顶点的坐标是否永远不变?
你能举个例子吗?
7、如图12-8所示的直角坐标系中,四边形ABCD各顶点的坐标分别是A(0,0)、B(9,0)、C(7,5)、D(2,7),试确定这个四边形的面积。
数学活动
8、如图是公园平面图,班级组织同学到公园游玩,小明、小丽、两位同学和其他同学走散了,同学们已经到了中心广场,而他们仍在牡丹园赏花,他们对着景区示意图在电话中向老师告诉了他们的位置.
小明:
“我这里的坐标是(300,300)”.
小丽:
“我这里的坐标是(200,300)”.
实际上,他们所说的位置都是正确的.你知道小明和小丽同学是如何在景区示意图上建立的坐标系吗?
用他们的方法,你能描述公园内其他景点的位置吗?
分别画出直角坐标系,标出其他景点的位置,并与同伴进行交流。
根据以下条件画一幅示意图,标出某一公园的各个景点.
菊花园:
从中心广场向北走150米,再向东走150米;
湖心亭:
从中心广场向西走150米,再向北走100米;
松风亭:
从中心广场向西走100米,再向南走50米;
育德泉:
从中心广场向北走200米.
12.2图形在坐标系中的平移
内容要求:
1.在同一直角坐标系中,感受图形平移变换后点的坐标的变化。
2.用坐标来研究图形平移变换,体现数形结合思想。
学法指导:
例1
(1)如图将点A(-2,-3)向右平移5个单位长度,得到点A1,在图上标出它的坐标,把点A向上平移4个单位长度呢?
(2)把点A向左或向下平移4个单位长度,观察他们的变化,你能从中发现什么规律吗?
(3)再找几个点,对他们进行平移,观察他们的坐标是否按你发现的规律变化?
解:
(1)点A1(3,-3);把点A向上平移4个单位长度得到(-2,1)。
(2)把点A向左或向下平移4个单位长度,得到(-6,-3),(-2,-7)。
(3)规律:
在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右(或左)平移a个单位长度,可以得到对应点(x+a,y)(或(x-a,y));将点(x,y)向上(或下)平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y+b)(或(x,y-b)).
说明:
对一个图形进行平移,这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化;反过来,从图形上的点的坐标的某种变化,我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移.
例2如图
(1),三角形ABC三个顶点坐标分别是A(4,3),B(3,1),C(1,2).
(1)将三角形ABC三个顶点的横坐标减去6,纵坐标不变,分别得到点A1、B1、C1,依次连接A1、B1、C1各点,所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系?
(2)将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5,横坐标不变,分别得到点A2、B2、C2,依次连接A2、B2、C2各点,所得三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系?
按要求画出图形后,解答此题.
解:
如图
(2),所的三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状完全相同,三角形A1B1C1可以看作将三角形ABC向左平移6个单位长度得到.类似地,三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状完全相同,它可以看作将三角形ABC向下平移5个单位长度得到.
说明:
在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右(或左)平移a个单位长度;如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上(或下)平移a个单位长度。
基础训练
练习12.2
(1)
1.填空题
(1)在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右(或左)平移a个单位长度,可以得到对应点(x+a,y)(或(,));将点(x,y)向上(或向下)平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y+b)(或(,))。
(2)观察下列图象,与图1中的鱼相比,图2中的鱼发生了一些变化;若图1中鱼上点P的坐标为(4,3.2),则这个点在图2中的对应点P1的坐标应为。
图1图2
2、直角坐标系中的点P(3,2)向下平移两个单位长度后的坐标为( )
A.(1,2) B.(3,0) C.(3,-4) D.(-3,4)
3、观察图形由
(1)
(2)(3)的变化过程,写出每一步图形中各顶点的坐标是如何变化的,图形是如何变化的。
4.如图所示,解决下列问题:
(1)与
中的三角形相比,
中的三角形分别发生了哪些变化?
(2)图中的直角三角形顶点的坐标分别发生了哪些变化?
5. 图中,△AOB沿x轴向右平移3个单位之后,得到△A′O′B′.三个顶点的坐标有什么变化呢?
6.如图将平形四边形ABCD向左平移2个单位长度,可以得到平行四边形ABCD,画出平移后的图形,并指出其各个顶点的坐标。
练习12.2
(2)
1.在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向(或向)平移个单位长度;如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向(或向)平移个单位长度。
2.如图所示的图案上各点的纵坐标保持不变,横坐标分别加2,连结各点所提图案与原图案相比()
A、位置和形状都相同B、横向缩短一半
C、向左平移了2个单位长度D、向右平移了2个单位长度
3.如图,同伴间互相告诉一个平移方式,将坐标平面上小船平移,由对方画出图形,并进行交流平移后图形。
综合应用12.2
1.作图并填写坐标:
(1)请在如图所示的方格纸中,将△ABC向上平移3格,再向右平移6格,得△A1B1C1,;
(在图中作出△A1B1C1)
(2)请在方格纸的适当位置画上坐标轴(一个小正方形的边长为1个单位长度),在你所建立的直角坐标系中,点C、C1、C2的坐标分别为:
点C()、点C1()、
点C2()、
2.在如图直角坐标系中,描出点(9,1)(11,6)(16,8)(11,10)(9,15)(7,10)
(2,8)(7,6)(9,1),并将各点用线段顺次连接起来。
如果将原图形上各点的横坐标加2、纵坐标减5,求出各点的坐标,再将各点依次连接起来。
与原图形相比,所得图形有什么变化?
3.直角△OAB在直角坐标系中的位置如图所示
(1)写出顶点A、B的坐标
(2)将线段AB向左平移2个单位,画出平移后的图形,并写出点B的对应点C的坐标
数学实践
4.利用平移自己创作一个图形,并与同伴交流。
漫游数学世界
阅读与欣赏
笛卡尔(1596-1650),法国著名数学家、哲学家、思想家。
笛卡儿的最大贡献是,建立以他的中字命名的笛卡儿坐标系,将过去以立着的两个研究对象“数”与“形”统一起来,他在数学中引入“变量”,完成了数学史上一项划时代的变革。
1637年出版的《方法论》一书成为哲学经典,这本书的3个著名附录《几何》、《折光》和《气象》奠定了笛卡儿在数学、物理和天文学中的地位。
《方法论》中的《几何》这一附录,是笛卡儿写过的唯一一本数学书,春中清楚地反映了他关于坐标几何和代数的思想。
笛卡儿的坐标系不同于一般的定理,也不同于一般的数学理论,它是一种思想方法和技艺,它使整个数学发生了崭新的变化,它使业余的数学家笛卡儿成为了当之无愧的现代数学的创始人之一。
解析几何的创立,导致数学史上的一次划时代的转折,对于这一重大科学发现,恩格斯作了高度评价:
“数学中的转折是笛卡儿的变量,有了它,运动进入了数学,因而辩证法进入了数学,因而微分和积分的运算也就立刻成为必要了。
”为了纪念这位杰出的业余数学家,我们现在所用的直角坐标系,通常叫做笛卡儿直角坐标系。
“我思故我在”,这是笛卡儿的至理名言,在他的墓碑上镌刻着:
笛卡儿,欧洲文艺复兴以来,第一个为人类争取并保证理性权利的人
单元检测
一、选择题
1.若点M(x,y)满足xy=0,则点M只能位于()
(A)原点(B)x轴上(C)y轴上(D)x轴或y轴上
2.直角坐标系中,一条直线平行于y轴,且到y轴的距离2,点P(x,y)在该直线上,那么下列说正确的是()
(A)x=2(B)y=2(C)x=±2(D)y=±2
3.如果点P(m+3,2m+4)在y轴上,那么点P的坐标是()
(A)(-2,0)(B)(0,-2)(C)(1,0)(D)(0,1)
4.已知点P在直角坐标系第二象限内,且点P到x轴的距离是1,到y轴的距离是2,则点P的坐标是()
(A)P(1,2) (B)P(-1,2) (C)P(2,1) (D)P(-2,1)
5.在5×5方格纸中将图
(1)中的图形N平移后的位置如图
(2)中所示,那么正确的平移方法是().
(A)先向下移动1格,再向左移动1格
(B)先向下移动1格,再向左移动2格
(C)先向下移动2格,再向左移动1格
(D)先向下移动2格,再向左移动2格
二、填空题
(1)点A在
轴上,距离原点4个单位长度,则A点的坐标是。
(2)在平面直角坐标系中,点(-2,4)所在的象限是.
(3)点A在
轴右侧,距
轴4个单位长度,距
轴3个单位长度,则A点的坐标是。
(4)在y轴上与点(0,-2)距离是4个单位长度的点有。
(5)如图
(2),正方形ABCO的边长是2,E是BC中点,则E点的坐标是,
(6)如图的围棋盘放在某个平面直角坐标系内,白棋②
的坐标为
白棋④的坐标为
那么
黑棋①的坐标应该是.
三、解答题
1.已知图1中的每个小正方形的边长是1个单位.将图1中的格点△ABC,先向右平移3个单位,再向上平移2个单位,得到△A1B1C1,请你在图1中画出△A1B1C1.
2、建立坐标系表示下列图形各顶点的坐标:
(2)长方形ABCD,长6宽4,建坐标系使其中C点的坐标(-3,2)
3、在图中A(2,-4)B(4,-3)C(5,0),求四边形ABCO的面积。
4、小明在把电话中告诉小敏同学如图所示的图形,为了描述清楚,他使用了直角坐标系的知识,叙述得一清二楚,你知道小明是怎样叙述的吗?
7.如图4,一个机器人从O点出发,图3向正东方向走3米到达A1点,再向正北方向走6米到达A2点,再向正西方向走9米到达A3点,再向正南方向走12米到达A4点,再向正东方向走15米到达A5点.按如此规律走下去,当机器人走到A6点时,坐标是__________.米.
参考答案
基础训练12.1
(1)
1、
(1)(4,-3)
(2)3,4(3)(-3,2)(4)=
2、
(1)C
(2)B(3)C(4)A(5)D
3、三;四;y轴负半轴;第二象限;x轴的正半轴4、(略)5、(略)
12.1
(2)
1、A(-4,0),B(4,0),C(0,6),D(0,0),E(-2,3),F(2,3)
2、①象(5,3)②(3,5),(1,5),(3,1),(1,1)(4,2),(4,4)
3、略4、略5、略
12.1综合应用
1、①第四象限②(0,-3);2、①B②D3、略4、略5、略6、A(-2,0),B(0,-3),C(+3,-3),D(4,0),E(3,3),F(0,3)不是永远不变。
7、S=428、中心广场为原点,小丽以中心广场右100米为原点。
基础训练12.2
(1)
1、
(1)(x-a,y)(x,y-b);
(2)(4,22)2、B3、略4、略5、略
6、A(1,-2),B(5,-2),C(6,1),D(2,1)
12.2
(2)
1、
(1)右,左,a;上,下,a2、D3、略
12.2综合应用
1、略2、略3、①A(2,0),B(0,3)②C(-2,3)4、略
单元检测
一、1、D2、C3、B4、D5、C
二、1、(0,4)2、第二象限3、A(4,3)4、(0,-6)(0,2)
5、(2,1)6、(-1,-7)
三、1、略2、略3、12.54、略
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- 平面 直角 坐标系