新课标广东高考理科数学主要知识点讲解归纳.docx
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新课标广东高考理科数学主要知识点讲解归纳
新课标广东高考理科数学主要知识点讲解归纳
一、集合与常用逻辑用语
1、子集、真子集、交集、并集、补集
(1)集合12{,,,}naaa的子集个数共有2n个;真子集有2n–1个;非空子集有2n
–1个;非空的真子集有2n–2个.
2、p⌝、pq∨、pq∧的真假性判断
3⇔否命题。
原命题(若p则q)同真假逆否命题(若非q则非p)
否命题(若非p则非q)同真假逆命题(若q则p)
4、特别强调:
“都是”的否定———“不都是”;“全是”的否定———“不全是”“pq∨”的否定——“pq⌝∧⌝”
5、pq⇒,qp⇒,p是q的充分不必要条件;pq⇒,qp⇒,p是q的必要不充分条件;
pq⇒,qp⇒,p是q的充要条件;pq⇒,qp⇒,p是q的既不充分也不必要条件。
6、全称命题:
()xMpx∀∈;特称命题:
00,()xMpx∃∈。
“,()xMpx∀∈”的否定是——“00,()xMpx∃∈⌝”
“00,()xMpx∃∈”的否定是——“,()xMpx∀∈⌝”二、不等式
1、不等式的基本性质:
(1)abacbc>⇒+>+;0abab>⇔->
(2),0abcacbc>>⇒>;,0abcacbc><⇒<
(3)0nnabab>>⇒>;0ab>>⇒>(4)1100abab>>⇒<
<;1100abab
<<⇒>>2、二次函数:
(1)解析式的三种形式:
一般式:
cbxaxxf++=2)()0(≠a
顶点式:
nmxaxf+-=2)()()0(≠a顶点坐标:
),(nm
零点式:
))(()(21xxxxaxf--=)0(≠a,12,xx是方程20axbxc++=的根。
韦达定理:
a
cxxabxx=⋅-=+121,
(2)对称轴方程:
abx2-=;顶点坐标:
)44,2(2
a
ba
cab--(3)最值:
当a>0时,abacf442min-=;当a<0时,a
ba
cf442
max-=(4)单调性:
当0a>时,()fx在(,]2ba-∞-上单调递减;在[,)2ba
-+∞上单调递增;当0a<时,()fx在(,]2ba-∞-上单调递增;在[,)2ba-+∞上单调递减。
3、根的分布问题(主要思想方法:
数形结合,联系二次函数的图像)设12,xx是方程2
0axbxc++=(0)a>的两个实根,则
(1)1xm<,2xm>⇔()0fm<
(2)在(,)mn内有且只有一个实根⇔()()0fm
fn⋅<
(3)在(,)mn内有两个不相等的实根240
2()0()0
ba
cbmnafmfn⎧∆=->⎪
⎪<-<⎪⎨
⎪>⎪>⎪⎩(4)两根分别在(,)mn、(,)pq内,且(,)(,)mnpq=⇔()0()0
()0()0
fmfnfpfq>⎧⎪<⎪
⎨<⎪⎪>⎩4、不等式2
0axbxc++>与相应函数2()fxaxbxc=++2
0axbxc++=的联系。
5、线性规划——
(1)二元一次不等式0AxByc++>表示直线0AxByc++=某一侧所有点组成的平面区域。
(判断方法——取特殊点,一般取(0,0)作为特殊点)
(2线性规划问题。
满足线性约束条件的解(,)xy叫做可行解;由所有可行解组成的集合叫做可行域;使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。
(3)线性规划问题的解题步骤:
①根据题意,设出变量,,xyz②找出约束条件(列不等式组)③确定目标函数
(,)zfxy=
④画出可行域(不等式组表示的区域的公共部分)
⑤令0z=,作直线(,)0fxy=,再进行直线的平移⑥观察图形,找到最优解,确定答案。
6、基本不等式:
(1)若Rba∈,,那么2
2ba+≥ab2(ba=时等号成立)。
(2)若ba,是正数,那么
2
b
a+≥a
b(ba=时等号成立)“一正,二定,三相等”(3)最值定理:
若积xyp=是定值,则和xy+有最小值xyS+=是定值,则
积xy有最大值2
()2
S。
7、
(1)解一元二次不等式2
0(0)axbxc++><或:
若0>a,则对于解集不是全集或空集时,
对应的
解集为“大两边,小间”.如:
当21xx<,()()21210xxxxxxx<<⇔<--;
()()12210xxxxxxxx<>⇔>--或.
(2)含有绝对值的不等式:
ⅰ、当0>a时,有:
①axaaxax<<-⇔<⇔<22;②2
2
xaxaxa>⇔>⇔>或
xa<-.
ⅱ、当0>a时,有:
①bacxbaabcxabcx-<<--⇔<+⇔<+22)(;②bacxbacxabcxabcx--<->⇔>+⇔>+或22)(ⅲ、不等式
cbxaxcbxaxcbxaxcbxax<-±-≤-±->-±-≥-±-||||,||||,||||,||||的
常用解法:
①利用绝对值的几何意义的数形结合思想;
②零点区间法的分类讨论思想;③构造函数法的函数与方程的思想ⅳ、绝对值的三角不等式
①定理1若ba,为实数,则baba+≤+||,当且仅当0≥ab时,等号成立;②推论1bababa+≤-≤-||;(3)分式不等式:
(1)
()()()()00>⋅⇔>xgxfxgxf;
(2)()()
()()00<⋅⇔ ⎧≠≤⋅⇔≤0 00xgxgxfxgxf.(5)指数不等式与对数不等式 (1)当1a>时,()() ()()fxgxaafxgx>⇔>;()0 log()log()()0()()aafxfxgxgxfxgx>⎧⎪ >⇔>⎨⎪>⎩. (2)当01a<<时,() () ()()fxgxa afxgx>⇔<;()0log()log()()0()()aafxfxgxgxfxgx>⎧⎪ >⇔>⎨⎪<⎩ 8、不等式的证明方法 (1)比较法: 要证明ba>,只要证明0>-ba,要证明ba<,只要证明0<-ba,这种证明不等式的方法叫做比较法 (2)分析法: “执果索因”(3)综合法: “由因导果”(4)放缩法 三、函数 1、函数的奇偶性: (1)如果对于函数()fx的定义域内任意一个x,都有()()fxfx-=-,那么称函数()fx为奇函数。 如果对于函数()fx的定义域内任意一个x,都有()()fxfx-=,那么称函数()fx为偶函数。 (2)性质1: 奇、偶函数的定义域关于原点对称。 性质2: 奇函数的图像关于原点对称;偶函数的图像关于y轴对称。 性质3: 若奇函数的定义域包括0,则有(0)0f=。 (3)利用定义判断函数奇偶性的方法、步骤: ①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称。 ②确定()fx-与()fx的关系。 ③作出相应结论。 2、函数的单调性: (1)定义: 如果函数()fx在区间D内的任意12,xx, 当12xx<时,都有12()()fxfx<,则称()fx是区间D上的增函数;当12xx<时,都有12()()fxfx>,则称()fx是区间D上的减函数。 (2)结论: 奇函数在其对称区间上的单调性相同;偶函数在其对称区间上的单调性相反。 (3)导数与单调性的关系: 在某个区间(,)ab内,如果'()0fx>,那么函数()yfx=在这个区间内单调递增;在某个区间(,)ab内,如果'()0fx<,那么函数()yfx=在这个区间内单调递减。 3、函数的周期性定义: 对于函数()fx,若存在非零常数T,使得在定义域内总有 ()()fxTfx+=,则称函数()fx为周期函数,常数T为函数的周期。 (1)三角函数的周期: ①π2: sin==Txy;②π2: cos==Txy;③π==Txy: tan; ④| |2: )cos(),sin(ωπ ϕωϕω=+=+=TxAyxAy;⑤||: tanωπω==Txy (2)与周期有关的结论: )()(axfaxf-=+或)0)(()2(>=-axfaxf或)()(xfaxf-=+或 ) (1 )(xfaxf± =+⇒)(xf的周期为a2区别对称轴: )()2(xfaxf-=+的对称轴为ax=4、指数式与对数式: (1)根式: 当n a=;当n 0 ||,0 aaaaa≥⎧==⎨-<⎩。 (2)幂的性质: 0 1a=(0a≠);nmn maa =;1 ppaa -= ;m n mn aaa+=;m mnnaaa -=;()nnnabab⋅=;()mnmnaa=; (3)指数式与对数式的互换: logbaaNNb=⇔=,(0a>且1a≠,0N>) (4)对数性质: log10a=;log1aa=;logaN a N=; N MNMaaaloglog)(log+=⋅; N MN Maaalogloglog-=; loglognaaMnM= (5)换底公式: logloglogcacbba= ;loglog1abba⋅=(或写成: a bbalog1 log=)5、指数函数: x (0a>且1a≠)的图像与性质: 6、对数函数: a(且)的图像与性质: (1)定义: 形如yxα =(R α∈)的函数称为幂函数。 (2)幂函数yxα =在第一象限的图像: 01 α <<0 α<3 yx =2 yx = 1 2 yx = 8、图像变换的规律: 平移变换、翻折变换 (1)水平平移()() yfxyfxa =→=+: 左加右减 竖直平移()() yfxyfxa =→=+: 上加下减 (2)()|()| yfxyfx =→=: 把在x轴下方的图像沿着x轴翻折到上方; ()(||) yfxyfx =→=: 偶函数,图像关于y轴对称。 9、函数与方程 (1)方程()0fx=的根(实数x)就是函数()yfx=的零点。 (2)函数()yfx=的零点⇔方程()0fx=的实数根⇔函数()yfx=的图像与x轴的交点的横坐标。 (3)方程()0fx=有几个实数根⇔函数()yfx=的图像与x轴有几个交点⇔函数 ()yfx=有几个零点 (4)方程)()(xgxf=有几个实数根⇔函数()yfx=的图像与()ygx=的图像有几个交点(5)零点存在性定理: 如果函数()yfx=在区间[,]ab上的图像是连续不断的一条直线,并且有()()0fafb⋅<,那么函数()yfx=在区间(,)ab内至少有一个零点。 (6)二分法: 对于在区间[,]ab上连续不断,且满足()()0fafb⋅<的函数()yfx=,通过不断地把函数()fx的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到 零点近似值的方法叫做二分法。 (7)用二分法求函数()fx的零点近似值的步骤: ------《必修1》的第90页 10()0fx≥;在 () () gxfx,()0fx≠;在log()afx,()0fx>;在tan()fx,()2 fxkπ π≠+ ;在0()fx,()0fx≠;在 xa与logax0a>且1a≠, 列不等式求解 11、值域的求法: ①分析法;②配方法;③判别式法;④利用函数单调性;⑤换元法; ⑥利用均值不等式2 22 2babaab+≤ +≤;⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性(x a、xsin、xcos等);⑨平方法;⑩导数法四、导数 1、函数()yfx=在点0x处的导数的物理意义——就是物体在0x这一时刻的瞬时速度。 2、函数()yfx=在点0x处的导数的几何意义——就是曲线()yfx=在点00(,())xfx处的 切线的斜率。 3、常用的导数公式: (1)0' =c (2)1')(-=nnnxx(3)xxcos)(sin'=(4)xxsin)(cos'-= (5)xxee=')((6)xx1)(ln' = (7)21)'1(xx-=不太常用的两个: (8)a xxaln1)(log' =(9)aaaxxln)('= 4、导数的运算法则: (1)' ' ' [()()]()()fxgxfxgx±=± (2)' ' [()]()kfxkfx⋅=⋅ (3)' ' ' [()()]()()()()fxgxfxgxfxgx⋅=+(4)'''2 ()()()()() []()() fxfx gxfxgxgxgx-=5、用导数求函数单调区间的一般步骤: ①求' ()fx;②' ()0fx>的解集与定义域的交集所对应的区间为增区间;' ()0fx<的解集与定义域的交集所对应的区间为减区间。 6、极值判别法: 如果0)('0=xf,并且在0x附近的左侧'()0fx>,右侧'()0fx<,那么0()fx是极大值; 如果0)('0=xf,并且在0x附近的左侧' ()0fx<,右侧' ()0fx>,那么0()fx是极小值。 7、求函数极值的步骤: (1)求导数'()fx; (2)求导数'()0fx=的根;(3)列表,用根判断'()fx在根左右的值的符号;(4)确定()fx在这个根处是取极大值还是取极小值。 8、求函数()fx在[,]ab上的最大值与最小值的步骤: (1)求出()fx在(,)ab内的极值; (2)求出()fa、()fb的值;(3)将各极值与()fa、()fb比较,最大的一个是最大值,最小的一个为最小值。 注: 恒成立问题: 对于恒成立问题一般可以化为最值问题,若axf≥)(恒成立,则 min)(xfa≤;若axf≤)(恒成立,则max)(xfa≥。 9、求切线方程: 利用导数求切线: 注意: (1)ⅰ)所给点是切点吗? ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线? (2)求切线方程时,常设出切点),(yx,则有切线的斜率为)(xf',且切点),(yx既在切线上,又在曲线上。 10、定积分: (1)一般地,如果)(xf是区间],[ba上的连续函数,并且)()(xfxF=',那么 )()()(bFaFdxxfb a-=⎰,这个结论叫做问积分基本定理。 即 )()()}()(bFaFxFdxxfbab a -==⎰ (2)有关性质: ⅰ、 dxxfkdxxkfb a b a⎰⎰=)()((k为常数)ⅱ、dxxfdxxfdxxfxfb a ba bax ⎰⎰⎰±=±)()()]()([2 1 1 ⅲ、dxxfdxxfdxxfb c caba ⎰⎰⎰+=)()()((其bca<<) 注: 4 2 2 2adxxaa π= -⎰ (为什么呢? )请思考 五、平面向量 1、向量的概念: (1)既有大小又有方向的量叫做向量,记作: AB 或a。 (2)长度为0的向量叫做零向量,记作0 ;长度为1的向量叫做单位向量。 (3)方向相同或相反的向量叫做平行向量,也叫共线向量。 (4)长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 (5)向量a的长度,也叫大小,也叫模,记作: ||a (6)规定: 0与任何向量平行。 2、向量的加法法则: (1)三角形法则——首尾相接。 如: ABBCAC+= (2)平行四边形法则——同一起点。 如;ABADAC+= 3、向量的减法法则: 三角形法则——同一起点。 如: ABACCB-= 4、两向量共线的充要条件: 向量b与非零向量a共线⇔∃唯一的实数λ,使得baλ=。 5、平面向量的坐标运算: (1)若11(,)axy=、22(,)bxy= 则),(2121yyxx±±=± (2)若11(,)Axy、22(,)Bxy,则2121 (,)ABxxyy=-- (3)若(,)axy=,则(,)axyλλλ= 6、平面向量共线的坐标表示: 若11(,)axy=、22(,)bxy= 则a∥b⇔12210xyxy-= 7、数量积 AB C D (1)定义: 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则||||cosababθ⋅=⋅⋅ 叫做a与b 的数量积。 (2)投影: ||cosbθ⋅——称为向量b在a方向上的投影;且||cos||ab baθ⋅⋅= ||cosaθ⋅——称为向量a在b方向上的投影,且||cos|| ab abθ⋅⋅= (3)运算公式及运算律: ①22||aaaa⋅==,②2222 ()()||||abababab+⋅-=-=- ③ 2 2 2 2)(+±=+⋅±=±θ ④abba⋅=⋅;)()()(bababaλλλ⋅=⋅=⋅;()abcacbc±⋅=⋅±⋅ (4)数量积的坐标运算: 若11(,)axy=、22(,)bxy=,则1212abxxyy⋅=+ 。 (5)非零向量a与b的夹角θ: 作OAa=,OBb= 则AOBθ∠=,其0θπ≤≤, cos||||ab abθ⋅=⋅ 非零向量a与b同向时,夹角00θ=;反向时,夹角0180θ=;垂直时,0 90θ=。 (6)两个非零向量垂直的充要条件: ab⊥⇔0ab⋅= ⇔12120xxyy+= (7)模的运算公式: ||a=或2 2||yx+= 8、三点共线的充要条件: P,A,B三点共线⇔xy1OPxOAyOB=++= 且。 六、三角函数 1、任意角和弧度制 (1)终边相同的角: 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可以构成集合 0{|360,}SkkZββα==+⋅∈ (2)角度⇔弧度: 0 180π=弧度;弧长||lrα=⋅(其,||α为圆心角的弧度数),扇 形面积1 2 Slr= (3)三角函数的定义: 在角α的终边上任取一个异于原点的点(,)Pxy,点P到原点的距离 记为r (||rOP== 那么: sinyrα= ;cosxrα=;tany x α=;三角函数的符号: 一全,二正弦,三正切,四余弦。 2、同角三角函数的基本关系式: 2 2 sincos1αα+=; αα α tancossin=3、诱导公式: (1)公式一: sin (2)sinkαπα+=,cos (2)coskαπα+=,tan (2)tankαπα+= 公式二: sin()sinπαα-=,cos()cosπαα-=-,tan()tanπαα-=-公式三: sin()sinπαα+=-,cos()cosπαα+=-,tan()tanπαα+=公式四: sin (2)sinπαα-=-,cos (2)cosπαα-=,tan (2)tanπαα-=-sin()sinαα-=-,cos()cosαα-=,tan()tanαα-=- 公式五: sin()cos2π αα-=,cos() sin2π αα-=公式六: sin( )cos2παα+=,cos()sin 2 π αα+=-4、两角和与差公式: 辅助角公式: )sin(cossin22ϕααα++= +baba(其2 2sinbab+= ϕ, 2 2 cosb aa+= ϕ) sin()sincoscossinαβαβαβ+=+,sin()sincoscossinαβαβαβ-=- cos()coscossinsinαβαβαβ+=-,cos()coscossinsinαβαβαβ-=+ tantantan()1tantanαβαβαβ++=-,tantantan()1tantanαβ αβαβ --=+ 5、二倍角公式: αααcossin22sin=,22tantan21tanα αα =- ααααα2222sin211cos2sincos2cos-=-=-= 降幂公式: 21cos2sin2αα-=,2 1cos2cos2 αα+= 6、正弦、余弦、正切函数的在一个周期内的图像与性质: (1)sin,[0,2]yxxπ=∈3sin,[,] yxxππ =∈- tan,(,)22 yxxππ =∈- ( 最小正周期7 (1)函数sin()yAxωϕ=+的物理意义
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