等差数列及其前n项和练习题.docx

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等差数列及其前n项和练习题

第1讲等差数列及其前n项和

一、填空题

1．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝.

S4S3

2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若12－9＝1，则公差为．

3．在等差数列{an}中，a1>0，S4＝S9，则Sn取最大值时，n＝.

4．在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则S9＝.

5．设等差数列{an}的公差为正数，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝.

6．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋pn，a7＝11.若ak＋ak＋1>12，则正整数k的最小值为．

n*an＋λ

7．已知数列{an}满足递推关系式an＋1＝2an＋2n－1（n∈N*），且2n为等差数列，则λ的值是．

8．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，则k＝.

10．已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x·y）＝xf（y）＋yf（x）成立．数列{an}满足an＝f

（2）（n∈N），且a1＝2.则数列的通项公式an＝.

二、解答题

11．已知等差数列{an}的前三项为a－1,4,2a，记前n项和为Sn.

（1）设Sk＝2550，求a和k的值；

Sn

（2）设bn＝n，求b3＋b7＋b11＋⋯＋b4n－1的值．

12．已知数列{an}的通项公式为an＝2n，若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.

13．在等差数列{an}中，公差d>0，前n项和为Sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.

（1）求数列{an}的通项公式；

Sn

（2）令bn＝n＋c（n∈N*），是否存在一个非零常数c，使数列{bn}也为等差数

列？

若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．

第2讲等比数列及其前n项和

、填空题

数列，通项an＝

解析由Sn＋2－（t＋1）Sn＋1＋tSn＝0，得Sn＋2－Sn＋1＝t（Sn＋1－Sn），所以an＋2＝

解∵8a2＋a5＝8a1q＋a1q4＝a1q（8＋q3）＝0

∴q＝－2

S61－q63

∴S3＝1－q3＝1＋q＝－7.

答案－7

数列的前4项和S4＝

又q>0，所以q＝2，a1＝1.

所以S4＝1－q＝1－2＝15.

答案15

1

已知等比数列｛an｝的前n项和Sn＝t·5n－2－，则实数t的值为5

114

解析∵a1＝S1＝t－，a2＝S2－S1＝t，a3＝S3－S2＝4t，∴由{an}是等比数

555

列知45t2＝15t－15×4t，显然t≠0，所以t＝5.

555

答案5

5．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an

1

＋1·an＋2≥的最大正整数n的值为．

8

解析由等比数列的性质，得4＝a2·a4＝a23（a3>0），所以a3＝2，所以a1＋a1q2＝2，

a2＝14－a3＝12，于是由

a1（1＋q）＝12，

答案4

解析由已知a1a2·⋯·a7a8＝（a4a5）4＝16，所以a4a5＝2，又a4＋a5≥2a4a5＝

22（当且仅当a4＝a5＝2时取等号）．所以a4＋a5的最小值为22.答案22

a137．已知递增的等比数列{an}中，a2＋a8＝3，a3·a7＝2，则＝.

a10

解析∵{an}是递增的等比数列，∴a3a7＝a2a8＝2，又∵a2＋a8＝3，

∴a2，a8是方程x－3x＋2＝0的两根，则a2＝1，a8＝2，

答案2

8．设1＝a1≤a2≤⋯≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，

a6成公差为1的等差数列，则q的最小值为．

解析由题意知a3＝q，a5＝q2，a7＝q3且q≥1，a4＝a2＋1，a6＝a2＋2且a2≥1，

那么有q2≥2且q3≥3.故q≥33，即q的最小值为33.

答案33

、解答题

11．在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.

（1）求数列{an}的通项公式；[来源:

]

（2）设数列{an＋bn}是首项为1，公比为c的等比数列，求{bn}的前n项和Sn.解

（1）设等差数列{an}的公差是d.

依题意a3＋a8－（a2＋a7）＝2d＝－6，从而d＝－3.

由a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1.

所以数列{an}的通项公式为an＝－3n＋2.

（2）由数列{an＋bn}是首项为1，公比为c的等比数列，[来源

得an＋bn＝cn－1，即－3n＋2＋bn＝cn－1，

所以bn＝3n－2＋cn－1.

2n－1

所以Sn＝[1＋4＋7＋⋯＋（3n－2）]＋（1＋c＋c2＋⋯＋cn－1）

n3n－11－c

当c≠1时，Sn＝＋.[来源:

Z*xx*]

21－c

12．设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝17.

（1）求数列{an}的通项公式；

2011

（2）是否存在最小的正整数m，使得n≥m时，an>011恒成立？

若存在，求15

出m；若不存在，请说明理由．

解

（1）设{an}的公比为

a1q－1q，由S4＝1，S8＝17知q≠1，所以得

q－1

1，

8

a1q－1

1＝17.

q－1

q＝16.所以q＝2或q＝－2（舍去）．

由q＝2可得a1＝115，所以an＝215.

2n－12011n－11011

（2）由an＝15>15，得2n－1>2011，而210<2011<211，所以n－1≥11，

即n≥12.

2011

因此，存在最小的正整数m＝12，使得n≥m时，an>15恒成立．

13．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2·a4＝65，a1＋

a5＝18.

（1）求数列{an}的通项公式an.

（2）若1

（3）是否存在常数k，使得数列{Sn＋kn}为等差数列？

若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．

解

（1）因为a1＋a5＝a2＋a4＝18，又a2·a4＝65，

2

所以a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个根．

又公差d>0，所以a2

a1＋d＝5，

所以解得a1＝1，d＝4.所以an＝4n－3.

a1＋3d＝13，

1·81＝（4i－3）2，解得i＝3.

nn－12

（3）由

（1）知，Sn＝n·1＋2·4＝2n2－n.

假设存在常数k，使数列｛Sn＋kn｝为等差数列，由等差数列通项公式，可设Sn＋kn＝an＋b，

22

得2n2＋（k－1）n＝an2＋2abn＋b恒成立，可得a＝2，b＝0，k＝1.所以存在k＝1使得｛Sn＋kn｝为等差数列．

第3讲等差数列、等比数列与数列求和

一、填空题

1．设｛an｝是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则｛an｝的前n项和Sn＝.

解析由题意设等差数列公差为d，则a1＝2，a3＝2＋2d，a6＝2＋5d.又∵a1，a3，a6成等比数列，∴a32＝a1a6，即（2＋2d）2＝2（2＋5d），整理得2d2－d＝0.

1nn－1n27

∵d≠0，∴d＝2，∴Sn＝na1＋2d＝4＋4n.

答案n4＋74n

解析

∵an＝nn＝n＋1－n，∴Sn＝n＋1－1＝10，∴n＝120.

答案120

1

3．已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列aa的前100anan＋1

项和为．

5a1＋a5

解析∵a5＝5，S5＝15，∴＝15，即a1＝1.

n项和为Tn.

4．已知数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝5，b1＝7，且a20＋b20＝60.则{an＋bn}

的前20项的和为．

解析由题意知{an＋bn}也为等差数列，所以{an＋bn}的前20项和为：

S20＝

答案720

5．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a21＋a22＋⋯＋an2＝

解析当n＝1时，a1＝S1＝1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－（2n－1－1）＝2n－1，又∵a1＝1适合上式．∴an＝2，∴an＝4.

∴数列{a2n}是以a21＝1为首项，以4为公比的等比数列．

解析由题意得a1－1＝1,3an＋1－3an＝12即a1＝2，an＋1－an＝4.

∴{an}是以2为首项，4为公差的等差数列，

∴an＝2＋4（n－1）＝4n－2，a3＝4×3－2＝10.答案104n－2

1

7．在等比数列{an}中，a1＝2，a4＝－4，则公比q＝；|a1|＋|a2|＋⋯＋

|an|＝

a431n－1

解析∵＝q＝－8，∴q＝－2.∴an＝·（－2），

a12

1

答案－22n－1－12

8．已知Sn是等差数列｛an｝的前n项和，且S11＝35＋S6，则S17的值为

11×106×5

解析因S11＝35＋S6，得11a1＋2d＝35＋6a1＋2d，即a1＋8d＝7，

17×16

所以S17＝17a1＋2d＝17（a1＋8d）＝17×7＝119.

答案119

9．等差数列｛an｝的公差不为零，a4＝7，a1，a2，a5成等比数列，数列｛Tn｝满足条件Tn＝a2＋a4＋a8＋⋯＋a2n，则Tn＝.

解析设｛an｝的公差为d≠0，由a1，a2，a5成等比数列，得

22a22＝a1a5，即（7－2d）2＝（7－3d）（7＋d）

所以d＝2或d＝0（舍去）．

所以an＝7＋（n－4）×2＝2n－1.又a2n＝2·2－1＝2－1，

故Tn＝（22－1）＋（23－1）＋（24－1）＋⋯＋（2n＋1－1）

＝（22＋23＋⋯＋2n＋1）－n＝2n＋2－n－4.

答案2n＋2－n－4

所以b1＋b2＋⋯＋bn＝22－1－2－1＋23－1－22－1＋⋯＋2n＋1－1－

2n－1＝2n＋1－1－1.

答案2n＋1－1－1

二、解答题

11．已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.

（1）求{an}的通项公式；

（2）若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．解

（1）设等差数列{an}的公差为d.

因为a3＝－6，a6＝0，

a1＋2d＝－6，

所以解得a1＝－10，d＝2.

a1＋5d＝0.

所以an＝－10＋（n－1）·2＝2n－12.

（2）设等比数列{bn}的公比为q.

因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，

所以－8q＝－24，即q＝3.

n

所以{bn}的前n项和公式为Sn＝＝4（1－3）．

1－q

13．记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2＋2，S3＝12＋

32.

（1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn.

（2）已知等比数列{bnk}，bn＋2＝an，n1＝1，n2＝3，求nk.

（3）问数列{an}中是否存在互不相同的三项构成等比数列，说明理由．

解

（1）因为a1＝2＋2，S3＝3a1＋3d＝12＋32，

所以d＝2.

所以an＝a1＋（n－1）d＝2n＋2，

所以bnk＝2nk.

b3又因为数列{bnk}的首项bn1＝b1＝2，公比q＝b＝3，所以bnk＝2·3k－1.

所以2nk＝2·3，则nk＝3.

（3）假设存在三项ar，as，at成等比数列，则as2＝ar·at，［来源:

学。

科。

网］即有（2s＋2）2＝（2r＋2）（2t＋2），整理得（rt－s2）2＝2s－r－t.

22s－r－t

若rt－s2≠0，则2＝rt－－－s2，

因为r，s，t∈N*，

2s－r－t

所以rt－s2是有理数，这与2为无理数矛盾；

2

若rt－s＝0，则2s－r－t＝0，从而可得r＝s＝t，这与r