高等数学二重点题目.docx
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高等数学二重点题目
1求曲面e^x-z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程。
解:
∵e^x-z+xy=3==>z=e^x+xy-3
==>αz/αx│(2,1,0)=e²+1,αz/αy│(2,1,0)=2∴在点(2,1,0)处切平面的法向量是(e²+1,2,-1)故所求切平面是(e²+1)(x-2)+2(y-1)-(z-0)=0,即(e²+1)x+2y-z=2(e²+2)所求法线方程是(x-2)/(e²+1)=(y-1)/2=z/(-1)
只要求曲面在那一点的法向量就行
f(x,y,z)=e^z-z+xy▽f(x,y,z)=(y,x,e^z-1)▽f(2,1,0)=(1,2,0)则平面方程设为1x+2y=a再把(2,1,0)代入平面
2+2=a=4则平面是x+2y=4
2函数z=ln(1+x^2+y^2)当x=1,y=2时的全微分为
z=ln(1+x^2+y^2)dz/dx=1/(1+x^2+y^2)*2x=1/(1+1^2+2^2)*2*1=1/3dz/dy=1/(1+x^2+y^2)*2y=1/(1+1^2+2^2)*2*2=2/3函数z=ln(1+x^2+y^2)当x=1,y=2时的全微分为dz=(dx+2dy)/3
10求球面x²+y²+z²=9在点(1,2,-2)的切平面及法线方程
球心(0,0,0),因此切平面法向量为(1,2,-2),又切平面过(1,2,-2),因此切平面方程为1*(x-1)+2*(y-2)-2*(z+2)=0,化简得x+2y-2z-9=0。
由于直线方向向量为(1,2,-2),所以法线方程为x-1=(y-2)/2=(z+2)/(-2)。
求球面X^2+Y^2+Z^2=21在点(1,2,4)处的法线方程及切平面方程求解题过程
法线即圆心和该点的连线∴为(x-0)/1=(y-0)/2=(z-0)/4即x=y/2=z/4其法向量为(1,2,4)切平面上的任意两点的连线都应与法向量垂直设切平面是ax+by+cz=C设面上两点分别为(x1,y1)(x2,y2)则ax1+by1+cz1=C
ax2+by2+cz2=C两式相减得:
a(x1-x2)+b(y1-y2)+c(z1-z2)=0左边正好是向量(a,b,c)和向量(x1-x2,y1-y2,z1-z2)的形式∴向量(a,b,c)和向量(x1-x2,y1-y2,z1-z2)是垂直的由于(x1-x2,y1-y2,z1-z2)是任取的,所以向量(a,b,c)只能为法向量∴a=1,b=2,c=4∴其切平面则应为x+2y+4z=C解出C=21∴切平面为x+2y+4z=21
14交换下列积分次序1∫(积分限0到1)dx∫(积分限x的平方到x)f(x,y)dy
解:
原式=∫(0,1)dy∫(√y,y)f(x,y)dx。
交换积分次序,∫(上限2,下限0)dy∫(上限2y,下限y^2)f(x,y)dx
|(上限4,下限2)dx|(上限2,下限x/2)f()dy
15∫∫(D)sinx/xdxdy,其中D是由直线y=0,y=x及x=1围成计算二重积分
∫D∫xsiny/xdxdy
=∫[0,1]∫[0,x]xsiny/xdxdy
=∫[0,1]∫[0,x]x^2siny/xd(y/x)dx
=∫[0,1]x^2(-cos(y/x))[0,x]dx
=∫[0,1]x^2(1-cos1)dx
=x^3/3(1-cos1)[0,1]
=(1-cos1)/3
I=重积分sinX/Xdxdy其中D是由直线y=x和y=x^2围成的闭区域
显然被积函数关于x不可积,故肯定要先对y积分
I=∫(0,1)∫(x^2,x)sinx/xdydx
=∫(0,1)(sinx/x)(y)(x^2,x)dx
=∫(0,1)xsinx+sinxdx下面就简单了。
()内为积分上下限
∫∫[D]sinx/xdxdy
=∫(0,1)dx∫(x,x^2)sinx/xdy
=∫(0,1)(x-1)sinxdx
=[sinx-xcosx+cosx]|(0,1)
=sin1-1
求二重积分∫∫sinx/xdxdy,D:
y=x,y=x/2,x=2所围区域
∫∫e^(-y^2)dxdy,其中D是由x=0,y=x,y=2所围成的闭区域。
求解
D的顶点是:
(0,0)、(0,2)、(2,2)
∫∫e^(-y²)dxdy,Y型区域
=∫(0~2)∫(0~y)e^(-y²)dxdy
=∫(0~2)ye^(-y²)dy
=(-1/2)∫(0~2)e^(-y²)d(-y²)
=(-1/2)•[e^(-y²)]|(0~2)
=(-1/2)•[e^(-4)-1]
=(-1/2)•(1/e⁴-1)
=1/2-1/(2e⁴)≈0.49084
计算∫∫e^(-y^2)dxdy其中D是由y=x,y=1及y轴所围成的区域
先对x积分在对y积分
∫∫e^(-y^2)dxdy
=∫(0,1)[∫(0,y)e^(-y^2)dx]dy
=∫(0,1)ye^(-y^2)dy
=-1/2∫(0,1)e^(-y^2)d(-y^2)=-e(-y^2)/2|(0,1)
=(1-1/e)/2
二重积分∫∫√x²+y²dxdyD:
x²+y²≤a²
x=rcost,y=rsint那么
∫∫√x²+y²dxdyD:
x²+y²≤a²
=∫∫r√(rcost)²+(rsint)²drdtD:
0≤r≤a,0≤t≤2π
=∫∫r*rdrdt
=∫∫r²drdt
=∫r²dr*∫dtD:
0≤r≤a,0≤t≤2π
=r³/3(从0到a)*t(从0到2π)
=a³/3*2π
=2πa³/3
算三重积分∫∫∫(x^2+y^2)^(-0.5)dv,其中V为球面x^2+y^2+z^2=4与抛物面z=(x^2+y^2)/3所围成的立体。
要用极坐标,答案5*3^(0.5)/pi
应该是柱坐标吧,极坐标是对于二位图形的。
V为球面x^2+y^2+z^2=4与抛物面z=(x^2+y^2)/3所围成的立体,也就是上面是球面,下面是抛物面。
故z的范围为(x^2+y^2)/3≤z≤√(4-x^2-y^2),上半个球面z大于0.化为柱坐标为(ρ^2)/3≤z≤√(4-ρ^2)
x^2+y^2+z^2=4与z=(x^2+y^2)/3的交平面为z=1,x^2+y^2=3故将图形投影至XOY平面,图形是ρ=x^2+y^2=3所以ρ,θ的范围为:
0≤ρ≤√3,0≤θ≤2πdV=ρdρdθdz故积分化为
I=∫∫∫(x^2+y^2)^(-0.5)dv
=∫∫∫(1/ρ)ρdρdθdz2π√3√(4-ρ^2)
=∫dθ∫dρ∫dz
00(ρ^2)/3
√3
=2π*∫[√(4-ρ^2)-(ρ^2)/3]dρ
0
=2π(2π/3+√3/6)
计算∫∫∫(x^2+y^2)dxdydzΩ是由曲面z=x^2+y^2及平面z=4所围成的闭区域
直接上柱面极坐标
x=rcosθ,y=rsinθ原积分=∫∫∫r^2rdrdθdz
=∫(0->2π)dθ∫(0->2)r^3dr∫(r^2->4)dz
=32π/3
计算三重积分∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz其中D为曲面2z=x^2+y^2与z=2平面所围成的区域.
选用柱坐标系:
0≤θ≤2Pi,0≤r≤2,r^2/2≤z≤2原式=∫dθ∫dr∫r^3dz=∫dθ∫r^3(2-r^2/2)dr
=2Pi*(r^4/2-r^6/12)|r=2
=16Pi/3
已知L为x²+y²=1在第二象限部分的曲线弧,则∫(x²+y²)ds
:
∵x²+y²=1==>y=√(1-x²)
==>y'=-x/√(1-x²)∴ds=√(1+y'²)dx=dx/√(1-x²)故原式=∫<-1,0>dx/√(1-x²)
=∫<-π/2,0>dt(令x=sint)
=π/2。
求L=∫(x^2+2xy)dx-(x^2+y^2siny)dy,其中L是抛物线y=x^2从点A(-1,1)到点B(1,1)的一段弧。
补线段L1:
y=1,x:
1→-1,这样L+L1为封闭曲线,所围区域是D∮(L+L1)(x²+2xy)dx-(x²+y²siny)dy格林公式
=∫∫(2x+2x)dxdy积分区域为D
=0由于积分区域关于y轴对称,且被积函数关于x是奇函数,所以积分为0下面算L1上的积分
∫(L1)(x^2+2xy)dx-(x^2+y^2siny)dy
=∫[1→-1](x²+2x)dx=-2/3因此原积分=0-(-2/3)=2/3
计算∫L(e^xsiny-3y)dx+(e^xcosy+x)dy,其中L是由点(0,0)到点(0,2)x^2+y^2=2y的右半圆周
解:
(e^xsiny-3y)对y求导得:
e^xcosy-3
(e^xcosy+x)对x求到得:
e^xcosy+1考虑L1:
(0,2)到(0.0)的直线段,则L和L1构成封闭曲线,逆时针方向,所围区域为D由格林公式:
∫L+L1=∫∫D(1-(-3))dxdy=4*1/2*π=2π所以:
∫L=2π-∫L1,在L1:
(0,2)到(0.0)的直线段上,x=0,故:
∫L=2π+∫[0,2]cosydy=2π+sin2
∫L(e∧xsiny-2y+1)dx+(e∧xcosy+3y)dy,其中L是由点A(2,0)到点(0,0)的上半圆周x∧2+y∧2=2x
证明锥面z=2√x^2+y^2被柱面x^+y^=2x所截得的有限部分的面积为√5π
可以用曲面积分来求。
因为曲面是锥面z=2√x^2+y^2的一部分。
满足z'x=2x/√x^2+y^2,z'y=2y/√x^2+y^2设∑表示x^2+y^2=2x所围成的圆域,S∑表示这个圆的面积。
所求曲面的面积S=∫∫ds=∫∫∑√[1+(z'x)^2+(z'y)^2]dxdy
=√5(∫∫∑dxdy)
=√5(S∑)
=√5π
求锥面z=根号(x^2+y^2)被圆柱面x^2+y^2=2x割下部分的曲面面积(是曲面积分),求详细答案
对于z=f(x,y),曲面面积为
A=∫∫DdA=∫∫D√[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy锥面z=√(x²+y²)被圆柱面x²+y²=2x所割则积分区域D为:
0≤x≤2,-√(2x-x²)≤y≤√(2x-x²)化为极坐标为:
0≤θ≤2π,0≤r≤2cosθ锥面方程为:
z=r;柱面方程为:
r=2cosθəf/əx=x/r=cosθ,əf/əy=y/r=sinθ
(əf/əx)²+(əf/əy)²=cos²θ+sin²θ=1∴A=∫∫D√[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy
=∫∫D√[1+1]rdrdθ
=√2∫<0,2π>[∫<0,2cosθ>rdr]dθ
=√2∫<0,2π>[<0,2cosθ>r^2/2]dθ
=√2∫<0,2π>[2cos²θ]dθ
=√2∫<0,2π>[1+cos2θ]dθ
=√2/2∫<0,2π>[1+cos2θ]d(2θ)
=√2/2[<0,2π>(2θ+sin2θ)]
=√2/2[4π-0]
=2√2π
锥面z^2=x^2+y^2被圆柱面x^2+y^2=2ax所截部分的曲面面积
解:
∵锥面z²=x²+y²被圆柱面x²+y²=2ax所截∴所截部分的曲面面积在xy平面上的投影是D:
x²+y²=2ax∵αz/αx=x/√(x²+y²),αz/αy=y/√(x²+y²)∴dS=√[1+(αz/αx)²+(αz/αy)²]dxdy=√2dxdy故所截部分的曲面面积=2∫∫
=2√2∫∫
=2√2*πa²。
求幂级数x^(n+1)/n收敛区间和和函数
ρ=lim(n->∞)|[1/(n+1)]/(1/n)|=lim(n->∞)|n/(1+n)|=1收敛半径是R=1/ρ=1当x=1时∑[x^(n+1)]/n=∑1/n级数发散当x=-1时∑[x^(n+1)]/n=∑[(-1)^(n+1)/n]级数收敛所以幂级数∑x^(n+1)/n的收敛区间是[-1,1)令S(x)=∑x^(n+1)/n=x∑(x^n)/n=-xln(1-x)(-1<=x<1)
求幂级数∑(∞n=1)x^n/n的收敛域和函数
显然由比值审敛法易知其收敛域为(-1,1)
∑(n+1)/n(x^n)=∑(1+1/n)*x^n=∑x^n+∑(1/n)*x^n=x/(1-x)+∑(1/n)*x^n令f(x)=∑(1/n)*x^n则f′(x)=∑x^(n-1)=1/(1-x)所以f(x)=∫(上x,下0)1/(1-x)dx=-ln(1-x)所以
∑(n+1)/n(x^n)=x/(1-x)-ln(1-x)
求幂级数∑(∞,n=1)n(n+1)x^n的在其收敛域的和函数
后项比前项的绝对值的极限=|x|收敛域:
|x|<1级数∑(n=1,∞)x^(n+1)=
x^2/(1-x)=-1-x+1/(1-x)两边求导:
∑(n=1,∞)(n+1)x^(n)=x^2/(1-x)=-1+1/(1-x)^2再求导:
∑(n=1,∞)n(n+1)x^(n-1)=x^2/(1-x)=2/(1-x)^3所以:
∑(n=1,∞)n(n+1)x^(n)=2x/(1-x)^3|x|<1
追问
麻烦再问一下,答案第三行级数∑(n=1,∞)x^(n+1)为什么等于x^2/(1-x)?
?
?
?
回答
首项x^2,公比x的等比级数求和
求对面积曲面积分:
∫∫(x+y+z)dS∑为球面x^2+y^2+z^2=a^2上z≥h(0 法如下: 重积分的基础是定积分, 要善于利用积分区域的对称性,奇偶性简化计算,用普通坐标运算,(x+y)部分其实分别是xy的奇函数,积分结果等于0 计算曲面积分∫∫(x^2+y^2+z^2)ds,其中∑是球面x^2+y^2+z^2=a^2(a>0) 不用那么麻烦把曲面公式代入被积函数中 ∫∫(x^2+y^2+z^2)ds=∫∫a^2ds=(a^2)*4πa^2=4πa^4 追问 但答案是8πa^4 回答 答案是4πa^4,我用不同的方法算了一遍,请看: 被积函数x^2+y^2+z^2关于z是偶函数,而且被积曲面关于xOy平面对称故∫∫[∑](x²+y²+z²)ds=2∫∫[∑1](x²+y²+z²)ds∑1是上半球面原式=2∫∫[D](x²+y²+z²)√[1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²]dσD是∑1在xOy平面投影(∂z/∂x用-(∂F/∂x)/(∂F/∂z)求.)原式=2∫∫[D](x²+y²+(a²-x²-y²))√(1+x²/z²+y²/z²)dσ =2∫∫[D]a²√(a²/(a²-x²-y²)dσ化为极坐标 =2*2π*∫[0->a]a²√(a²/(a²-r²)rdr =-2πa³∫[0->a]1/√(a²-r²)d(a²-r²) =-2πa³[2√(a²-r²)]|[0->a] =4πa^4应该是答案错了 求曲面积分∮∫x2ydzdx+z2xdydz+y2zdxdy,其中∑为x2+y2=1.z=x2+y2与z=0所围成的封闭曲面的外侧, Gauss公式。 ∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z=1+1+2z-2=2z ∫∫Σxdydz+ydzdx+(z²-2z)dxdy =∫∫∫Ω2zdxdydz =2∫(0→1)zdz∫∫Dzdxdy =2∫(0→1)z*πz²dz =2π*(1/4)[z⁴]|(0→1) =2π*(1/4) =π/2普通方法。 Σ₁: z=√(x²+y²)下侧、Σ₂: z=1上侧 ∫∫Σxdydz+ydzdx+(z²-2z)dxdy =∫∫Σ₁xdydz+ydzdx+(z²-2z)dxdy+∫∫Σ₂xdydz+ydzdx+(z²-2z)dxdy =-∫∫D(-P*∂z/∂x-Q*∂z/∂y+R)dxdy+∫∫D(1-2)dxdy =-∫∫D[-x*x/√(x²+y²)-y*y/√(x²+y²)+(z²-2z)]dxdy-∫∫Ddxdy =-∫∫D[-x²/√(x²+y²)-y²/√(x²+y²)+(x²+y²)-2√(x²+y²)]dxdy-π (1)² =-∫∫D[x²+y²-3√(x²+y²)]dxdy-π =-∫(0→2π)dθ∫(0→1)(r²-3r)rdr-π =-2π*[1/4*r⁴-r³]|(0→1)-π =-2π*(1/4-1)-π =π/2 ∮∮(下标∑)(xdydz+ydzdx+zdxdy),其中∑为球面x^2+y^2+z^2=R^2的外侧. 用Gauss公式: ∮∮(下标∑)(xdydz+ydzdx+zdxdy) =∫∫∫【x^2+y^2+z^2<=R^2】3dV =3∫∫∫【x^2+y^2+z^2<=R^2】dV =4πR³ 计算曲面积分∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy,其中S是旋转抛物面z=(x^2+y^2)/2介于平面z=0及z=2之间的部分的下侧。 用第二类曲面积分做。 2011-2-7【最佳答案】加个盖子S1: x²+y²≤4的上侧. S1和S构成封闭曲面的外侧.对S1+S应用GAUSS,有 ∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy=∫∫∫0dv=0. S1+SΩ盖子S1的曲面积分中,dz=0,z=2,故 ∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy=-2∫∫dxdy=-8π. S1Dxy ∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy=0-(-8π)=8π. 计算曲面积分∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy其中积分面为z=1/2(x^2+y^2)介于z=0,和z=2之间部分下侧不要用两类曲面积分间关系转化为第一类曲面积分做,就直接按第二类曲面积分算下,谢谢本题最简单的方法是高斯公式补Σ1: z=2,x²+y²≤4,上侧则两曲面加起来为封闭曲面,由Gauss公式 ∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy=∫∫∫(1-1)dxdydz=0因此原积分与Σ1上的积分互为相反数原式=-∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy积分曲面为Σ1: z=2,x²+y²≤4上侧 =-∫∫-2dxdy =2∫∫1dxdy被积函数为1,积分结果为区域面积: π*2² =8π
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