第三章行列式.ppt
- 文档编号:1207481
- 上传时间:2022-10-19
- 格式:PPT
- 页数:96
- 大小:1.83MB
第三章行列式.ppt
《第三章行列式.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第三章行列式.ppt(96页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
用消元法解二元线性方程组,第三章行列式第一节行列式的概念,一、二阶和三阶行列式,一个熟悉的例子,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,由二阶方阵所确定的算式称为二阶行列式。
记为或或或,二阶行列式的引入,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,则二元线性方程组的解为,注意分母都为原方程组的系数行列式.,例,解,三阶行列式的引入,由其系数矩阵,考虑,所确定的算式,称为三阶行列式.,记为(利用对角线):
结论:
1.三阶行列式是6=3!
项的代数和,并且各占一半;,2.每一项是不同行,不同列的三个元素的乘积.,另外一种方式记忆三阶行列式的算式:
于是,三阶行列式可以写为:
?
借助代数余子式利用二阶行列式定义了三阶行列式,例.计算三阶行列式,解.,余子式,元素的余子式就是在行列式中划掉元素所在的行和列,余下的元素按原来的相对位置而构成的行列式,代数余子式,在此基础上,二阶,三阶行列式的定义和有关概念能推广到一般情形,即,阶行列式。
n阶行列式的定义(P52定义),按第一行展开,关于矩阵和行列式的区别,有几点需要注意:
行列式是一个算式,结果是一个数值,而矩阵是一个数表;记法不一样,行列式行数和列数相等,而矩阵未必。
从n阶行列式的定义我们可得到(定理):
例.计算4阶行列式(p53),几个特殊行列式的计算.,一、对角行列式,二,副对角行列式,三,两类特殊的三角形行列式,第二节.行列式的性质,性质1行列式与它的转置行列式相等.,行列式称为行列式的转置行列式.,记,证明,思路:
证得n=2时,;假设n=k-1(k3)时,结论成立;借助代数余子式证明n=k时结论也成立.,性质2*互换行列式的两行(列),行列式变号.,证明,设行列式,说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,由数学归纳法证明,详见P57-58.,例如,推论如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.,证明,互换相同的两行,有,性质3*行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数,等于用数乘此行列式.即,推论行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,性质行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零,证明,性质5若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和:
例如,性质*把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变,例如,性质7行列式的某一行(或列)的各元素乘与另一行(或列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零.,证明.作行列式,第i行,第j行,将按第行展开,行列式的展开与计算,定理行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的的代数余子式乘积之和。
小结,推论行列式中某一行(或列)的元素与另一行(或列)对应元素的代数余子式乘积之和为零。
行列式按行展开得D,串行展开得零。
思考题,与例1(P.60)有何不同?
思考题解答,解,例.设行列式,求
(1).
(2).,考虑第二行与第四行元素,利用性质7解答
(1);关于
(2),我们可考虑如下等式,证明,性质8.若为n阶方阵,则性质9.见P.62,证明,其中s为交换行的次数.,性质10.若n阶分块矩阵其中是方阵,则有,性质11.若均为n阶方阵,则证明:
(思路)作如下2n阶辅助行列式一方面有;另一方面:
采用若干次列初等变换,目的是把右下角的块矩阵化为同阶的零矩阵。
与此同时,右上角的零矩阵变为矩阵,将第i行与第n+i行依次作交换(i=1,2,n),综合以上两方面的内容:
结论成立,第三节行列式的计算,一、化三角行列式法,例1,例2计算n阶行列式,解:
二、降阶法,例.计算,解:
例.计算n+1阶行列式,行列式的计算方法:
一般是先利用性质6*,将行列式中某一行(或列)的元素尽可能地化为零,最好是只留下一个元素不为零,然后按该(或列)展开,使行列式降阶,最终化为二阶行列式,而得解。
小结,三、数学归纳法,例.5证明n阶范德蒙德(Vandermonde)行列式,其中表示所有同类因子的乘积,50,证明:
用数学归纳法,
(1)当n=2时,结论成立。
(2)设n1阶范德蒙德行列式成立,往证n阶也成立。
51,n-1阶范德蒙德行列式,四、递推法,例.6计算2n阶行列式,解:
分别按最后一列和第一列展开,课后习题3-3,3.计算行列式,解:
4.证明,证明:
构造如下行列式,上式左边的系数为原行列式乘以(-1);右边的系数为,5.证明,证明:
从最后一列开始,每一列都乘以x加到前一列,则第一列除最后一个元素为外,其余元素全为零,然后,再按这一列展开,得到,若n阶矩阵A的行列式则称A为非奇异矩阵.反之,若则称A是奇异矩阵.,一.行列式与矩阵可逆,定义1,定理1,若方阵A可逆,则A为非奇异矩阵.,证,第四节行列式的应用,的行列式中元素的代数余子式所构成的方阵,A的伴随矩阵,定义2,若n阶矩阵A的行列式则称A为非奇异矩阵.反之,若则称A是奇异矩阵.,一.行列式与矩阵可逆,第四节行列式的应用,定义1,例1求下列三阶矩阵A的伴随矩阵,解,定理1,证明:
必要性,充分性,例2求例1中矩阵A的逆矩阵.,解,推论设A是n阶方阵,如果存在n阶方阵B,使AB=E(或BA=E),则,证,关于矩阵A的逆矩阵和伴随矩阵行列式的性质:
(1),
(2),例,求方阵,的逆矩阵,解,求得,存在,例3求的逆矩阵,其中,解,课堂练习p73.求矩阵的逆矩阵(),总结:
定义1在mn矩阵A中任取k行、k列(km,kn),位于这些行列交叉处的k2个元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式,称为矩阵A的k阶子式。
mn矩阵A的k阶子式共有CmkCnk个。
定义2设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D,且所有r+1阶子式(如果有的话)全等于0,那么D称为矩阵A的最高阶非零子式,数r称为矩阵A的秩,记作R(A)=r。
规定零矩阵的秩等于0。
二、行列式与矩阵的秩,(3)对于任何mn矩阵A,都有唯一确定的秩,且R(A)min(m,n);(4)若矩阵A中有一个r1阶子式不为零,则R(A)r1;若矩阵A的所有r11阶子式全等于零,则R(A)r1。
(2)A的转置矩阵AT的秩R(AT)=R(A);,总结如下:
(1)矩阵A的秩R(A)就是A中不等于0的子式的最高阶数;,(5)对于n阶可逆矩阵A,有,|A|0R(A)=nA的标准形为n阶单位阵E,可逆阵又称为满秩矩阵。
奇异阵又称为降秩矩阵。
例1,求矩阵A和B的秩,其中,解,在A中,容易看出左上角一个2阶子式,A的3阶子式只有一个|A|,经计算可知|A|=0,因此R(A)=2。
B是一个阶梯形矩阵,其非零行有3行,即知B的所有4阶子式全为零,而3阶子式,因此R(B)=3。
上页,下页,返回,从本例可知,由矩阵A的秩的定义求秩,关键在于找A中不等于0的子式的最高阶数。
一般当行数与列数都较高时,按定义求秩是很麻烦的。
对于行阶梯形矩阵,显然它的秩就等于非零行的行数。
因此自然想到用初等变换把矩阵化为行阶梯形矩阵,但两个等价的矩阵的秩是否相等呢?
上页,下页,返回,经一次初等行变换矩阵的秩不变,即可知经有限,次初等行变换矩阵的秩也不变。
定理1若AB,则R(A)=R(B)。
定理1说明:
矩阵经初等变换后其秩不变,因而把,矩阵用初等变换化为行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵中非,零行的行数即为所求矩阵的秩。
这是求矩阵秩的一种常,用方法。
证明:
略,注1,注2,例3,求矩阵A的秩,并,求A的一个最高阶非零子式。
解,先求A的秩,为此对A作初等行变换变成行,阶梯形矩阵:
易见R(B)=R(A)=3。
再求A的一个最高阶非零子式。
因R(A)=3,知A的最高阶非零子式为3阶。
A的3阶子式共有,要从40个子式中,找出一个非零子式,是比较麻烦的。
根据A的行阶梯,形矩阵,的前三行构成的子式,因此,这个式子便是A的一个最高阶非零子式。
与矩阵对应的A的,注:
A的最高阶非零子式不一定唯一。
事实上,,从上例中还可以找到很多非零的3阶子式。
由矩阵的秩的定义,可以进一步得到如下结论:
设矩阵A中有一个r阶子式,而所有包含,r+1阶子式(如果有的话)全为0,则A中所有r+1,阶子式全为0,从而R(A)=r。
课堂练习.,求矩阵A的秩,并求A的一个最高阶非零子式。
解,先求A的秩,对A作初等行变换化为行阶梯形:
故R(A)=3。
再求A的一个最高阶非零子式。
因R(A)=3,知A的最高阶非零子式为3阶,,由A的行阶梯形矩阵可,知,在矩阵,中可,找到3阶非零子式。
不妨在,中找,记B=,则B的行阶梯形矩阵为,可见R(B)=3,故B中必有3阶非零子式,而B,的3阶子式有4个,,易计算B的前三行构成的子式,因此这个子式便是A的一个最高阶子式。
克莱姆法则,下面以行列式为工具,研究含有n个未知量、n个方程的n元线性方程组的问题.定理(克莱姆法则)如果n元线性方程组,则方程组有唯一解,的系数行列式,定理,其中Dj(j=1,2,n)是把系数行列式D中第j列的元素换成方程组的常数项b1,b2,bn所构成的n级行列式,即,定理的结论有两层含义:
方程组
(1)有解;解唯一且可由式
(2)给出.,证首先证明方程组
(1)有解.事实上,将,代入第i个方程的左端,再将Dj按第j列展开,得,即式
(2)给出的是方程组
(1)的解.,下面证明解唯一.设xj=cj(j=1,2,n)为方程组
(1)的任意一个解,则,以D的第j列元素的代数余子式A1j,A2j,Anj依次乘以上各等式,相加得,从而Dcj=Dj由于D0,因此,即方程组的解是唯一的.,推论1如果线性方程组
(1)无解或有两个不同解则D=0推论2如果齐次线性方程组,的系数行列式D0,则方程组只有零解;而若方程组有非零解,则D=0.可以证明:
系数行列式D=0,是方程组(3)有非零解的充分必要条件.,例3用克莱姆法则解方程组,解,且,注意克莱姆法则有两个条件:
一是方程组的未知数的个数等于方程的个数,二是系数行列式不等于零,例四.当k取何值时,方程组有唯一解、无解、无穷多解?
在有解的情况下,求出方程组的全部解.,解:
计算系数行列式,根据Gram法则,当时,方程有唯一解,这时解为,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第三 行列式