全等三角形全章热门考点与重点题型解题技巧整理.docx
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全等三角形全章热门考点与重点题型解题技巧整理
全等三角形全章热门考点与重点题型解题技巧整理(解析版)
考点1:
全等三角形判定的三种类型
考点分析:
一般三角形全等的判定方法有四种:
SSS,SAS,ASA,AAS;直角三角形是一种特殊的三角形,它的判定方法除了上述四种之外,还有一种特殊的方法,即“HL”.具体到某一道题目时,要根据题目所给出的条件进行观察、分析,选择合适的、简单易行的方法来解题.
题型1已知一边一角型
应用1 一次全等型
1.在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:
AD平分∠BAC.
2.如图,在△ABC中,D是BC边上一点,连接AD,过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F,且BE=CF.
求证:
AD是△ABC的中线.
应用2 二次全等型
1.如图,∠C=∠D,AC=AD,求证:
BC=BD.
2.如图所示,D是△ABC中BC边上一点,E是AD上一点,EB=EC,∠BAE=∠CAE.求证∠ABE=∠ACE.
题型2已知两边型
应用1 一次全等型
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,D是AC上一点,E在BC的延长线上,且AE=BD,BD的延长线与AE交于点F,试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系,并说明你的猜想的正确性.
应用2 两次全等型
1.如图,AB=CB,AD=CD,E是BD上任意一点.求证:
AE=CE.
2.如图,∠BAC是钝角,AB=AC,点D,E分别在AB,AC上,且CD=BE.求证:
∠ADC=∠AEB.
题型3已知两角型
应用1 一次全等型
1.如图,已知∠BDC=∠CEB=90°,BE,CD交于点O,且AO平分∠BAC.求证:
OB=OC.
应用2 两次全等型
1.如图,在△ABC与△DCB中,AC与BD交于点E,且∠BAC=∠CDB,∠ACB=∠DBC,分别延长BA与CD交于点F.求证:
BF=CF.
考点3:
证明三角形全等的四种思路
考点分析:
全等三角形是初中几何的重要内容之一,是几何入门最关键的一步,学习了判定三角形全等的几种方法之后,如何根据已知条件证明三角形全等,掌握证明全等的几种思路尤为重要.
题型1条件充足时直接用判定方法
1.如图,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD,求证:
AB∥CD.
题型2条件不足时添加条件用判定方法
2.如图,点A,F,C,D在一条直线上,AF=DC,BC∥EF,请只补充一个条件,使得△ABC≌△DEF,并说明理由.
题型3非三角形问题中构造全等三角形用判定方法
3.如图,在四边形OACB中,CM⊥OA于M,∠1=∠2,CA=CB,求证:
(1)∠3+∠4=180°;
(2)OA+OB=2OM.
题型4实际问题中建立全等三角形模型用判定方法
4.如图,要测量AB的长,因为无法过河接近点A,可以在AB所在直线外任取一点D,在AB的延长线上任取一点E,连接ED和BD,并且延长BD到G,使DG=BD,延长ED到F,使DF=ED,连接FG,并延长FG到H,使H、D、A在一条直线上,则HG=AB,试说明理由.
考点4:
构造全等三角形的六种常用方法
考点分析:
在进行几何题的证明或计算时,需要在图形中添加一些辅助线,辅助线能使题目中的条件比较集中,能比较容易找到一些量之间的关系,使数学问题较轻松地解决.常见的辅助线作法有:
构造法、平移法、旋转法、翻折法、倍长中线法和截长补短法,目的都是构造全等三角形.
题型1翻折法
1.如图,在△ABC中,BE是∠ABC的平分线,AD⊥BE,垂足为D.求证:
∠2=∠1+∠C.
题型2基础三角形法
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠ABC=45°,点D为BC的中点,CE⊥AD于点E,其延长线交AB于点F,连接DF.
求证:
∠ADC=∠BDF.
题型3旋转法
3.如图,在正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.
题型4平移法
4.在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于点P,BQ平分∠ABC交AC于点Q,且AP与BQ相交于点O.求证:
AB+BP=BQ+AQ.
题型5倍长中线法
5.如图,在△ABC中,D为BC的中点.
(1)求证:
AB+AC>2AD;
(2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围.
题型6截长补短法
6.如图,AB∥CD,CE,BE分别平分∠BCD和∠CBA,点E在AD上.求证:
BC=AB+CD.
考点5:
角平分线中常用作辅助线的方法
考点分析:
因为角的平分线已经具备了全等三角形的两个条件(角相等和公共边),所以在处理角的平分线的问题时,常作出全等三角形的第三个条件,截两边相等(SAS)或向两边作垂线段(AAS)或延长线段等来构造全等三角形.
题型1作一边的垂线段
1.如图,已知△ABC的周长是20cm,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD=3cm,求△ABC的面积.
题型2作两边的垂线段
2.如图,已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA,OB交于点C,D,证明:
PC=PD.
延长作对称图形法
3.如图,在△AOB中,AO=OB,∠AOB=90°,BD平分∠ABO,AE⊥BD,求证:
BD=2AE.
题型4截取作对称图形法
4.如图,AD为△ABC的中线,DE,DF分别是△ADB和△ADC的角平分线,求证:
BE+CF>EF.
考点6:
六种常见的实际应用
考点分析:
利用三角形全等解决实际问题的步骤:
(1)明确应用哪些知识来解决实际问题;
(2)根据实际问题抽象出几何图形;
(3)结合图形和题意分析已知条件;(4)找到已知与未知的联系,寻求恰当的解决途径,并表述清楚.
题型1利用三角形全等测量池塘两端的距离
1.如图,为了测量出池塘两端A,B之间的距离,在地面上找到一点C,连接BC,AC,使∠ACB=90°,然后在BC的延长线上确定点D,使CD=BC,那么只要测量出AD的长度就得到了A,B两点之间的距离.你能说明其中的道理吗?
题型2利用三角形全等测量物体的内径
2.如图,已知零件的外径为a,要求它的厚度x,动手制作一个简单的工具,利用三角形全等的知识,求出x.
题型3利用三角形全等判断三点共线
3.如图,公园里有一条“Z”字形道路ABCD,其中AB∥CD,在AB,BC,CD三段路旁各有一个小石凳E,M,F,且BE=CF,M在BC的中点,试判断三个石凳E,M,F是否恰好在一条直线上?
为什么?
利用三角形全等解决工程中的问题
4.如图,工人师傅要在墙壁的点O处用钻打孔,要使孔口从墙壁对面的点B处打开,墙壁厚35cm,点B与点O的垂直距离AB长20cm,在点O处作一直线平行于地面,再在直线上截取OC=35cm,过点C作OC的垂线,在垂线上截取CD=20cm,连接OD,然后沿着DO的方向打孔,结果钻头正好从点B处打出,这是什么道理?
题型5利用角平分线的性质求面积
5.育新中学校园内有一块直角三角形(Rt△ABC)空地,如图所示,园艺师傅以角平分线AD为界,在其两侧分别种上了不同的花草,在△ABD区域内种植了一串红,在△ACD区域内种植了鸡冠花,并量得两直角边AB=20m,AC=10m,求两种花草各种植的面积.
题型6利用角平分线的判定和性质设计方案
6.如图,三条公路两两相交于A,B,C三点,现计划修建一个商品超市,要求这个超市到三条公路的距离相等,则可供选择的地方有多少处?
考点6:
四种常见的几何关系的探究
考点分析:
全等三角形的性质和判定是初中数学的重点内容,也是学习其他几何知识的基础,三角形全等的判定和性质是证明线段相等、角相等的重要依据,并由此还可以获得直线之间的垂直(平行)关系,线段(面积)的和、差、倍、分关系.
题型1位置关系
1.如图,已知BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB.求证:
AM⊥AN.
相等关系
2.已知△ABC,AB=AC,将△ABC沿BC方向平移得到△DEF.
(1)如图①,连接BD,AF,则BD________AF.(填“>”“<”或“=”号)
(2)如图②,M为AB边上一点,过M作BC的平行线MN分别交边AC,DE,DF于点G,H,N,连接BH,GF.求证:
BA=GF.
题型3和差关系
3.如图,∠BCA=α,CA=CB,C,E,F分别是直线CD上的三点,且∠BEC=∠CFA=α,请提出对EF,BE,AF三条线段之间数量关系的合理猜想,并证明.
题型4倍数关系
4.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=∠A,∠ACB=90°,D为AB边的中点,∠EDF=90°,∠EDF绕点D旋转,它的两边分别交AC,CB(或它们的延长线)于点E,F.
当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时(如图
(1)),易证S△DEF+S△CEF=
S△ABC;当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时,在图
(2)和图(3)这两种情况下,上述结论是否仍成立?
若成立,请给予证明;若不成立,S△DEF,S△CEF,S△ABC又有怎样的关系?
请说明你的猜想,不需证明.
考点7:
四类常见的热门题型
考点分析:
本章主要学习了全等三角形的性质与判定及角平分线的性质与判定,对于三角形全等主要考查利用全等三角形证明线段或角的等量关系,以及判断位置关系等,对于角平分线主要考查利用角平分线的性质求距离、证线段相等.
题型1全等三角形的性质与判定
1.如图所示,AB∥EF∥CD,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中的全等三角形有( )
A.3对 B.2对 C.1对 D.0对
2.如图,在△ABC中,AC=5,F是高AD和BE的交点,AD=BD,则BF的长是( )
A.7B.6C.5D.4
3.如图,在△ABC中,已知AB=AC,AD平分∠BAC,点M,N分别在AB,AC边上,AM=2MB,AN=2NC,求证:
DM=DN.
题型4全等三角形性质与判定的实际应用
1.某铁路施工队设铁路的过程中,需要打通一座小山,如图,设计时要测量隧道AB的长度.恰好山的前面是一片空地,利用这样的有利地形,测量人员是否可以利用三角形全等的知识测量出需要开挖隧道的长度?
请画出你设计的测量方法图并说明理由.
题型3角平分线的性质与判定
1.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为50和39,则△EDF的面积为( )
A.11B.5.5C.7D.3.5
2.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=7,BC=24,AC=25,点P是△ABC三个内角平分线的交点,则点P到三边的距离为________.
3.已知:
如图,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,求证:
DE=DF.
题型4角平分线的性质与判定的实际应用
1.如图,铁路OA和铁路OB交于O处,河道AB与铁路分别交于A处和B处,试在河岸上建一座水厂M,要求M到铁路OA,OB的距离相等,则该水厂M应建在图中什么位置?
请在图中标出点M的位置.
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