完全平方数初中数学竞赛教案.docx
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完全平方数初中数学竞赛教案
课题:
完全平方数
一、本课知识点和能力目标
1.知识点:
个位数的计算或判断,需要掌握由一般到特殊的归纳思想、方法,通过知识的传授培养学生的数学能力。
完全平方数是一种特殊的整数,有其独特的性质,通过学习,学生要学会判断一个数是否完全平方数,并能利用完全平方数的性质解决一些数学问题。
2.能力目标:
本讲采用举例的办法,介绍以帮助同学们轻松地进行计算,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性。
二、数学思想:
一般到特殊,分类讨论思想。
三、本次授课节次及内容安排
第1课时:
个位数的判定。
第2课时:
完全平方数
第3课时:
典型例题剖析
第4课时:
课堂反馈.
四.课外延伸、思维拓展
第一课时
[知识要点]
个位数知识:
1.整数之和(差)的个位数等于其个位数之和(差)。
2.整数之积的个位数等于其各个因数的各位数之积。
3.正整数的幂的个位数有一定的规律。
(a)n次幂后,0,1,5,6的个位数保持不变。
(b)个位数为4,9的数,n次幂后的个位数以2为周期变化。
(c)个位数为2,3,7,8的数,n次幂后的个位数以4为周期变化。
【经典例题】
答案:
3。
答案:
(1)0;
(2)3。
答案:
9
答案:
1
尝试练习:
答案:
(1)3;
(2)1;(3)8;(4)2;(5)2;(6)7
第二课时
[知识要点]
如果n是一个整数,则n2就叫完全平方数。
性质:
(1)平方数的个位数只能是0,1,4,5,6,9.
(2)平方数被3除的余数只能是0和1。
(3)奇数的平方数为4m+1,偶数的平方数是4m.
(4)平方数的个位数是奇数1,5,9时,十位数字一定是偶数。
(5)平方数之积是平方数。
(6)平方数的正约数个数为奇数。
根据平方数的定义和性质,有如下非平方数的判定方法:
(1)两相邻平方数再没有平方数。
(2)个位数是2,3,7,8的正整数不是平方数。
(3)正约数个数是偶数个的正整数不是完全平方数。
(4)个位数字与十位数字都是奇数的数不是平方数。
(5)若存在质数p|a,而p2
a,则a不是平方数。
【经典例题】
例1.试证:
形如3n+2的数不是完全平方数。
证明:
整数被3除,余数分别为0,1,2。
易得:
被3整除的数的平方数仍被3整除,
被3除余1的数的平方(3k+1)2=9k2+6k+1余数仍为1.
被3除余2的数的平方(3k+2)2=9k2+12k+4余数仍为1
故任何形如3n+2的数都不是完全平方数。
例2.求证:
奇数的平方数被8除余1,偶数的平方数一定是4的倍数。
证明:
奇数(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1,
n、n+1为连续整数,必有一个偶数.
偶数(2n)2=4n2,为4的倍数。
故得证。
例3.使得(
)为完全平方数的自然数n的个数是多少?
分析:
若n2-19n+91处于两个连续的整数平方数中,就不可能是完全平方数。
例4.一个自然数减去45后是一个平方数,这个自然数加上44,仍是平方数,试求这个平方数。
尝试练习:
1.判断11、111、1111、…、
,…这串数中是否有完全平方数。
答:
没有完全平方数。
(由性质4可得)
解:
由题意得:
所以A=2,B=-1。
当为奇数时,A+B的n次方根为1。
当为偶数时,A+B的n次方根为±1。
4.已知1176a是一个完全平方数,求a的最小值。
解:
a的最小值为6.
5.一个四位正数,加上400后就成为一个自然数的完全平方数,这样的四位数的个数有几个?
第三课时
【典型例题剖析】
例1.已知四位数
是11的倍数,且有b+c=a,
是完全平方数,求此四位数。
例2.设有四个正整数2,5,13和d,
求证:
在这四个数中存在两个数a、b,使得(ab-1)不是完全平方数。
例3.一个四位数
是一个平方数,且适合x=y+z,x+z=10t,求这四个数。
【尝试练习】
1.求证:
四个连续整数的积加1是一个完全平方数。
证明:
连续自然数n,n+1,n+2,n+3.
则n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2.
命题得证。
2.试证:
完全平方数个位数字是奇数时,其十位数上的数字必为偶数。
第四课时
【课堂反馈】姓名得分
4.下列四个数:
921438,76186,750235,2660161中,只有_2660161_
是完全平方数。
5.能被252整除的最小完全平方数是1764.
提示:
252=22*32*7,
6.在下列括号中填入适当的正整数,
从以上填空中,你发现了什么规律?
请用等式表示出来。
2k+1=(k+1)2-(k)2
7.五个连续自然数的平方和不是平方数。
8.一个正整数若加上50得一个完全平方数,若减去31又得一个完全平方数,求这个正整数。
简解:
类似于第二课时例4.
解得:
正整数为1631或175或31
9.试证:
a(a+1)+1(a是自然数)不能是某个整数的平方。
10设n是整数,如果n2的十位数字是7,那么n2的个位数字是多少?
四.课外延伸、思维拓展
1.若n是正整数,3n+1是一个完全平方数,试证:
n+1是3个完全平方数的和。
2.证明:
当n为自然数时,2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差。
3.正整数n不同的约数的个数记为N(n),如24的约数是:
1,2,3,4,6,8,12,24共8个,记N(24)=8。
那么N
(1)+N
(2)+…+N(1994)是奇数还是偶数?
为什么?
简证:
根据性质(6),平方数的正约数的个数为奇数个,非平方数的正约数的个数为偶数个。
而442<1994<452,因此,在1,2,3,…,1994中有44个平方数,
1950个非平方数。
即在N
(1),N
(2),…,N(1994)中,有44个奇数,1950个偶数。
全部的和为偶数。
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