八年级上册第十二章至第十五章知识要点.docx
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八年级上册第十二章至第十五章知识要点
第十二章全等三角形
一、全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
2、全等三角形有哪些性质
(1):
全等三角形的对应边相等、对应角相等。
(2):
全等三角形的周长相等、面积相等。
(3):
全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判定
边边边:
三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“SSS”)
边角边:
两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等(可简写成“SAS”)
角边角:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“ASA”)
角角边:
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“AAS”)
斜边.直角边:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“HL”)
4、证明两个三角形全等的基本思路:
二、角的平分线:
1、(性质)角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
2、(判定)角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意以下几个问题:
(1):
要正确区分“对应边”与“对边”,“对应角”与“对角”的不同含义;
(2):
表示两个三角形全等时,表示对应顶点的字母要写在对应的位置上;
(3):
“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等;
(4):
时刻注意图形中的隐含条件,如“公共角”、“公共边”、“对顶角”
1、全等三角形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
两个三角形全等时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。
夹边就是三角形中相邻两角的公共边,夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。
2、全等三角形的表示和性质
全等用符号“≌”表示,读作“全等于”。
如△ABC≌△DEF,读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
注:
记两个全等三角形时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、三角形全等的判定
三角形全等的判定定理:
(1)边角边定理:
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)
(2)角边角定理:
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)
(3)边边边定理:
有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。
直角三角形全等的判定:
对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理(斜边、直角边定理):
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)
4、全等变换
只改变图形的位置,二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种:
(1)平移变换:
把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
(2)对称变换:
将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换。
(3)旋转变换:
将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换。
第十二章轴对称
一、轴对称图形
1.把一个图形沿着一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。
2.把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图形完全重合,那么就说这两个图关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点
4.轴对称的性质
①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线
1.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线。
2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等
3.与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上
三、用坐标表示轴对称小结:
在平面直角坐标系中,关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.
点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为______.
点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为______.
2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点到三角形三个顶点的距离相等
四、(等边三角形)知识点回顾
1.等边三角形的性质:
等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于600。
2、等边三角形的判定:
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。
3.在直角三角形中,如果一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
五、(等腰三角形)知识点回顾
1、等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的性质定理及推论:
定理:
等腰三角形的两个底角相等(简称:
等边对等角)
推论1:
等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2:
等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°。
(2)等腰三角形的其他性质:
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角)。
③等腰三角形的三边关系:
设腰长为a,底边长为b,则
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