一元一次方程奥数专练.docx
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一元一次方程奥数专练.docx
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一元一次方程奥数专练
第06讲一元一次方程概念和等式性质
考点·方法·破译
1.了解一元一次方程、等式的概念,能准确进行辨析.
2.掌握一元一次方程的解、等式的性质并会运用.
经典·考题·赏析
【例1】下面式子是方程的是()
A.x+3B.x+y<3C.2x2+3=0D.3+4=2+5
【解法指导】判断式子是方程,首先要含有等号,然后看它是否含有未知数,只有同时具有这两个条件的就是方程.2x2+3=0是一个无解的方程,但它是方程,故选择C.
【变式题组】
01.在①2x+3y-1.②2+5=15-8,③1-
x=x+l,④2x+y=3中方程的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
02.(安徽舍肥)在甲处工作的有272人,在乙处工作的有196人,如果要使乙处工作的人数是甲处工作人数的
,应从乙处调多少人到甲处?
若设应从乙处调多少人到甲处,则下列方程正确的是()
A.272+x=
(196-x)B.
(272-x)=196–x
C.
×272+x=196-xD.
(272+x)=196-x
03.根据下列条件列出方程:
⑴3与x的和的2倍是14⑵x的2倍与3的差是5⑶x的
与13的差的2倍等于1
【例2】下列方程是一元一次方程的是()
A.x2-2x-3=0B.2x-3y=4C.
=3D.x=0
【解法指导】判断一个方程是一元一次方程,要满足两个条件:
①只含有一个未知数;②未知数的次数都是1,只有这样的方程才是一元一次方程.故选择D.
【变式题组】
01.以下式子:
①-2+10=8;②5x+3=17;③xy;④x=2;⑤3x=1;⑥
=4x;⑦(a+b)c=ac+bc;⑧ax+b其中等式有___________个;一元一次方程有___________个.
02.(江油课改实验区)若(m-2)
=5是一元一次方程,则m的值为()
A.±2B.-2C.2D.4
03.(天津)下列式子是方程的是()
A.3×6=18B.3x-8c.5y+6D.y÷5=1
【例3】若x=3是方程-kx+x+5=0的解,则k的值是()
A.8B.3C.
D.
【解法指导】方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值,所以-3k+3+5=0,k=
故选择D.
【变式题组】
01.(海口)x=2是下列哪个方程的解()
A.3x=2x-1B.3x-2x+2=0C.3x-1=2x+1D.3x=2x-2
02.(自贡)方程3x+6=0的解的相反数是()
A.2B.-2C.3D.-3
03.(上海)如果x=2是方程
的根,那么a的值是()
A.0B.2C.-2D.-6
04.(徐州)根据下列问题,设未知数并列出方程,然后估算方程的解:
(1)某数的3倍比这个数大4;
(2)小明年龄的3倍比他的爸爸的年龄多2岁,小明爸爸40岁,问小明几岁?
(3)一个商店今年8月份出售A型电机300台,比去年同期增加50%,问去年8月份出售A型电机多少台?
【例4】(太原)c为任意有理数,对于等式
a=2×0.25a进入下面的变形,其结果仍然是等式的是()
A.两边都减去-3cB.两边都乘以
C.两边都除以2cD.左边乘以2右边加上c
【解法指导】等式的性质有两条:
①等式两边都加(或减)同一个数(或式子)结果仍相等;②等式两边都乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等,故选择A.
【变式题组】
01.(青岛)如果ma=mb,那么下列等式不一定成立的是()
A.ma+1=mb+1B.ma−3=mb−3C.
ma=
mbD.a=b
02.(大连)由等式3a−5=2a+b得到a=11的变形是()
A.等式两边都除以3B.等式两边都加上(2a-5)
C.等式两边都加上5D.等式两边都减去(2a-5)
03.(昆明)下列变形符合等式性质的是()
A.如果2x−3=7,那么2x=7−xB.如果3x−2=x+l,那么3x−x=1−2
C.如果-2x=5,那么x=-5+2D.如果-
x=1,那么x=-3
【例5】利用等式的性质解下列方程:
⑴x+7=19⑵-5x=30⑶-
x−5=4
⑴解:
两边都减去7得x+7−7=19−7
合并同类项得x=12
⑵解:
两边都乘以
得x=-6
⑶解:
两边都加上5得-
x−5+5=4+5
合并同类项得-
x=9
两边都乘以-3得x=-27
【解法指导】要使方程x+7=19转化为x=a(常数)的形式,要去掉方程左边的7,因此要减7,类似地考虑另两个方程如何转化为x=a的形式.
【变式题组】
01.(黄冈)某人在同一路段上走完一定的路程,去的速度是
,回来的速度是
,则他的平均速度为()
A.
B.
C.
D.
02.(杭州)已知
是方程2x−ay=3的一个解,那么a的值是()
A.1B.3C.-3D.-1
03.(郑州)下列变形正确的是()
A.由x+3=4得x=7B.由a+b=0,得a=b
C.由5x=4x-2得x=2D.由
=0,得x=0
04.(南京)解方程
()
A.同乘以
B.同除以
C.同乘以-
D.同除以
【例6】根据所给出的条件列出方程:
小华在银行存了一笔钱,月利率为2%,利息税为20%,5个月后,他一共取出了本息1080元,问他存人的本金是多少元?
(只列方程)
【解法指导】生活中常碰见的储蓄问题是中考中常见的一种题型,应正确理解利息税的含义,清楚本息和:
本金+利息(除税后)是解题的关键.题中的利息税是把利息的20%扣除作为税上交国家.
解:
设他存入的本金是x元,则5个月的利息是2%×5x=0.1x元,需交利息税0.lx×20%=0.02x元,根据题意得:
x+0.lx−0.02x=1080.
【变式题组】
01.(甘肃)商场在促销活动中,将标价为200元的商品,在打八折的基础上,再打八折销售,则该商品现在售价是()
A.160元B.128元C.120元D.8元
02.(辽宁)根据下列条件,列出方程并解之:
(1)某数的5倍减去4等于该数的6倍加上7,求某数;
(2)长方形的周长是50厘米,长与宽之比为3∶2,求长方形面积,
【例7】(“希望杯”邀请赛试题)已知p、q都是质数,并且以x为未知数的一元一次方程px+5q=97的解是l.求代数式40p+l0lq+4的值.
【解法指导】用代入法可得到p、q的关系式,再综合运用整数知识:
偶数+奇数=奇数、奇数+奇数=偶数、偶数+偶数=偶数.
解:
把x=l代入方程px+5q=97,得p+5q=97,故p与5q中必有一个数是偶数:
(1)若p=2,则Sq=95,q=19,40p+l01q+4=40×2+101×19+4=2003;
(2)若5q为偶数,则q=2,p=87,但87不是质数,与题设矛盾,舍去.∴40p+l0lq+4的值为2003.
【变式题组】
01.(广东省竞赛题)已知
=3x+1,则(64x2+48x+9)2009=_______.
02.(第18届“希望杯”竞赛题)对任意四个有理数a、b、c、d,定义新运算:
=ad−bc,已知
=18,则x=()
A.-1B.2C.3D.4
演练巩固反馈提高
01.下面四个式子是方程的是()
A.3+2=5B.x=2C.2x−5D.a2+2ab≠b2
02,下列方程是一元一次方程的是()
A.x2−2x−3=0B.2x−3y=3C.x2−x−1=x2+1D.
03.“x的一半比省的相反数大7”用方程表达这句话的意思是()
A.
=7−xB.
+7=−xC.
+7=xD.
=x+7
04.(石家庄)把1200g洗衣粉分别装入5个大小相同的瓶子中,除一瓶还差15g外,其余四瓶都装满了,问装满的每个瓶子中有洗衣粉多少克?
若设装满的每个瓶子有xg洗衣粉,列方程为()
A.5x+15=1200B.5x-15=1200C.4x+15=1200D.4(x+15)=1200
05.在方程①3x−4=7;②
=3;③5x−2=3;④3(x+1)=2(2x+1)中解为x=1的方程是()
A.①②B.①③C.②④D.③④
06.如果方程2n+b=n−1的解是n=-4,那么b的值是()
A.3B.5C.-5D.-13
07.若“△”是新规定的某种运算符号,设a△b=a2+b则(-2)△x=10中x为()
A.-6B.6C.8D.-8
08.(武汉)小刚每分钟跑am,用6分钟可以跑完3000m,如果每分钟多跑l0m,则可以提前1分钟跑完3000m,下列等式不正确的是()
A.(a+10)(b-1)=abB.(a−10)(b+l)=3000
C.
=a+10D.
=b−1
09.已知关于x的方程(m+2)xm+4=2m-1是一元一次方程,则x=_______.
10.在数值2,-3,4,-5中,是方程4x−2=10+x的解是_______.
11.(福州)已知
−1=
,试用等式的性质比较m、n的大小.
12.(西宁)已知方程a−2x=-4的解为x=4,求式子a3−a2−a的值.
13.三个连续自然数的和是33,求这三个数.
14.某班有70人,其中会游泳的有52人,会滑冰的有33人,这两项都不会的有6人,这两项都会的有多少人?
15.甲车队有司机80人,乙车队有50人,要使两个车队的司机人数一样多,应该从甲车队调多少个司机到乙车队?
培优升级奥赛检测
01.下列判断中正确的是()
A.方程2x-3=1与方程x(2x-3)=x同解,
B.方程2x-3=1与方程x(2x-3)=x没有相同的解.
C.方程x(2x-3)=x的解是方程2x-3=1的解.
D.方程2x−3=1的解是方程x(2x-3)=x的解.
02.方程
的解是()
A.2008B.2009C.2010D.2011
03.(江苏省竞赛题)已知a是任意有理数,在下面各题中
(1)方程ax=0的解是x=l
(2)方程ax=a的解是x=l
(3)方程ax=1的解是x=
(4)
的解是x=±1
结论正确的的个数是()
A.0B.1C.2D.3
04.(“希望杯”邀请赛)已知关于x的一元一次方程(3a+8b)x+7=0无解,则ab是()
A.正数B.非正数C.负数D.非负数
05.(第十一届“希望杯”邀请赛试题)已知a是不为0的整数,并且关于x的方程ax=2a3−3a2−5a+4有整数解,则a的值共有()
A.1个B.3个C.6个D.9个
06.(“祖冲之杯”邀请赛)方程
+(x−5)=0的解的个数为()
A.不确定B.无数个C.2个D.3个
07.若x=9是方程
的解,则a=______;又若当a=1时,则方程
的解是______.
08.方程
的解是_____,方程
的解是_____.
09.(北京市“迎春杯”竞赛试题)已知
=1995,那么x=____.
10.(“希望杯”邀请赛试题)已知
,那么19x99+3x+27的值为____.
11.(广西竞赛)解关于x的方程
=-3.
12.a为何值,方程
有无数个解.
13.(“五羊杯”竞赛题)若干本书分给小朋友,每人m本,则余14本;每人9本,则最后一人只得6本,问小朋友共几人?
有多少本书?
14.(上海市竞赛题)甲队原有96人,现调出16人到乙队,调出人数后,甲队人数是乙队人数的k(是不等于1的正整数)倍还多6人,问乙队原有多少人?
第07讲一元一次方程解法
考点·方法·破译
1.熟练掌握一元一次方程的解法步骤,并会灵活运用.
2.会用一元一次方程解决实际问题
经典·考题·赏析
【例1】解方程:
5x+2=7x-8
【解法指导】当方程两边都含有未知数时,通常把含未知数项移到方程的左边,已知数移到方程的右边,注意移项要变号.
解:
移项,得5x-7x=-8-2
合并同类项,得-2x=-10
系数化为1,得x=5
【变式题组】
01.(广东)关于x的方程2(x-1)-a=0的根是3,则a的值是()
A.4B.-4C.2D.-1
02.(陕西)如果a、b是已知数,则-7x+2a=-5x+2b的解是()
A.a-bB.-a-bC.b-aD.b+a
03.解下列方程:
⑴2x+3x+4x=18
(2)3x+5=4x+1
【例2】解方程:
11-2(x+1)=3x+4(2x-3)
【解法指导】此题中含有括号,应先按去括号法则去掉括号,去括号时,要注意符号,括号前是“+”号不变号;括号前是“-”,各项均要变号,有数字因数使用乘法分配律时,不要漏乘括号里的项,再通过移项、合并系数化为1,从而求出方程的解.
解:
去括号,得11-2x-2=3x+8x-12
移项,得-2x-3x-8x=-12-11+2
合并同类项,得-13x=-21
系数化为1,得
【变式题组】
01.(广州)下列运算正确的是()
A.-3(x-1)=-3x-1B.-3(x-1)=-3x+1
C.-3(x-1)=-3x-3D.-3(x-1)=-3x+3
02.(黄冈)解方程:
-2(x-1)-4(x-2)=1去括号结果,正确的是()
A.-2x+2-4x-8=1B.-2x+1-4x+2=1
C.-2x-2-4x-8=1D.-2x+2-4x+8=1
03.(广州)方程2x+1=3(x-1)的解是()
A.x=3B.x=4C.x=-3D.x=-4
04.解下列方程:
⑴7(2x-1)-3(4x-1)=5(3x+2)-1
(2)3(100-2x)=400+15x
【例3】解方程:
【解法指导】方程中含有字母,去分母是首先要考虑的,去掉分母后可能出现括号,去分母时,方程两边同乘以各分母的最小公倍数时,不要漏乘没有分母的项
解:
去分母时,得4(2x-1)-2(10x+1)=3(2x+1)-12
去括号,得8x-4-20x=6x+3-12
移项,得8x-20x-6x=3-12+4+2
合并,得-18x=-3
系数化为1,得
回顾小结:
我们已经学习了解一元一次方程的基本方法步骤:
(1)去分母;⑵去括号;⑶移项;⑷合并;⑸系数化为1.
这五个步骤要注意灵活运用.
【变式题组】
01.(厦门)如果关于x的方程
的解不是负值,那么a与b的关系是()
A.
B.
C.5a≥3bD.5a=3b
02.(银川)甲、乙两船航行于A、B两地之间,由A到B航行的速度为每小时35千米,由B到A航速为每小时25千米,今甲船由A地开往B地,乙船由B地开往A地,甲先航行2小时,两船在距B地120千米处相遇,求两地的距离,若设两地的距离为x千米,根据题意可列方程()
A.
B.
C.
D.
03.(四川)解方程:
04.(大连)若方程
与方程
的解相同,求
的值.
【例4】解方程:
【解法指导】原方程的分子、分母有小数,可先利用分数的性质把小数化成整数,再按解方程步骤来解,注意:
分数的性质是一个分数的分子、分母而言,而等式的性质是对一个等式的左边、右边而言,要注意区别防止出错.
解:
原方程变形为:
即50(0.1x-0.2)-2(x+1)=3
去括号,得5x-50-2x-2=3
移项,得5x-2x=3+10+2
合并,得3x=15
系数化为1,得x=5
【变式题组】
01.对方程
变形正确的是()
A.
B.
C.
D.
02.(郑州)解方程:
【例5】解方程:
【解法指导】对于解一元一次方程五步骤应灵活运用,有取有舍,灵活运用,此题如果直接去分母,计算量较大,观察分母的数字特征分类通分,可以减少计算量.
解:
移项得
两边分别通分得:
即
解得x=1
【变式题组】
01.(大连)解方程
,较简便的是()
A.先去分母B.先去括号C.先两边都除以
D.先两边都乘以
02.解方程:
03.解方程:
【例6】有一些分别标有6,12,18,24,…的卡片,后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大6,小明拿到了相邻的三张卡片,且这些卡片的数之和为342.
(1)小明拿到了哪3张卡片?
(2)你能拿到相邻3张卡片,使得这些卡片上的数之为是86吗?
【解法指导】⑴先用含字母的式式表示出这三张卡片的数字,然后用一元一次方程求解.⑵属于开放式问题,要注意体会这类问题的思维方式,掌握解题技巧及策略.
解:
设小明拿到的三张卡上的数字为x,x+6,x+12
(1)依题意得:
x+x+6+x+12=342
合并,得3x+18=342
移项,得3x=324
系数化为1,得x=108
答:
这三个数为108,114,120
(2)不能使这三张卡片上的数字和为86,理由是
(3)假设x+x+6+x+12=86
合并,得3x+18=86
移项,得3x=324
系数化为1,得
因为这些卡片上的数字都是6的倍数,故不可能为
.
【变式题组】
01.下图是按一定规律排列的数构成的一个数表:
1471013161922
2528313437404346
4952555861646770
…
⑴用一方框按上图框的样子,任意框住9个数,若这9个数的和是549,求方框中最后一个数;
⑵若按如图所示的斜框任意框住9个数,且这9个数的和是360,则斜框中的第一个数是什么?
×××
×××
×××
【例7】(河南省竞赛题)若关于x的方程9x-17=kx的解为正整数,则k的值为k=_____
【解法指导】把x的值用k的代数式表示,利用整除性求出k的值.
解:
∵9x-17=kx
∴(9-k)x=17
∴
∵x为正整数,∴9-k为17的正整数因数
∴9-k=1或9-k=17
∴k=8或k=-8故k=±8
【变式题组】
01.(成都)要使一元一次方程-kx=k的解为x=-1,必须满足的条件是()
A.可取一切数B.k<0C.k≠0D.k>0
02.(“五羊杯”竞赛题)已知关于x的方程9x-3=kx+14有整数解,那么满足条件的所有整数k=___________
演练巩固·反馈提高
01.(苏州)某商品现在售价为34元,比原售价降低了15%,则原价是()
A.40元B.35元C.28.9元D.5.1元
02.(新疆)汽车以72千米/时的速度在公路上行驶,开向寂静的山谷,驾驶员掀一下喇叭,4秒后听到回响,这时汽车离山谷多远?
已知空气中声音的传播速度约为340米/秒,汽车离山谷x米,根据题意,列出方程为()
A.2x+4×20=4×340B.2x-4×20=4×340
C.2x+4×72=4×340D.2x-4×20=4×340
03.(陕西)一件标价为600元的上衣,按8折销售仍可获利20元,设这件上衣的成本为x元,根据题意,下面所列的方程正确的是()
A.600×0.8-x-20B.600×0.8=x-20C.600×8-x=20D.600×8=x-20
04.(长沙)一轮船往返于A、B两港之间,逆水航行需3小时,顺水航行需2小时,水流速度是3千米/时,则轮船在静水中速度是()
A.18千米/时B.15千米/时C.12千米/时D.20千米/时
05.(武汉)已知关于x的方程4x-3m=2的解是x=m,则m的值是()
A.2B.-2C.
D.
06.(陕西)中国人民银行宣布,从2007年6月5日起,上调人民币存款利率,一年定期存款利率上调到3.06%.某人于2007提6月5日存入定期为1年的人民币5000元(到期后银行将扣除20%的利息税),设到期后银行向储户支付现金为x元,则所列方程正确的是()
A.x-5000=5000×30.6%B.x+5000×20%=5000(1+3.06%)
C.x+5000×3.06%×20%=5000(1+3.06%)D.x+5000×3.06%×20%=5000×30.6%
07.(南通)关于x的方程mx-1=2x的解为正数,则m的取值范围是()
A.m≥2B.m≤2C.m>2D.m<2
08.若x=2不是方程2x+b=3x的解,则b不等于()
A.
B.
C.2D.-2
09.(天津)若
是关于x的一元一次方程,则这个方程的解为x=_______
10.(广东)若2x-1=3,3y+2=8,则2x+3y=_________
11.(南京)x为何值时,式子
与式子
满足下列条件:
⑴相等
⑵互为相反数
⑶式子
比式子
的值小1
12.(随州)一个两位数,个位数是十位上的数的2倍,如果把十位上的数与个位上的数对调,那么所得到的两位数比原两位数大36,求原两位数,根据下列设法列方程求解.
⑴设十位数上的数为x;
⑵设个位数上的数为y.
13.(北京)国外营养学家做了一项研究,甲组同学每天正常进餐,乙组同学每天除正常进餐外,每人还增加六百亳升牛奶.一年后发现,乙组同学平均身高的增长值比甲组同学平均身高的增长值多2.01cm,甲组同学平均身高的增长值比乙组同学平均增长值的
少0.34cm,求甲、乙两组同学平均身高的增长值.
14.(北海)某校一、二两班共有95人,体育锻炼的平均达标率(达到标准的百分率)是60%,如果一班达标率是40%,二班达标率是78%,求一、二班的人数各是多少?
15.某车间有60名工人,生产一种螺栓和螺帽,平均每人每小时生产螺栓15个或螺帽10个,应分配多少人生产螺栓,多少人生产螺帽,才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套?
(每个螺栓配两个螺帽)
培优升级·奥赛检测
01.(南昌)把a千克的纯酒精溶在b千克水里,再从中取b千克溶液,在这b千克溶液中含酒精的千克数为()
A.aB.
C.
D.
02.下列四组变形中属于移项变形的是()
A.5x+4=0则5x=-4B.
得y=10
C.
则
D.3x=4则
03.(第18届“希望杯”赛题)方程
的解是x=____
A.
B.
C.
D.
04.(广西竞赛题)若方程(m2-1)x2-mx+8=x是关于x的一元一次方程,则代数式m2008-|m-1|的值为()
A.1或一1B.1C.-1D.2
05.如果2005-200.5=x-20.05,那么x等于()
A.1814.25B.1824.55C.1774.45D.1784.45
06
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