突破11 空间几何体的结构重难点突破原卷版.docx
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突破11空间几何体的结构重难点突破原卷版
专题1.1空间几何体的结构重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
【一、空间几何体的有关概念】
1.空间几何体
对于空间中的物体,如果我们只考虑其形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的就叫做空间几何体.例如,一个正方体形包装箱,占有的空间部分就是一个几何体,这个几何体就是我们熟悉的正方体.
2.多面体
(1)多面体:
一般地,我们把由若干个围成的几何体叫做多面体.
(2)多面体的面:
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,如图中面ABB′A′,面BCC′B′等.
(3)多面体的棱:
相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,如图中棱AA′,棱BB′等.
(4)多面体的顶点:
棱与棱的公共点叫做多面体的顶点,如图中顶点A,B,C等.
3.旋转体
(1)旋转体:
由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线所形成的封闭几何体.如图所示为一个旋转体,它可以看作由矩形OBB′O′绕其边OO′所在的直线旋转而形成.
(2)旋转体的轴:
平面图形旋转时所围绕的定直线.如图中直线OO′是该旋转体的轴.
【二、几种最基本的空间几何体】
1.棱柱的结构特征
定
义
一般地,有两个面互相,其余各面都是,并且每相邻两个四边形的公共边都互相,由这些面所围成的多面体叫做棱柱(prism).
图形
及
表示
①用表示底面的各顶点字母来表示棱柱.如图所示的六棱柱可以表示为棱柱ABCDEF−A′B′C′D′E′F′.
②用棱柱的对角线表示棱柱.如图,
(1)可表示为四棱柱AC1或四棱柱BD1等;
(2)可表示为六棱柱AD1或六棱柱AE1等;(3)可表示为五棱柱AC1或五棱柱AD1等.这种记法要说明棱柱是几棱柱.
相
关
概
念
①棱柱的底面:
棱柱中,两个互相的面叫做棱柱的底面,简称底.
②棱柱的侧面:
除底面外,其余各面叫做棱柱的侧面.
③棱柱的侧棱:
相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.
④棱柱的顶点:
侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.
结构
特征
①底面互相.
②侧面都是.
③每相邻两个平行四边形的公共边互相.
分
类
①棱柱可以按底面的边数进行分类,底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……即棱柱的底面是几边形,这样的棱柱就叫做几棱柱.
②按侧棱与底面是否垂直分类,可分为斜棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做,侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.特别地,底面是正多边形的直棱柱叫做.
2.棱锥的结构特征
定
义
一般地,有一个面是,其余各面都是有一个公共顶点的,由这些面所围成的多面体叫做棱锥(pyramid).
图形及
表示
①表示顶点和底面各顶点的字母表示棱锥.如图所示的四棱锥可表示为棱锥S−ABCD.
②用顶点和底面多边形的一条对角线的相应字母表示棱锥(三棱锥除外).如图所示的棱锥可记为四棱锥S−AC.
相
关
概
念
①棱锥的底面:
在棱锥中,这个多边形面叫做棱锥的底面或底.
②棱锥的侧面:
有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面.
③棱锥的顶点:
各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.
④棱锥的侧棱:
相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.
结构特征
①底面是.
②侧面都是.
③侧面有一个.
分
类
按底面的边数进行分类:
底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中,三棱锥又称为.
注意:
三棱锥的所有面都是三角形,所以四个面都可以看作底.
3.棱台的结构特征
定
义
用一个于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫做棱台(frustumofapyramid).
图形及
表示
用表示底面各顶点的字母表示棱台.如图所示的四棱台可以表示为棱台ABCD−A′B′C′D′.
相
关
概
念
①棱台的下底面、上底面:
原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面,如上图所示,面A′B′C′D′为棱台的上底面,面ABCD为棱台的下底面.
②棱台的侧面:
除上、下底面之外的其他各面叫做棱台的侧面,如上图所示,面ABB′A′,面BCC′B′,面CDD′C′,面ADD′A′都是棱台的侧面.
③棱台的侧棱:
相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱,如上图所示,棱AA′,棱BB′,棱CC′,棱DD′都是棱台的侧棱.
④棱台的顶点:
棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点,如上图所示,点A,B,C,D,A′,B′,C′,D′都是棱台的顶点.
结构特征
①上、下底面互相,且是图形.
②各侧棱的延长线交于.
③各侧面为.
分
类
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
注意:
由正棱锥截得的棱台叫做.
4.圆柱的结构特征
定
义
以的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的叫做圆柱(circularcylinder).
图形
及
表示
圆柱可以用表示它的轴的字母表示,上图所示的圆柱可以表示为圆柱OO′.
相
关
概
念
①圆柱的轴:
旋转轴叫做圆柱的轴.
②圆柱的底面:
垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面.
③圆柱的侧面:
平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面.
④圆柱的母线:
无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线.
注意:
圆柱与棱柱统称为柱体.
结
构
特
征
①圆柱有两个大小相同的底面,这两个面互相,且底面是圆面而不是圆.
②圆柱有无数条母线,且任意一条母线都与圆柱的轴,所以圆柱的任意两条母线互相.
③平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面,过轴的截面(轴截面)是全等的.
5.圆锥的结构特征
定
义
以的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥(circularcone).
图形
及
表示
圆锥可以用表示它的轴的字母表示,如图所示的圆锥可以表示为圆锥SO.
相
关
概
念
①圆锥的轴:
旋转轴叫做圆锥的轴,如上图所示,SO为圆锥的轴.
②圆锥的底面:
垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面,如上图所示,⊙O及其内部是圆锥的底面.
③圆锥的侧面:
直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面.
④圆锥的母线:
无论旋转到什么位置,斜边都叫做圆锥的母线,如上图所示,SA,SB等都是圆锥的母线.
⑤圆锥的顶点:
母线的交点叫做圆锥的顶点,如上图所示,点S为圆锥的顶点.
注意:
圆锥与棱锥统称为锥体.
结构特征
①底面是.
②有无数条母线,长度且交于.
③平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面,过轴的截面(轴截面)是全等的.
6.圆台的结构特征
定
义
用圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台(frustumofacone).
图形
及
表示
圆台可以用表示它的轴的字母表示,上图所示的圆台可以表示为圆台OO′.
相
关
概
念
①圆台的下底面、上底面:
原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面.
②圆台的轴:
上、下底面圆心的连线所在的直线叫做圆台的轴.
③圆台的侧面:
原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面叫做圆台的侧面.
④圆台的母线:
原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线.
注意:
圆台和棱台统称为台体.
结
构
特
征
①圆台上、下底面是互相且的圆面.
②有条母线,且延长线交于一点.
③平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面,过轴的截面(轴截面)是全等的.
7.球的结构特征
定
义
以半圆的所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体(solidsphere),简称球.
图形及
表示
可以用表示球心的字母表示球,上图所示的球可以表示为球O.
相关概念
①球心:
半圆的叫做球的球心.
②半径:
半圆的叫做球的半径.
③直径:
半圆的叫做球的直径.
8.简单组合体的结构特征
定义
由、、、等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.
构
成
形
式
①由简单几何体拼接而成,如图
(1)所示.
②由简单几何体截去或挖去一部分而成,如图
(2)所示.
常
见
的
几
种
组
合
体
①多面体与多面体的组合体
图
(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到,图
(2)中几何体由一个四棱柱与一个四棱锥组合而成,图(3)中几何体由一个三棱柱与一个三棱台组合而成.
②多面体与旋转体的组合体
图
(1)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到,图
(2)中几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱得到,图(3)中几何体由一个球挖去一个三棱锥得到.
③旋转体与旋转体的组合体
图
(1)中几何体由一个球体和一个圆柱组合而成,图
(2)中几何体由一个圆台和两个圆柱组合而成,图(3)中几何体由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成.
三、题型分析
(一)棱柱、棱锥、棱台的结构特征
例1.
(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方形礼品盒,如图所示,则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)( )
A.
B.
C.
D.
(2)下面是关于四棱柱的四个命题:
①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱
③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱
④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱
其中,真命题的编号是 (写出所有真命题的编号).
【变式训练1】.判断下列命题的真假.
(1)四棱柱一定是平行六面体;
(2)六个面都是矩形的六面体一定是长方体;
(3)直平行六面体一定是长方体;
(4)底面是矩形的四棱柱一定是长方体.
【变式训练2】.在棱长为6的正方体
中,点
,
分别是棱
,
的中点,过
,
,
三点作该正方体的截面,则截面的周长为()
A.
B.
C.
D.
(二)圆柱、圆锥、圆台的结构特征
例2.
(1)下列命题:
①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线;
③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;
④圆柱的任意两条母线相互平行.
其中正确的是()
A.①②B.②③C.①③D.②④
(2)下列叙述正确的是()
①有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.
②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台.
③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
④直角三角形绕其一条边旋转得到的旋转体是圆锥.
⑤直角梯形以它的一条垂直于两底边的腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面围成的旋转体叫圆台.
⑥用一个平面去截圆锥,底面和截面之间的部分是圆台.
⑦通过圆锥侧面上一点,有无数条母线.
⑧以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成球体.
A.①②③④⑤⑥⑧ B.①③④⑦⑧
C.①②⑤⑧ D.⑤
【变式训练1】.如图所示,正四棱台
的高是17cm,上、下两底面的边长分别是4cm和16cm,求这个棱台的侧棱长和斜高.
【变式训练2】.已知圆锥的底面半径为r,高为h,且正方体
内接于圆锥,求这个正方体的棱长.
(三)球的结构特征
例3.如图,各棱长都相等的三棱锥内接于一个球,则经过球心的一个截面图形可能是 ( )
A.①③B.①②C.②④D.②③
(四)空间几何体的平面展开图
例4.已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )
A.
B.
C.
D.
【变式训练1】.圆台的上、下底面半径分别为
、
,母线长
,从圆台母线
的中点
拉一条绳子绕圆台侧面转到
点(
在下底面),求:
(1)绳子的最短长度;
(2)在绳子最短时,上底圆周上的点到绳子的最短距离.
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