高教社杯全国大学生数学建模竞赛.docx
- 文档编号:12054001
- 上传时间:2023-04-16
- 格式:DOCX
- 页数:27
- 大小:96.17KB
高教社杯全国大学生数学建模竞赛.docx
《高教社杯全国大学生数学建模竞赛.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高教社杯全国大学生数学建模竞赛.docx(27页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高教社杯全国大学生数学建模竞赛
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写):
B
我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话):
所属学校(请填写完整的全名):
重庆大学
参赛队员(打印并签名):
1.
2.
3.
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名):
颜珂
日期:
2011年9月12日
赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):
赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用):
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):
全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):
用Floyd算法优化设计交巡警平台
【摘要】本文主要讨论交巡警平台设置问题,建立了图论优化模型,利用Floyd算法求任意两点间最短距离,同时运用0-1优化并用lingo编写程序求得结果如下:
问题一:
要使交巡警在三分钟内到达,即要使交巡警平台的设置位置处于所管辖距离3km以内。
即将要处理的三分钟内达到问题转化为不大于3km的行驶区域内。
首先,用lingo把A区的路线起点到路线终点的距离求解出来。
再用Floyd算法和lingo编程算出A区各个交巡警平台到A区交通网络中各个节点的最短距离,求得交巡警平台设置如下:
(A1,A1),(A1,67),(A1,68),(A1,69),(A1,71),(A1,72),(A1,74),(A1,75),(A1,76),
(A1,78),(A2,A2),(A2,40),(A2,43),(A2,44),(A2,70),(A3,A3),(A3,54),(A3,55),
(A3,55),(A3,65),(A3,66),(A4,A4),(A4,60),(A4,62),(A4,63),(A4,64),(A5,A5),(A5,49),(A5,50),(A5,51),(A5,52),(A5,53),(A5,56),(A6,A6),(A6,57),(A6,58),(A6,59),(A7,A7),(A7,30),(A7,47),(A7,48),(A7,61),(A8,A8),(A8,32),(A8,33),(A8,34),(A8,37),(A8,46),(A9,9),(A9,31),(A9,35),(A9,36),(A9,45),(A10,10),(A11,A11),(A11,26),(A11,27),(A12,A12),(A12,25),(A13,13),(A13,22),(A13,23),(A13,24),(A14,14),(A14,21),(A15,A15),(A15,28),(A15,29),(A16,A16),(A16,38),(A16,39),(A17,17),(A17,41),(A17,42),(A18,A18),(A18,73),(A18,81),(A18,82),
(A18,83),(A18,92),(A19,A19),(A19,77),(A19,79),(A19,80),(A20,A20),(A20,84),(A20,85),(A20,86),(A20,87),(A20,88),(A20,89),(A20,90),(A20,91)
在第1小问的基础上采取Floyd算法求解出一个92x92的最短距离矩阵
,运用lingo编程并使用0-1变量,为快速全面封锁13条交通要道,调度方案如下:
(A14,12),(A13,14),(A3,16),(A11,21),(A9,22),(A12,23),(A10,24),(A15,28),
(A5,29),(A17,30),(A8,38),(A2,48),(A20,62)。
根据案发率与最短距离的乘积来确定工作量,为了尽可能均衡各交巡警平台的出警时间和工作量,建立了优化模型,并利用lingo程序编程,求解出最佳设计方案:
需增加3处交巡警平台,位置分别在节点29,38,61处。
问题二:
我们采用了Matlab编程(见附录),以B区为例,首先求出B区内任意两个节点之间的最短距离,设定为的服务平台(第93个到100个服务平台)到各个节点之间最短距离,进一步根据出警时间不宜过长即在三分钟(距离小于3km)之内能够到达的节点优先考虑。
参见附件表格查找出各节点的发案率,综合各服务平台管辖的区域,求出各平台的总出勤量(总发案率)。
对于个区域总偏差问题,应用模型5.1.1的各个节点的最短距离和参见的附件表格数据发案率,在相等的时间范围内,两者的乘积即可考虑为总偏差的取值。
以此条件设定犯罪嫌疑人的逃跑距离范围,利用MATLAB软件计算从标号为32的路口出发经过三分钟可能达到的路口,结果如下:
(29,239),(C171,C173),(C173,245),(C168,C168),(C172,242),(D326,349),
(D320,248),(C170,273),(D321,369),(C167,232),(A4,60)
【关键字】交巡警平台Floyd算法lingo优化
一、问题的重述
就某市的交巡警平台的相关情况,建立如下要求的模型并进行优化设计。
根据A区的交通网络以及现有20个交巡警平台的设置情况。
优化设计在各交巡警管辖范围内发生突发事件时,交巡警能够在3分钟内到达事发地。
在发生重大事故时,设计合理的交巡警调度方案使A区20个交巡警平台的警力资源能快速的对13个交通要道实现全封锁。
设计出合理的交巡警平台的警力调度方案。
由于现有的交巡警平台存在工作量和出警时间不均衡的情况,拟再设置2-5个交巡警平台缓解此类情况。
并优化设计出交巡警平台的个数以及位置。
现针对全市六个区的具体情况,根据交巡警平台的原则和任务,分析现有的交巡警平台设置是否合理。
如不合理,提出合理的设置方案,并指出不合理的地方。
如果在第32个节点发生了重大刑事案件,在接到报警三分钟后,犯罪嫌疑人已驾车逃跑。
为了搜捕犯罪嫌疑人,需要设计出全市交巡警平台警力资源的最佳围堵方案。
二、问题的分析
据题意,本着使警察职能最大限度的发挥作用,在设置交巡警服务平台时,能够因地制宜的合理分派平台的管辖范围以及调度警务资源。
旨在以最优化方案解决交巡警平台的设置与调度问题,达到资源利用最大化。
在进行管辖范围划分时考虑出警的效率,发案率的高低以及人口密度情况,综合上述因素加以分析以确定交巡警服务平台的管辖范围,对于在规定时间内赶到的问题我们采取利用时间和速度的条件来确定路程,继而通过规定时间内是否能达到区域来判断设置的交巡警平台在出警效率上是否合理。
2.1问题一分析
在第一问中,要求在所管辖的范围内,在三分钟之内以60km/h的速度行驶时,交巡警能够尽量到达事发地。
根据题意,要使交巡警在三分钟内到达,即要使交巡警平台的设置位置处于所管辖距离3km以内。
即将要处理的三分钟内达到问题转化为不大于3km的行驶区域内。
首先,用lingo把A区的路线起点到路线终点的距离求解出来。
再用Floyd算法和lingo编程算出A区各个交巡警平台到A区交通网络中各个节点的最短距离,再筛选出不大于3km的各个符合条件的交巡警平台设置。
对于发生重大突发事件时,调动全区20个交巡警平台的警力资源对十三条交通要道实现快速、全面封锁的要求,给出最优设计。
其中提到,一个平台的警力最多封锁一个路口的条件,由此,我们采取一对一,多对一的设计思路。
使用Floyd算法求解出一个92x92的最短距离矩阵,运用lingo编程并使用0-1变量,设计出13条交通要道满足实行快速全面封锁的要求。
由于A区交巡警服务平台设置和调度问题,导致出警时间和工作量不均衡的情况,拟定增加2-5个平台,据此设计出优化方案。
对于出警时间的要求我们同样把三分钟内到达作为限制条件,即用excel筛选出3km以内的交巡警平台管辖范围,即满足条件。
对于工作量的要求,我们采取考虑案发率与最短距离的乘积来确定,其值越小工作量越小,反之,工作量越大。
2.2问题二的分析
针对全市六个区由于操作量过大,我们将其定义在一定的时间内(假设出警时间不宜超过三分钟)分区进行处理。
统筹考虑
服务平台的原则和任务:
①总出勤量最小
②各区域到达出勤地点时间不可过长
在此基础上考虑交巡警平台的设置是否合理。
针对①,总出勤量最小即转化为服务平台到各个节点的发案率之和最低。
针对②,在相等的时间内,各服务平台出警时间即等价于出警到达各节点的最短距离。
在案发三分钟后接到报警,犯罪嫌疑人已逃跑,为快速搜捕犯罪嫌疑人,给出优化围堵方案。
考虑到警车的出警时间问题,我们假设警车在接到报警后三分钟内能够参与到围捕的行动中。
利用MATLAB软件计算从标号为32的路口出发经过三分钟可能达到的路口。
因为犯罪嫌疑人有着尽快逃离作案区的动机,所以会选择出逃A区最近的路径出逃。
三、模型的假设
1、在对13条交通要道实行封锁的时候假设一个平台的警力对应封锁一个路口。
2、在对P点的重大刑事案件,搜捕嫌疑人时假设建立在第一问已经设置了2个交巡警平台的基础之上。
3、在追捕犯罪嫌疑人时,假设犯罪嫌疑人往最快出A区的路线逃跑。
4、模型中所设置的交通平台在平时的管辖范围与突发事件发生时的管辖范围一致。
5、假设题中出现的案发率保持不变。
四、模型的符号说明及定义
:
表各节点之间距离;
:
警车所行驶时间;
:
警车行驶速度;
:
区各节点的距离矩阵;
:
C区各节点的距离矩阵;
:
事故地点与所被管辖的交巡警平台之间的距离;
:
交巡警须尽可能达到事发地点的时间;
五、模型的建立与求解
5.1模型的导出
对于问题一,要求交巡警能够在三分钟到达事发地,以此分配管辖范围。
由此,需要算出A区各个交巡警平台到A区交通网络中各个节点的最短距离,所以想到用Floyd算法来解决此问题。
其思想如下:
从图形的带权邻接矩阵A=[a(i,j)]n×n开始,递归地进行n次更新,即由矩阵D(0)=A,按一个公式,构造出矩阵D
(1);又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。
矩阵D(n)的行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度,称D(n)为图形的距离矩阵,同时还引入一个后继结点矩阵path来记录两点间的最短路径。
最短距离的三种情况:
1、两点间的直达距离最短。
2、两点间通过两个以上顶点的距离最短。
3、两点间只通过一个中间点时距离最短。
5.2模型的建立与求解
5.2.1模型Ⅰ
根据题目所给数据,我们首先利用matlab求出A区的路线起点到路线终点的距离。
利用此距离运用Floyd算法算出A区各个交巡警平台到A区交通网络中各个节点的最短距离,可以得到一个92x92的最短距离矩阵。
由于警车的时速为60km/h,由于距离信息比较容易得到,于是我们将时间限制转化为距离限制,这样便于分析和求解。
根据题目条件,当交巡警接警后,在三分钟内能从接警位置赶到事发现场的最大距离是
,其中
。
利用lingo求解出用lingo把A区的路线起点到路线终点的距离求解出来。
再用Floyd算法和lingo编程算出A区各个交巡警平台到A区交通网络中各个节点的最短距离,通过excel筛选出不大于3km的各个组合。
在lingo中编程,建立的模型如下:
目标函数:
(
)
其中:
表示警车从
节点到
节点能在三分钟之内到达;
表示警车从
节点到
节点不能在三分钟之内到达。
利用lingo求解知道优化结果如下:
并用matlab编程标出A区各个节点的位置如图
(一)所示
图
(一)
5.2.2模型Ⅱ
对于发生重大突发事件时,调动全区20个交巡警平台的警力资源对十三条交通要道实现快速、全面封锁的要求,给出最优设计。
为了达到以最快的速度封锁各交通要道,我们要求分配交巡警的时候,最远的距离为最短,因此有目标
又因为一个个平台的警力最多封锁一个路口的条件,有如下约束:
另外一个交通要道只能由一个交巡警平台来控制,而且13条交通要道必须全部控制,因此有
约束,
表示第i和交通要道由第j个交巡警平台控制,因此有
(i=1…13,j=1…20)为0-1变量.因此有如下的0-1优化模型
s.t.
(i=1…13,j=1…20)为0-1变量
这里的
第i个点到第j个点的最短距离。
使用Floyd算法求解出一个92x92的最短距离矩阵
,运用lingo编程,求出13条交通要道实行快速全面封锁的方案如下所示:
Variable
Value
ReducedCost
JUECE(C1,14)
1.000000
0.000000
JUECE(C2,13)
1.000000
0.000000
JUECE(C3,3)
1.000000
0.000000
JUECE(C4,11)
1.000000
0.000000
JUECE(C5,9)
1.000000
131.3209
JUECE(C6,12)
1.000000
0.000000
JUECE(C7,10)
1.000000
0.000000
JUECE(C8,15)
1.000000
0.000000
JUECE(C9,5)
1.000000
0.000000
JUECE(C10,17)
1.000000
0.000000
UECE(C11,8)
1.000000
0.000000
JUECE(C12,2)
1.000000
0.000000
JUECE(C13,20)
1.000000
0.000000
其中,Ai代表A区的交巡警平台,i代表A区的节点标号。
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
C9
C10
C11
C12
C13
A12
A14
A16
21
22
23
24
28
29
30
38
48
62
5.2.3模型Ⅲ
由于A区交巡警服务平台设置和调度问题,导致出警时间和工作量不均衡的情况,拟定增加2-5个平台,据此设计出优化方案。
对于出警时间的要求我们同样把三分钟内到达作为限制条件,即用excel筛选出3km以内的交巡警平台管辖范围,即满足条件。
对于工作量的要求,我们采取考虑案发率与最短距离的乘积来确定,其值越小工作量越小,反之,工作量越大。
在该问题中,主要考虑工作量是否均衡和出警时间是否过长这两项指标来考虑是否应该在该区内增加服务平台,再结合节省警力的这一原则确定增加的平台数目。
在增加服务平台的时候将工作强度与出警时间的比例权重为1:
1。
下面,分别考虑两因素。
首先,利用工作强度来衡量工作量的均衡性,另外,出警时间等于事故发生地点到其被所管辖的交巡警平台的距离/警车速度。
有巡警平台所管辖范围内的路口到达平台的最短距离如下表:
交巡警平台所管辖范围内的最短距离表
交巡警平台
管辖路口
A1
67
68
69
71
74
75
16.1942
12.0711
5
11.4031
6.265
9.3
A2
40
43
44
70
72
19.144
8
9.4868
8.6023
16
A3
54
55
65
66
22.709
12.659
15.24
18.4023
A4
57
60
62
63
64
18.682
17.372
3.5
10.308
19.3634
A5
49
50
51
52
53
56
5
8.4865
12.2944
16.5956
11.7082
20
A6
58
59
23.8412
16.031
A7
30
32
47
48
61
5.831
11.402
12.806
12.9021
41.9021
A8
33
34
37
46
8.2756
15.842
55.1906
9.3005
A9
31
35
36
45
20.5569
4.2426
9.2426
10.9508
A11
26
27
9
16.433
A12
25
17.889
A13
21
22
23
24
23.028
5
5
23.854
A15
28
29
47.518
57.0048
A16
38
39
34.059
37.059
A17
41
42
92
8.5
9.8489
54.817
A18
73
81
82
83
90
19.723
6.7082
10.7935
5.3
19.52
A19
76
77
78
79
80
14.32
9.8489
11.18
4.4721
8.9442
A20
84
85
86
87
88
89
91
11.7522
4.4721
3.6056
14.6506
12.9464
9.5
15.98
从上表可以明显看出,地图上的距离在30mm以内的路口警车均可在三分钟之内到达。
依据以上标准,可以提出距离大于30mm的路口有:
28,19,37,38,39,61,92。
利用第一问已经解决的平台管辖范围的数据间(表一),再利用上表交巡警平台所管辖范围内的最短距离来求解各个平台的工作强度,其模型如下:
工作强度=交巡警平台所管辖范围内路口与其间的最短距离×案发率
利用上述模型简单计算可得到如下数据:
交巡警平台编号
所管辖范围
所管范围工作总强度
A1
1,67,68,69,71,72,74,75,76,78
56.19426
A2
2,40,43,44,70
77.12235
A3
3,54,55,65,66
58.48694
A4
4,60,62,63,64
61.22792
A5
5,49,50,51,52,53,56
61.51951
A6
6,57,58,59
40.65322
A7
7,30,47,48,61
93.0419
A8
8,32,33,34,37,46
55.1969
A9
9,31,35,36,45
64.32866
A10
10
0
A11
11,26,27
23.9464
A12
12,25
28.6224
A13
13,22,23,24
45.2394
A14
14,21
0
A15
15,28,29
141.58012
A16
16,38,39
92.7534
A17
17,41,42
69.54206
A18
18,73,81,82,83,92
61.35303
A19
19,77,79,80
43.30816
A20
20,84,85,86,87,88,89,90,91
77.61598
由上表可以看出,平台A7,A15,A16的工作强度都较大。
再结合上述距离大于30mm的路口可知,需要在28和29附近建立平台,又由于平台A5距离28相对29要近,所以选择在路口29建立一个平台。
平台A16距离路口38和39的强度都比较大,又因为路口38是出入城区的路口,所以该在路口38建立一个服务平台。
还考虑到对于路口61到任何一个平台都较远,又路口48是出入城区的路口,所以在路口48建立一个平台,其依据为在有突发事件发生时,封锁出口较近,另外路口48距离路口61较近。
因此,在48建立一个交巡警平台。
综上,需要在路口29,路口38,路口48各建立1交巡警平台,即是在A区建立3个服务平台。
5.2.4模型Ⅳ
针对全市六个区由于操作量过大,我们将其定义在一定的时间内(假设出警时间不宜超过三分钟)分区进行处理。
统筹考虑服务平台的原则和任务:
①总出勤量最小
②各区域到达出勤地点时间不可过长
在此基础上考虑交巡警平台的设置是否合理。
针对①,总出勤量最小即转化为服务平台到各个节点的发案率之和最低。
针对②在相等的时间内,各服务平台出警时间即等价于出警到达各节点的最短距离。
由此条件,建立目标函数如下:
目标函数:
Max=
s.t.
设交巡警服务平台到各个节点之间的距离
设交巡警服务平台到各个节点之间的发案率
利用matlab编程,得出结果如下:
表1B区求得数据
交巡警平台编号
总距离
总发案率
工作强度
B1
400.8698
21.7
8698.87466
B2
788.7395
41.8
32969.3111
B3
1554.807
83.1
129204.4617
B4
3089.709
165.4
511037.8686
B5
6159.771
330.1
2033340.407
B6
12302.08
659.4
8111991.552
B7
24586.97
1318.2
32410543.85
B8
49155.5
2635.6
129554235.8
、
表2C区求得数据
交巡警平台编号
总距离
总发案率
所管范围工作强度
C1
49.52498
4.8
237.719904
C2
119.7774
7.7
922.28598
C3
139.4653
8.6
1199.40158
C4
51.32404
3.7
189.898948
C5
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高教 全国大学生 数学 建模 竞赛