第十二讲 棋盘中的数学三.docx

第十二讲 棋盘中的数学三.docx

《第十二讲 棋盘中的数学三.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十二讲 棋盘中的数学三.docx（7页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第十二讲棋盘中的数学三

第十二讲棋盘中的数学（三）

——棋盘对弈的数学问题

　　我们看这样一个比输赢的问题．

　　例1在8×8的棋盘格中的某个格子里已放入一枚棋子“王”（如下图），甲、乙两人轮流移动“王”子，每次只能横向或竖向移动一格．凡“王”子已经占据过的格都不得再进入．谁先遇到无法移动“王”子时，谁就算输方．试证明，先走者存在必胜的策略．

　　分析“王”子已占一个格，还剩下8×8－1＝63个格，比如甲先走一个格，还剩下62个格．若能将62个格分成31对，每对都是相邻的两小格，这时该乙走，乙领先进入一格，甲就随之进入与其配对的格，这样就造成了甲必取胜的态势．因此，将64个格两两配对成为32个1×2的小矩形是解决本题的关键．

　　证明：

设甲为先走的一方，在甲的心目中如上图将64个方格两两配对分成32个1×2的小矩形，“王”子必在某个1×2的小矩形的一个格子中．甲先走，将“王”子走入这个1×2的小矩形的另一个格子中．这时还有31个1×2的小矩形，每个小矩形中都有两个小方格．这时该乙走，乙总是领先进入某个1×2小矩形的第一个格，甲就可以随之进入这个小矩形的第二个格．由于不能重复进入“王”已经进过的格子，所以乙总处于领先进入新的小矩形的第一格的地位，甲就总可随之进入这个小矩形的第二个格．最后必然乙先无法移动“王”子，乙输．甲必取胜．　　例2下图是一盘未下完的中国象棋残局，各子走法必须按中国象棋的规则办事，将对方憋死或无法走子时算取得胜利．如果轮到乙方走，问乙怎样走法才能取胜？

分析这是中国象棋残局，当然各子的走法必须按中国象棋的规则办事，将对方憋死（无法走子时）算取得胜利。

在上图中，双方的将（帅）均无法移动，双方的士（仕）也无法移动，底炮也不能在横线上移动（否则对方可将炮沉底打闷将）．底线兵（卒）只能横向移动．谁先移动底线兵（卒）打将，会造成对方将（帅）移出，从而出现移兵（卒）方自己必输的态势．因而只有底炮、中炮和边卒（兵）可以在纵线上移动，兵（卒）只能前移1步，中炮只能前移4步，底炮只能前移8步．现在的问题是：

乙先走，轮流走完这三对子的13步，问乙怎样走才能取胜？

解：

我们把乙的获胜策略及甲的各种走法列表于下（其中“甲1，乙1”分别表示“甲第一步走棋”与“乙第二步走棋”，其余类同；“中炮2，相炮3，卒1”分别表示“中路炮进2步”，“相位炮进3步”和“卒进1步”．其余类同；“结果”栏表明乙1，甲1，乙1之后的态势，其中的“距”以步为单位）：

　　其中，情形⑦～⑩显然为乙胜．情形①，②中，如甲2进炮几步，则乙3就将另一路炮进同样步数，…，这样，终将乙胜．情形③，④与⑤，⑥是类似的．以③为例，甲的各种走法及乙的策略见下表：

　　显然，各种情形中也是乙胜．

　　注意，若甲某次退炮几步，则乙接着将同一路炮进相同步数（这样，这两只炮之间的间隔没有改变）．

　　说明：

本题的深刻道理和规律在于自然数的二进制表示，将1步，4步，8步分别用二进制表示为1，100，1000．

　　当乙从8步中走了3步后，变为还有5步即1，100，101．

我们把这三个数写成竖式

　　　　　1

　　　　100

　　　　101

　　容易看出每一个数位上的数字之和都是偶数．（这里均勿进位）．无论甲怎样走，所走的那一行的步数（用二进制表示）至少有一个数位上的数字发生了变化，从而破坏了上面的规律，即不是每一个数位上的数字之和都是偶数了，比如说，甲在中路炮进一步，三路的步数变为：

　　　　　　1

　　　　　11

　　　　101

　　这时三个数位上的数字之和1＋1＋1，1＋0，1都不是偶数．

　　乙再接着走，他的办法是恢复上面的规律．这是能办到的．首先，他看一下数字和不是偶数的最高数位，三路步数二进制表示中至少有一路在这数位上的数字是1，然后，他就在这一路上走若干步，使得上述数位上的数字和为0，而较低数位上的数字为1或0以保证这些数位上的数字之和为偶数，其它数位上的数字不变．比如，对于上面的情形，乙应当在“相”位炮所在的路线上走3步，将三路步数变为：

　　　1

　　　11

　　　10

　　这样继续下去，步数逐渐减少，必有结束的时候，由于甲走后，不是每个数位上的数字之和都是偶数，所以甲不可能走到最后一步．走最后一步的是乙，所以乙必然取胜．

　　例3如下图是一个9×9棋盘，它有81个小正方形的格子，在右上角顶的格子里标有“▲”的符号代表山顶．A、B两人这样来游戏：

由A把一位“皇后”（以一枚棋子代表）放在棋盘的最下面一行或最左边一列的某个格子里（即放在右图中阴影区域的一个格子里），然后由B开始，两人对奕：

“皇后”只能向上，向右或向右上方斜着走，每次走的格数不限，但不得倒退，也不得停步不前；谁把“皇后”走进标有“▲”的那格就得胜．

　　显然，双方对弈下去决不会出现“和棋”，在有限个回合后，必有一胜一负，试分析B必取胜的策略．

　　这个游戏我们不妨称之为“皇后登山”问题．

　　分析我们采用倒推分析的方法．如果A把皇后走进下图中带阴影的格子，则B就可一步把皇后走到山顶而获胜．因此任何一方都应该避免把皇后走进右图中的阴影地区，而都应该迫使对方不得不把皇后走至带阴影的格子里去，这是取胜的总的指导思想．

　　那么B应把皇后走到哪些格子中才能迫使对方不得不把皇后走进上图中带阴影的格子里去呢？

从上图中可看出，这样的格子只有两个：

有标号①和②的格子．由此可知，如果谁抢占了①或②，只要走法不再失误，就必会得胜．因此，我们形象地称①、②两格为“制高点”。

　　那么为占①或②，如下图，如果A把皇后走进有★的方格里，则B就能占领①或②，从而获胜，而B又怎样迫使A不得不把皇后走进有★的或有阴影的方格呢？

同样的分析可知，只要B能占领第二对制高点③或④即可。

　　继续运用上述分析方法，还可以得到下一组制高点⑤和⑥．

　　这时，不论A开始把皇后放在最左一列与最下面一行的哪个格子中，B第一步都可以抢到一个制高点，或者第一步就直接达到▲，只要走法得当，必能稳操胜券的．

　　说明：

1．如果我们给出的是8×8的国际象棋盘，玩“皇后登山”游戏，A开始把皇后放在最左列或最下行的哪个格时，A必胜？

这时我们看到，对8×8棋盘，制高点⑤在最左列上，制高点⑥在最下列上，所以A开始把皇后放于⑤或⑥，则A必胜，放在其它格时，B可抢到制高点，则B必胜．

　　2．如果在普通的围棋盘上，（共有18×18＝324个格）玩“皇后登山”游戏．B取胜的制高点都是哪些？

请读者自己找出来．可以告诉大家，一共有六对，计12个制高点．

　　例4在8×8的国际象棋盘中（如下页图）有三枚棋子，两个人轮流移动棋子，每一次可将一枚棋子移动任意多格（允许两枚或三枚棋子在同一格），但只能按箭头所表示的方向移动．在所有棋子都移到A点时，游戏结束，并且走最后一步的算赢，问哪一个人能够获胜？

　　解：

由三枚棋子到A的格数分别要走59步，50步和30步，这样就与例2在三条路线上走步本质上一样的，我们不妨把59，50，30这三个数写成2进制．

　　59＝（111011）2，50＝（110010）2，30＝（11110）2

　　排在一起：

　　111011

　　110010

　　11110

　　第一个人应当将第一行的111011改为101100，也就是减少11ll，这样就使各个数位上的数字和为偶数．这时无论第二个人如何走都将破坏这个特性，第一个人接着可以采取使各个数位上的数字和为偶数的方法，稳步地走向胜利．

　　这就是说，第一个人应当将最外面的棋子移动15步（即（1111）2＝1×23＋1×22＋1×2＋1＝15），即可按例2的规则稳步取胜。

习题十二

　　1．如下页图是一个3×101的棋盘，甲每次可走一个黑子，乙每次可走一个白子．每枚棋子只能在它所在的行沿固定方向移动，走步数不限，但不能越过对方棋子，谁不能走子谁算输．若甲先走，请指出甲必取胜的着法．

　　2．对8×8的棋盘，讨论“皇后登山”问题．

　　3．在普通围棋盘上（共18×18＝324个格）讨论“皇后登山”游戏．

　　4．图a是一个彩色激光棋盘，上面有红（打×）黄（空白格），蓝（斜线格）三种颜色的方格．游戏人可以随意地通过按电钮将某一行或某一列的小方格同时改变颜色，红变黄，黄变蓝，蓝变红，如果按不多于10次电钮将图a变为图b，便可得奖．问游戏人能否得奖？

　　5．由甲在2×19的棋盘格上任放两个皇后Q1与Q2（如图）于两行中，然后乙开始先走棋：

如果走一个皇后，则可把任一皇后向右（向E方向）走任意多少格；如果同时走两个皇后，则必须向右同时走相同的格数，不得不走棋，也不可倒走；这样轮流走棋，谁使得另一方无棋可走时即获胜，试讨论乙取胜的策略。