产销问题.docx
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产销问题
产销问题
摘要:
本文主要针对渭南市一家手工产品企业中各方面因素对利润和成本的影响进行了综合分析。
在生产中,产品的成品有多方面因素:
材料成本、库存成本、缺货损失、外包费用以及员工工等等。
而在该产品当月的需求不能满足需求时,顾客愿意等待,该需求可在后续木月满足,但需要对产品的价格进行打折,因此需要考虑缺货损失。
同时,由于个月的需求不同,需要的工人数量也随之变化,还需考虑工人的培训费用、加班费用以及解聘费用等。
由于该产品的销售价格不变,产品需求也大概是一个定值,所以成本最低时利润最大,故此题就是求最小值问题。
由分析可知,此题属于多元函数的条件极值问题,目标函数就是成本最小,而约束条件则是各种成本因素,利用线性规划可以解答此题。
利用LINGO进行求解。
第一问不促销时最小成本为998090元,获得的利润为1276910元。
第二问七月促销时最小成本为997574元,获得利润为1249886,十一月促销是最小成本为998160元,获得利润为1243040元。
通过计算可以看出,利润最大化考虑,不促销方案还是是最优产销方案。
关键词:
成本最小数学规划LINGO软件
一.
问题的提出
产销问题
渭南市某企业生产一种手工产品,在现有的营销策略下,根据往年经验,现对下半年6个月的产品需求预测如表1所示。
表1.产品需求预测估计值(件)
月份
7月
8月
9月
10月
11月
12月
预计需求量
1200
1400
1550
1500
1600
1500
7月初工人数为12人,工人每月工作21天,每天工作8小时,按规定,工人每个月加班时间不得超过10个小时。
7月初的库存量为400台。
产品的销售价格为260元/件。
该产品的销售特点是,如果当月的需求不能得到满足,顾客愿意等待该需求在后续的某个月内得到满足,但公司需要对产品的价格进行打折,可以用缺货损失来表示。
12月末的库存为0(不允许缺货)。
各种成本费用如表2所示。
表2.产品各项成本费用
原材料成本
库存成本
缺货损失
外包成本
培训费用
100元/件
10元/件/月
20元/件/月
200元/件
50元/人
解聘费用
产品加工时间
工人正常工资
工人加班工资
100元/人
1.6小时/件
12元/小时/人
18元/小时/人
(1)若你是公司决策人员,请建立数学模型并制定出一个成本最低、利润最大的最优产销方案;
(2)公司销售部门预测:
在计划期内的某个月进行降价促销,当产品价格下降为240元/件时,则接下来的两个月中6%的需求会提前到促销月发生。
试就7月份(淡季)促销和11月份(旺季)促销两种方案以及不促销最优方案
(1)进行对比分析,进而选取最优的产销规划方案。
二、问题的分析
这个优化问题的目标是使成本最低,成本包括:
付给工人的日常工资、加班费用、产品外包费用、雇佣新工人的培训费用、解雇工人费用、产品的原材料费用、库存费用、缺货费用等,并且这些成本均为线性函数。
而约束条件为:
聘用和解雇人员的限制,生产能力的限制,库存的限制,加班的限制,需求限制等。
于是建立规划模型,可以利用LINGO软件进行求解。
根据问题一的思想方法,就可求解问题二中七月和十一月促销的最小成本和最大利润。
三、基本假设
1.预测各月的产品需求均为定值,且为每月的销售量;
2.该产品的价格在这6个月内不会发生变动;
3.不考虑工人生病等特殊情况对生产的影响;
4.新雇佣的工人当月正常工作,解雇的工人当月就不用上班。
四、符号说明
:
:
月份的人力规模,
:
月初被雇佣的员工数,
:
月初被解雇的员工数,
:
t月份产品需求量,
:
t月份工人生产的产品数量,
:
t月份末的存货量,
:
t月份的缺货量,
:
t月份的外包产品数量,
:
t月份的加班时费,
五、模型的建立与求解
⑴不促销时最优产销消费方案求解:
由问题分析得,此题应建立线性规划模型,并利用LINGO软件求解。
由题目的已知条件可知:
每个工人一个月在非加班时间内生产的产品数量:
21×8÷1.6=105
每个工人一个月在非加班时间内需付的工资:
21×8×12=2016
聘用和解雇人员之间的关系:
,
,
生产能力的限制:
库存限制:
加班时间限制:
需求限制:
从而建立如下线性规划模型:
约束条件:
,
,
将上面的式子转化为符合LINGO规划的式子,输入到LINGO软件,进行求解(求解过程见附录),得到该公司的总生产计划如下所示:
月
份
人力规模
雇佣工人
解雇工人
加班时间
库存数量
缺货数量
外包数量
生产数量
6
12
0
0
0
400
0
0
0
7
8
0
4
0
4
0
0
804
8
13
5
0
50
0
0
0
1396
9
15
2
0
0
0
0
0
1500
10
14
0
1
50
1
0
0
1501
11
15
1
0
39
0
0
0
1599
12
14
0
1
48
0
0
0
1500
总成本为998090元。
而产品销售价格为260元∕件,则计划期间的销售收入为:
计划期间的利润为
元。
⑵依题意,两种促销方案的预计产品需求量为:
月份
7
8
9
10
11
12
预计需求量
1377
1316
1457
1500
1600
1500
预计需求量
1200
1400
1550
1500
1690
1410
利用⑴题给出的成本最小规划模型,将相关参数值代入该模型求解(求解过程见附录),得到7月份促销方案和销售结果:
月
份
人力规模
雇佣工人
解雇工人
加班时间
库存数量
缺货数量
外包数量
生产数量
6
12
0
0
0
400
0
0
0
7
9
0
3
56
3
0
0
980
8
12
3
0
85
0
0
0
1313
9
14
2
0
0
0
0
0
1457
10
14
0
0
48
0
0
0
1500
11
15
1
0
40
0
0
0
1600
12
14
0
1
48
0
0
0
1500
总成本为997574元。
而产品促销价格为240元∕件,其余月份销售价格为260元/件,则计划期间的销售收入为:
计划期间的利润为
元。
利用⑴题给出的成本最小规划模型,将相关参数值代入该模型求解(求解过程见附录),得到7月份促销方案和销售结果:
月
份
人力规模
雇佣工人
解雇工人
加班时间
库存数量
缺货数量
外包数量
生产数量
6
12
0
0
0
400
0
0
0
7
8
0
4
0
4
0
0
804
8
13
5
0
50
0
0
0
1396
9
15
2
0
0
0
0
0
1550
10
14
0
1
50
1
0
0
1501
11
16
2
0
15
0
0
0
1689
12
13
0
3
72
0
0
0
1410
总成本为998160元。
而产品促销价格为240元∕件,其余月份销售价格为260元/件,则计划期间的销售收入为:
计划期间的利润为
元。
从计算的结果可以看出,降价促销会引起总收入的减少,但促销带来的增长会使需求量发生变化,在淡季促销时会引起总成本下降,在旺季促销时会引起总成本上升。
对厂家而言,为追求利润的最大化,从预算的结果来看,不促销时厂家获得的利润最大,所以不促销方案还是最优产销方案。
六、模型的改进与评价
本题的模型求解具有普遍的实用性,适合一些小型生产企业的产销。
本题的规划模型简单,利用LINGO软件求解简练直观、方便。
可以方便的帮助策划商确立最佳的产销方案,从而获得更大的利润。
但本模型还存在一定的缺陷,这样确定的变量只能取整数,但在实际生产过程中一个产品的生产过程可以化整为零。
还有本题产品的价格为260元/件,但实际销售中价格会因为种种原因而有所变动,不是一成不变的,故要直接应用到生产中还是要经过更加精确的估算。
七、参考文献
1.姜启源,谢金星,叶俊,数学模型,高等教育出版社2008
2.2009年福州市各个院校数学建模竞赛题
八、附件
⑴.不促销时的最小成本计算程序及结果如下:
min=2016*W1+2016*W2+2016*W3+2016*W4+2016*W5+2016*W6+18*Q1+18*Q2+18*Q3+18*Q4+18*Q5+18*Q6+50*H1+50*H2+50*H3+50*H4+50*H5+50*H6+100*T1+100*T2+100*T3+100*T4+100*T5+100*T6+10*k1+10*K2+10*K3+10*K4+10*K5+10*K6+20*S1+20*S2+20*S3+20*S4+20*S5+20*S6+100*P1+100*P2+100*P3+100*P4+100*P5+100*P6+200*C1+200*C2+200*C3+200*C4+200*C5+200*C6;
W1-H1+K1=12;
W2-H2+K2-W1=0;
W3-H3+k3-W2=0;
W4-H4+K4-W3=0;
W5-H5+K5-W4=0;
W6-H6+K6-W5=0;
105*W1+Q1/1.6-P1>=0;
105*W2+Q2/1.6-P2>=0;
105*W3+Q3/1.6-P3>=0;
105*W4+Q4/1.6-P4>=0;
105*W5+Q5/1.6-P5>=0;
105*W6+Q6/1.6-P6>=0;
400+P1+C1-D1-K1+S1=0;
K1+P2+C2-S1-D2-K2-S2=0;
K2+P3+C3-S2-D3-K3-S3=0;
K3+P4+C4-S3-D4-K4-S4=0;
K4+P5+C5-S4-D5-K5-S5=0;
K5+P6+C6-S5-D6=0;
10*W1-Q1>=0;
10*W2-Q2>=0;
10*W3-Q3>=0;
10*W4-Q4>=0;
10*W5-Q5>=0;
10*W6-Q6>=0;
D1=1200;
D2=1400;
D3=1550;
D4=1500;
D5=1600;
D6=1500;
@gin(W1);@gin(W2);@gin(W3);@gin(W4);@gin(W5);@gin(W6);@gin(Q1);
@gin(Q2);@gin(Q3);@gin(Q4);@gin(Q5);@gin(Q6);@gin(H1);@gin(H2);
@gin(H3);@gin(H4);@gin(H5);@gin(H6);@gin(T1);@gin(T2);@gin(T3);
@gin(T4);@gin(T5);@gin(T6);
end
Globaloptimalsolutionfoundatiteration:
62153
Objectivevalue:
998090.0
VariableValueReducedCost
W18.0000002006.000
W213.000002016.000
W315.000002026.000
W414.000002006.000
W515.000002026.000
W614.000002006.000
Q10.00000018.00000
Q250.0000018.00000
Q30.00000018.00000
Q450.0000018.00000
Q539.0000018.00000
Q648.0000018.00000
H10.00000060.00000
H25.00000050.00000
H32.00000050.00000
H40.00000060.00000
H51.00000050.00000
H60.00000060.00000
T10.000000100.0000
T20.000000100.0000
T30.000000100.0000
T40.000000100.0000
T50.000000100.0000
T60.000000100.0000
K14.0000000.000000
K20.00000010.00000
K30.00000010.00000
K41.0000000.000000
K50.00000010.00000
K61.0000000.000000
S10.00000020.00000
S20.000000220.0000
S30.000000220.0000
S40.000000220.0000
S50.000000220.0000
S60.00000020.00000
P1804.00000.000000
P21396.0000.000000
P31550.0000.000000
P41501.0000.000000
P51599.0000.000000
P61500.0000.000000
C10.000000100.0000
C20.000000100.0000
C30.000000100.0000
C40.000000100.0000
C50.000000100.0000
C60.000000100.0000
D11200.0000.000000
D21400.0000.000000
D31550.0000.000000
D41500.0000.000000
D51600.0000.000000
D61500.0000.000000
⑵.7月促销时的最小成本计算程序及结果如下:
min=2016*W1+2016*W2+2016*W3+2016*W4+2016*W5+2016*W6+18*Q1+18*Q2+18*Q3+18*Q4+18*Q5+18*Q6+50*H1+50*H2+50*H3+50*H4+50*H5+50*H6+100*T1+100*T2+100*T3+100*T4+100*T5+100*T6+10*k1+10*K2+10*K3+10*K4+10*K5+10*K6+20*S1+20*S2+20*S3+20*S4+20*S5+20*S6+100*P1+100*P2+100*P3+100*P4+100*P5+100*P6+200*C1+200*C2+200*C3+200*C4+200*C5+200*C6;
W1-H1+K1=12;
W2-H2+K2-W1=0;
W3-H3+k3-W2=0;
W4-H4+K4-W3=0;
W5-H5+K5-W4=0;
W6-H6+K6-W5=0;
105*W1+Q1/1.6-P1>=0;
105*W2+Q2/1.6-P2>=0;
105*W3+Q3/1.6-P3>=0;
105*W4+Q4/1.6-P4>=0;
105*W5+Q5/1.6-P5>=0;
105*W6+Q6/1.6-P6>=0;
400+P1+C1-D1-K1+S1=0;
K1+P2+C2-S1-D2-K2-S2=0;
K2+P3+C3-S2-D3-K3-S3=0;
K3+P4+C4-S3-D4-K4-S4=0;
K4+P5+C5-S4-D5-K5-S5=0;
K5+P6+C6-S5-D6=0;
10*W1-Q1>=0;
10*W2-Q2>=0;
10*W3-Q3>=0;
10*W4-Q4>=0;
10*W5-Q5>=0;
10*W6-Q6>=0;
D1=1377;
D2=1316;
D3=1457;
D4=1500;
D5=1600;
D6=1500;
@gin(W1);@gin(W2);@gin(W3);@gin(W4);@gin(W5);@gin(W6);@gin(Q1);
@gin(Q2);@gin(Q3);@gin(Q4);@gin(Q5);@gin(Q6);@gin(H1);@gin(H2);
@gin(H3);@gin(H4);@gin(H5);@gin(H6);@gin(T1);@gin(T2);@gin(T3);
@gin(T4);@gin(T5);@gin(T6);
end
Globaloptimalsolutionfoundatiteration:
16209
Objectivevalue:
997574.0
VariableValueReducedCost
W19.0000002006.000
W212.000002016.000
W314.000002016.000
W414.000002016.000
W515.000002026.000
W614.000002006.000
Q156.0000018.00000
Q285.0000018.00000
Q30.00000018.00000
Q448.0000018.00000
Q540.0000018.00000
Q648.0000018.00000
H10.00000060.00000
H23.00000050.00000
H32.00000050.00000
H40.00000050.00000
H51.00000050.00000
H60.00000060.00000
T10.000000100.0000
T20.000000100.0000
T30.000000100.0000
T40.000000100.0000
T50.000000100.0000
T60.000000100.0000
K13.0000000.000000
K20.00000010.00000
K30.00000010.00000
K40.00000010.00000
K50.00000010.00000
K61.0000000.000000
S10.00000020.00000
S20.000000220.0000
S30.000000220.0000
S40.000000220.0000
S50.000000220.0000
S60.00000020.00000
P1980.00000.000000
P21313.0000.000000
P31457.0000.000000
P41500.0000.000000
P51600.0000.000000
P61500.0000.000000
C10.000000100.0000
C20.000000100.0000
C30.000000100.0000
C40.000000100.0000
C50.000000100.0000
C60.000000100.0000
D11377.0000.000000
D21316.0000.000000
D31457.0000.000000
D41500.0000.000000
D51600.0000.000000
D61500.0000.000000
⑶.11月促销时的最小成本计算程序及结果如下:
min=2016*W1+2016*W2+2016*W3+2016*W4+2016*W5+2016*W6+18*Q1+18*Q2+18*Q3+18*Q4+18*Q5+18*Q6+50*H1+50*H2+50*H3+50*H4+50*H5+50*H6+100*T1+100*T2+100*T3+100*T4+100*T5+100*T6+10*k1+10*K2+10*K3+10*K4+10*K5+10*K6+20*S1+20*S2+20*S3+20*S4+20*S5+20*S6+100*P1+100*P2+100*P3+100*P4+100*P5+100*P6+200*C1+200*C2+200*C3+200*C4+200*C5+200*C6;
W1-H1+K1=12;
W2-H2+K2-W1=0;
W3-H3+k3-W2=0;
W4-H4+K4-W3=0;
W5-H5+K5-W4=0;
W6-H6+K6-W5=0;
105*W1+Q1/1.6-P1>=0;
105*W2+Q2/1.6-P2>=0;
105*W3+Q3/1.6-P3>=0;
105*W4+Q4/1.6-P4>=0;
105*W5+Q5/1.6-P5>=0;
105*W6+Q6/1.6-P6>=0;
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