常微分方程读书报告.docx

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常微分方程读书报告

读书报告

—读haroldlevine《偏微分方程》

微分方程不经在纯粹数学而且在应用数学中都起到了中心作用，对它的研究已经提供了具有重大理论和实践价值的结果。

这些方程，例如以直接的方式表示了newton的动力学运动基本定律，并且使得对行星运动的第一次定量描述成为可能。

随后，陈述有关流体和带电粒子的运动、热和质量的传递、地震和大气的运动以及无数物理、化学、工程现象的基本定律的微分方程的建立和得到认同显示了微分方程的崇高地位。

科学各领域的研究的开创阶段往往是比较短的，把所考虑问题的描述性变量联系起来用一个或者多个微分方程的详细描述是这个阶段的特色；而在随后时间要更长一点的发展阶段，中心问题是对上述方程求解。

为了从原来的微分方程已有的无穷多个解当中挑选出一个特定解，就需要补充的方程或条件；为确保整个方程组有唯一解，充分考虑这些条件就成为必要的了。

通过引进新的概念，以适定问题为特征的求解方程组的巨大进步来临了，从此这个新概念被认为是数学推理发展中的一个里程碑。

其中值得注意的是两位新道路的开拓者，fourier和heaviside所依靠的是猜测性推理，他们把为他们的建议提供坚实数学基础的必要工作留给其他人去做。

借助于微分方程的公式化表述而得到满意解决的方程的数量以及大量可以应用的理论都在稳定的增长。

这本书主要涉及比较简单的线性方程，同时伴有由于通常需要求得满足事先规定的条件的解而引起的复杂性；它是在经典框架内的直接方法以及相关理论的广泛地概述。

第一章为偏微分法，主要讲了偏导数概念，全微分或由自变量的无穷小改变所产生的相关函数的改变。

变量变换，函数关于原来的自变量和变换后的自变量的偏导数之间的关系。

自变量的变换导致的偏微分方程的转换以及复合函数微分法。

第二章为偏微分方程的解及其具体确定，主要讲了通过指定数据来确定两个自变量的线性偏微分方程的特解。

沿一条平面曲线给出函数值的一阶方程的解，沿一条平面曲线分别给出函数值及其法向导数值的二阶方程的解。

特征线和二阶

偏微分方程的标准形式。

关于特征线上的数据的特性。

第三章为偏微分方程和有关的任意函数，偏微分方程的解中任意函数的出现，从自变量和因变量的显式或隐式关系式中削去任意函数后导出的偏微分方程。

描述旋转曲面的偏微分方程。

含有任意函数的偏微分方程确定了一族平行曲面或平面曲线，以及完全积分。

第四章为偏微分方程的特解，主要讲了由多个函数的乘积构成的解，每个函数是一元函数且是常微分方程的解。

含有分离常数或参变量的解，偏微分方程和具有物理性质的连续模型或宏观模型之间的联系。

形式不变性和坐标变换，laplace微分算子和空间对称性。

第五章为相似解，主要讲了根据自变量的无量纲组合构造的解，保持偏微分方程形式不变的特殊的自变量，因变量的构造性作用。

适当的变量替换后偏微分方程转换为常微分方程。

变换群以及与流体流过平板相关的相似解。

第六章为适定问题，主要讲了确定解的连续依赖性作为提得正确的问题的一条准则。

不适定问题的例子。

第七章为一阶线性偏微分方程的一些预备知识。

主要讲了一般的两个自变量的一阶线性偏微分方程与沿特征平面曲线或迹线的一阶常微分方程的等价性。

在确定解的存在区域时迹线的作用。

在迹线的两侧有不同的表示式的复合解及其导数在迹线处的不连续性。

能够消去偏微分方程中一项偏导数的与迹线族有关的自变量变换。

第八章为两个自变量的一阶线性偏微分方程，主要讲了用三维曲面对解作几何描述。

解曲面的线元和切平面，用一组带参变量的常微分方程来确定空间特征曲线。

为比较求解步骤的说明性例子，初值问题：

包含一条空间曲线的解曲面的选取，特征曲线和指定数据的曲线的参变量表示的结合使用。

非齐次偏微分方程的一个例子，描述特征曲线的带有一个参变量的三个常微分的一般特性。

第九章为一阶非线性偏微分方程，主要讲了单向车流模型中提出的拟线性方程与单向波运动的线性方程相对照，并利用特征常微分方程以及初始条件来分析一个特例。

解对初始数据的敏感依赖性，相交迹线和迹线的包络。

非均匀解的性态，通过在其上指定数据的空间曲线的拟线性偏微分方程的积分曲面。

借助于乘子的积分法，积分曲面与切平面，偏微分方程的隐式解和通解。

第十章为某些技术问题和有关的偏微分方程。

主要讲了守恒型关系以及在假设了模型的

互相关系的描述性度量间的函数依赖性关系之后转换为偏微分方程。

对于可变波长和频率的波串的详细阐述。

群速度和能量密度的确定，基于守恒关系和吸附剂与溶质间相互作用的速率定律的色谱模型的分析。

第十一章为两个自变量的一阶偏微分方程，一般理论。

主要讲了三维解曲面的几何：

在任何一点处偏微分方程的积分平面元及其锥包络。

曲面带或平面元素，积分特征带，积分曲面上的特征曲线的五个参数微分方程。

cauchy问题：

确定过一条预先选定的空间曲线的积分曲面。

第十二章为多个自变量的一阶偏微分方程，主要讲了特征曲线的多参数常微分方程组，描述偏微分方程解的该微分方程组的积分，非齐次拟线性偏微分方程，euler方程及其解。

第十三章为边值问题的fourier方法来源详述，主要讲了fourier对带有辅助条件的二阶偏微分方程的划时代的研究工作，他的书中有关由两条平行线以及与他们垂直的一段直线所围得半无限平面区域上laplace方程解的细节，其中在两条平行线上取值为零，而在垂直线段上取值为1；解释为平板中的定长温分布。

包含在两条平行边界线上取值为零且确保其正常局部形态的特殊三角函数组成的分离变量级数解的形式。

把一个常数与一个三角级数及其系数的确定联系起来。

验证是解，关于fourier分析的意义及其技术缺陷的评注。

第十四章为本征函数与本征值，主要讲了本征函数是由一个常微分方程和一对分开的边界或端点条件组成的齐次方程组的非平凡解；本征值是使得该齐次方程组存在非平凡解的特殊的参数值，与偏微分方程边值问题的联系，由不同的边界条件区分的热传递或热扩散线性偏微分方程的特殊例子。

本征函数的积分性质，即两个不同的本征函数之积在边界点之间的区间上的积分为零。

由给定的初始条件确定的本征函数展开，由本征函数基的积分性质来决定这种展开中的系数，既有正本征值又有负本征值的可能性及其解释，本征函数的图形。

第十五章为本征函数与本征值续，主要讲了周期边界条件和具有共同本征值的相性无关本征函数的存在性。

包含不同本征函数集的级数中系数的确定，带有依赖于参数的边界条件的修正扩散偏微分方程，本征值对参数的依赖性及其物理解释。

第十六章为非正交本征函数，主要讲了本征函数集中不同本征函数的乘积的不为零的例子：

新的特点，分别包括关于自变量的一阶偏导数的边界条件，确定基于这种本征函数展开中单个系数的方法。

第十七章为fourier分析中的进一步例子，主要讲了边值给定的情况下圆域内laplace方程的解，要求所建立的本征函数基具有单值性和正则性的条件下应用极坐标，

本征函数级数的求和以及把解表为单个的定积分的形式，一对耦合的一阶偏微分方程边值问题的分析。

第十八章为非齐次问题，主要讲了具有一个系数参数以及在两个不同点处的一对边界条件的一个常微分方程；解表为相应的其次问题的本征函数或非平凡解的级数，验证它是解，由扩散偏微分方程、两个非齐次边界条件和一个初始条件组成的方程的解，分两部分来求这个解，其一显然要满足非齐次边界条件，而另一部分则由直接应用fourier分析得到。

一个例子：

非齐次偏微分方程有一个特解，从而便于构造该方程的完全解。

用相关的本征函数的展开式来直接求解微分方程和边界条件都是非齐次方程的解。

从各常微分方程以及初始条件得到展开式中的系数函数，有关解的渐近行为的详细说明的例子和注解。

第十九章为局部热源，主要讲了用处处连续但又有不连续的一阶导数的温度分布来描述局部热源，该不连续的一阶导数蕴含着热流量从源点消散，定常源两边的温度的本征函数展开，由一族常微分方程导出的解的渐进式以及相容性检验，位于闭圆环中的一般时变热源和瞬时作用热源。

第二十章为一种非均一结构的问题，主要讲了由两段组成的复合杆中的一维扩散，在两段的热参数不同，在各自段中偏微分方程的适当解并要求解在接触点处一致，本征函数及其在确保满足初始条件中的作用。

第二十一章为其他的本征函数，主要讲了弹性波偏微分方程以及在特殊边界条件下出现的复本征值，具有混合偏导数项的修正二阶波动方程，以及复值本征函数，利用本征函数级数来满足一切初始条件，四阶偏微分方程的本征函数和本征值。

第二十二章为解的唯一性，主要讲了给定一个初始条件和一对边界条件后齐次扩散偏微分方程解的唯一性的解析证明，有自变量的两对值所确定的平面矩形区域上扩散方程连续解的最大值原理。

利用区域上的积分和曲线积分结合微分恒等式得到扩散和波动偏微分方程解的性质。

第二十三章为解的替代表示，主要讲了具有唯一解的适定问题的不同表示形式是可能的，对包含扩散偏微分方程的方程组在时间的大小值处各自的级数解是快速收敛的证明，因此具有互补作用。

这本书中讨论了大量的例子，而且有许多有价值的数值方法，近年来我们亲眼目睹了迄今还是难以完全解决的微分方程，即非线性微分方程研究中取得的惊人进步，这反映了对理论分析和数值分析两者精巧的应用。

篇二：

偏微分方程的读书报告

读书报告

——————读王明新《非线性椭圆型方程》

此书系统地介绍了二阶线性椭圆算子的特征值理论，半线性椭圆型方程和方程组的上下解方法及其应用，拓扑度理论和分支理论及其应用，方程组的解耦方法，nehari流形方法及其应用，p-laplace算子的特征值理论和p-laplace方程（组）的上下解方法及其应用。

本书选题先讲，内容新颖丰富，大部分内容取自同行近几年发表的论文（最新的内容是2009年发表的）。

由于我是入学后才读此书，我只读了其中的部分内容，这里我只对前六章的内容写个读书笔记。

书中罗列了同行近几年发表的论文，对读者来说，有难度，同样也是训练读者查参考文献的能力。

此书的第一章内容是介绍后面要用到的相关的预备知识。

第一节，书上对于banach空间，引入了fr′echet导数和g?

ateaux导数（以下简称为f导数和g导数）。

定义（f导数）称f在点x0?

?

处是f可微的，如果存在有界线性算子a?

l?

x,y?

，使得

f（x0?

u）?

f?

x0?

?

au?

0?

r?

当u?

r?

0时.

算子a成为f在x0处的f导数.

定义（g导数）设f:

?

?

x?

y,x0?

?

..对任意的h?

x,当t适当小时都有

x0?

th?

?

，并且极限

lim

t?

0

f?

x0?

th?

?

f?

x0?

t

f导?

?

?

?

?

g导.g导连续

由定义我们可以看出，f导比g导难求。

利用这个关系，在求算子的f导数的时候，我们可

以转化为求g导，然后只需证明求得的g导是连续的，利用上面的关系，就知道，我们所求得的g导就是f导，这样，我们就把复杂的难于求的f导转化为易求的g导。

而本书中后面多次提到了求f导数。

第二节介绍了无条件局部极值的定义、存在性和必要性。

这一节的内容类似与微积分中学过的一元或是二元函数的局部极值的定义和费马定理，学习的时候结合内容记忆起来方便。

第三节介绍了在拟线性方程的边值的非负非平凡解的存在性方面的一个

应用，前面讲到的知识在例子中多次被用到。

第二章主要介绍二阶线性椭圆算子的特征值问题。

我以前读过叶其孝编写的《反应扩散方程》中有介绍二阶线性椭圆的特征值问题，内容较少，篇幅不多，而这本书中较大篇幅的介绍了二阶线性椭圆的特征值问题，并且内容也比较丰富，可以说是这方面内容的经典汇总。

然而，对于二阶线性椭圆的特征值问题，到目前为止，只是第一特征值的研究比较全面，至于第二特征值以及再高的特征值的研究很贫乏，这方面可作的东西非常多，也可以说是对我们读者来说的一个指引作用。

书中先介绍了一般形式的二阶线性椭圆算子的特征值问题：

nn

?

?

lu?

?

?

aij?

x?

diju?

?

bi?

x?

diu?

c?

x?

u?

?

u,x?

?

i,j?

1i?

1?

?

bu?

0,x?

?

?

?

这里的bu?

0指的是dirichlet边值条件、neumann边值条件和robin边值条件。

假设（a）l是一致椭圆的；

（b）aij?

x?

bi?

x?

c?

x?

?

c?

.

由于此类算子的特征值结构非常复杂，书中介绍的主要是主特征值的内容，相关的结论是：

上述的特征值问题有唯一的主特征值，与它对应的特征函数在?

内是正的或者负的；其余的非主特征值对应的特征函数如果是实函数，那么它一定在?

内改变符号；并且特征值的个数是可数个：

?

1,?

2.?

.?

n,?

。

还有几个重要的结论：

1.假设c?

x?

?

0，?

1是特征值问题

?

?

?

?

u?

c?

x?

u?

?

u,x?

?

?

?

u?

a?

x?

?

b?

x?

u?

0,x?

?

?

?

?

?

?

的主特征值，并且还是实的和简单的，其中

（ⅰ）a?

x?

?

0,b?

x?

?

0,或者（ⅱ）a?

x?

?

1,b?

x?

?

0.

如果c?

x?

?

0或者b?

x?

?

0，则?

1?

0.如果c?

x?

?

b?

x?

?

0，则?

1?

0.2.设q?

c?

，k是一个常数。

如果存在正函数?

，使得

?

?

?

?

?

?

q?

x?

?

?

?

?

?

ku,x?

?

?

?

?

?

0,x?

?

?

则?

1?

q?

?

?

?

?

k.进一步，如果上式不是恒等式，则?

1?

q?

?

?

?

?

k.

其次是考虑的散度型的二阶线性椭圆算子的特征值问题：

n

?

?

lu?

?

?

dj（aij?

x?

diu）?

q?

x?

u?

?

u,x?

?

i,j?

1?

?

bu?

0,x?

?

?

?

假设

（a）l是一致椭圆的；

（b）aij?

x?

?

c1?

q?

x?

?

c?

b?

x?

?

c?

?

?

?

.

由于此算子是对称算子，故它的特征值的具有非常清晰的结构。

相关的结论有：

（1）特征值全是实数；

（2）不同的特征值所对应的特征函数是正交的；（3）特征值的极小原理和极大-极小原理；（4）特征值是无界的，即lim?

k?

?

；

k?

?

?

?

（5）特征函数系是l2?

?

?

中的一个完备正交系；

（6）特征值的变化（特征值关于q（x）是单调增加的，dirichlet边值问题的特征值关于区域是单调减少的）；

（7）特征值连续依赖于系数aij?

x?

q?

x?

b?

x?

；（8）若q（x）?

c?

，k为常数，?

m?

q?

是问题

?

?

?

?

u?

q?

x?

u?

?

u,x?

?

?

u?

0,x?

?

?

?

的第m个特征值，则?

m?

q?

k?

?

?

m?

q?

?

k；

（9）非完全耦合的二阶线性椭圆方程组的特征值问题：

设c?

c?

，算子m?

?

?

?

i,j?

1

?

d（a?

x?

d）?

a?

x?

n?

?

?

d（a?

x?

d）?

b?

x?

都是

j

ij

i

j

ij

i

i,j?

1

nn

区域?

上的一致椭圆算子，特征值分别记为?

?

i?

i?

1和?

?

i?

i?

1，系数a,b,aij,bij?

c?

?

.定

?

?

?

义l?

?

?

?

?

?

?

?

u?

?

v?

?

mu?

c（x）v?

?

?

l?

，则算子的谱仅由特征值构成，并且?

?

?

l?

?

?

?

?

?

?

?

ii?

1ii?

1；?

nv?

?

（10）poincare不等式：

（与sobolev空间的poincare不等式对比记忆）

（ⅰ）记?

1?

0是算子?

?

在?

上带有齐次dirichlet边界条件的第一特征值，则

u

1

22

?

1

?

1

1

?

?

?

du2,?

u?

h0

2

并且

?

1

是使得上式成立的最小常数，也称为最佳嵌入常数。

（ⅱ）记?

2?

0是算子?

?

在?

上带有齐次neumann边界条件的第二个特征值，则

u?

u?

1

22

?

1

?

2

?

u2,?

u?

h1?

?

?

2

?

u?

?

?

0,

?

?

并且

?

2

是使得上式成立的最小常数，也称为最佳嵌入常数。

补充：

（bessel不等式）

设x是一个内积空间，如果s?

e?

?

?

是x中的正交规范基，那么?

x?

x,有

2

?

?

x,e?

?

?

?

?

x.

2

?

?

?

研究特征值问题的意义目前主要在于研究主特征值，因为主特征值所对应的特征函数在整个定义域内不改变符号，即恒正或是恒负，这对于后面要讲的生态模型的正共存解的存在性起到关键的作用，这也是本书中在讲共存解时多次采用的方法，这也给读者在研究问题的时候提供了一种很有用的方法。

第三章介绍了椭圆型方程的上下解方法（利用上下解得到解的存在性的方法称为上下解方法），此法是研究非线性偏微分方程的一种重要方法。

对于一个非线性偏微分方程的定解问题，只要比较原理成立，都可以利用上下解方法来处理。

上下解方法非常简单初等，结构又非常深刻。

这种方法即给出了解的存在性，又给出了解的估计。

但此法也有困难的地方，那就是构造合适的上下解。

下面先给出一个一般形式的比较原理，然后依次给出方程式和方程组的上下解方法，最后结合叶其孝编写的《反应扩散方程》总结一下构造上下解的方法。

（比较原理）假设?

是?

中的一个有界区域，函数q?

x?

在?

内非负连续，?

（x）?

l?

?

?

，

n

?

常数?

?

（0,1]，非负函数g（s）?

c?

（0.?

]?

.又设函数u1,u2?

c?

?

?

并且在?

内是正的，在

1

分布意义下满足

?

?

?

?

u1?

?

（x）u1?

q?

x?

g?

u1?

?

0?

?

?

u2?

?

（x）u2?

q?

x?

g?

u2?

，

在边界附件满足

d（x,?

?

）?

0

?

?

1?

?

limsupu1?

u?

0.21

?

?

如果

（1）当0?

?

?

1时，函数

g?

ss

?

关于s?

?

inf?

u1,u2?

sup?

u1,u2?

?

单调不减；

?

?

?

?

?

?

（2）当?

?

1时，q?

x?

是非负非平凡的连续函数，

g?

ss

?

关于s?

?

inf?

u1,u2?

sup?

u1,u2?

?

严格单增，

?

?

?

?

?

?

则u1?

u2在?

内恒成立。

注：

由上面的比较原理，得边值问题

?

?

?

u?

?

（x）u?

?

q?

x?

g?

u?

?

0,x?

?

?

x?

?

?

?

u?

?

?

x?

有唯一的正解。

下面具体来总结一下方程式的上下解方法。

先对拟线性方程，利用不动点定理证明：

如果所讨论的问题具有有序的上下解，那么它在上下解之间一定有解；其次对半线性方程，借助有序上下解构造单调迭代序列，进而得到位于上下解之间的最大解和最小解的存在性。

设?

是?

中的一个有界区域，边界?

?

?

c

n

2?

?

，算子l?

?

i,j?

1

?

a

n

ij

dij?

?

bidi?

c

i?

1

n

在?

上是一致椭圆算子，系数属于c?

?

.边界算子bu?

au?

b都是非负函数，并且a（x）?

b（x）?

0.考虑下面的边值问题

?

?

u

其中a,b?

c1?

?

?

?

?

?

?

?

nn

?

?

lu?

?

?

aijdiju?

?

bidiu?

cu?

f?

x,u,du?

x?

?

i,j?

1i?

1?

?

bu?

?

x?

?

?

?

定义（上下解）函数u,?

c1?

?

c2?

?

?

分别称为上述问题的上下解，如果

?

?

?

lu?

fx,u,du,x?

?

?

?

x?

?

?

?

bu?

?

?

?

篇三：

读书笔记

常微分方程笔记

一.常微分方程的引入

关于微分方程的引入问题，众多的教材大多有以下几种模式：

1.通过直接定义微分方程，即是个含有函数（单变量，或多变量）及其有限阶导数的方程。

这种引入的前提是熟知函数，导数，微分的概念，拓广了一般的方程的概念。

（这种模式常见于国内的许多常微分方程教材）

2.从最简单的一阶常微分方程开始，逐步拓展微分方程的概念。

而引入一阶微分方程，则先介绍它的模型：

malthus人口模型及logistic人口模型。

3.从高层次的观点看微分方程（阿诺尔德）。

常微分方程理论是数学科学的一门工具，他的研究对象是指满足如下三个特征的过程：

确定性,有限维性,可微性。

确定性是指，过去和未来的状态都可以用现在唯一确定。

有限维性是指其相空间是有限维的，即表示其状态的参数是有限个的。

可微性是指他的相空间具有可微流形的结构，并且它的状态随时间的改变是由可微函数来描述的。

1的实用性较高，很快就可以开始解一些非定性的线性方程，但是这种模式，不利于长期的掌握常微分方程的解法，容易遗忘，所以一般会采取多做题的方法来加深印象，故中国的许多教材均采取这一做法。

2的方法基本上就是欧美数学教材的模式，循序渐进，从令人有兴趣的问题开始，逐步加深对常微分方程的理解。

其重点不在解常微分方程（这点非常好，因为很多人会以为学常微分方程就只是为了解方程），而会引入更加直观的相图。

3其实适合于已经学过常微分方程的人复习，可以很全面的把握，并且有了更高的观点，有了很多新的概念，包括微分同胚，相流等。

二.常微分方程的最基本解法：

变量分离

常微分方程如果要想最简单，肯定是等式左边只有一阶的导数，右边只含自变量。

那么这样就可以直接两边积分，从而得解。

实际上，并不是且大多时候都不是这种情况，复杂情况和

这种最简单的情况之间有个折中，就是两边都只有互不相同的变量，将它们分别积分即可，这就是变量分离最基本的想法。

可以使用变量分离的方程：

直接变量分离的方程：

y=f（t）

可变量分离的方程:

y=g（t）f（y）

可化为可变量分离的方程：

可能通过变换和换元来化为可分离。

（其实应该也可以化为上一类吧）

其中比较特殊的是：

齐次方程y=g（y/t）做变换u=y/t，就有u=（g（u）-u）/t

三.一阶常系数线性微分方程

1.基本概念：

方程的阶：

就是最高阶导数的阶，用微分算子表示的话就类似于代数方程的次数；

线性是指：

微分方程的微分算子是线性的，即满足：

l1（y）+l2（y）=（l1+l2）（y）;l1（ky）=k*l1（y）（k为常数）。

大多见到的形式就是l是多项式型的，看起来就是没有y^（i）*y^（j），0<=i,j<=n。

另外若是齐次（前提是线性）的话是指：

l（y）=0

2.线性原理及该方程的解法步骤

线性原理：

基于一阶常系数线性微分方程的线性特性，所以如果微分方程是其次的话就有：

若y（t）为y=a（t）y的解，那么对任意常数k，有ky（t）也是方程的解。

其直接推论就是解决了线性方程的通解问题

将其推广可以得到非线性方程的通解为：

ky_h（t）+y_p（t），其中k*y_h为对应齐次方程的通解，y_p（t）为非齐次方程的特解。

所以对任意的线性微分方程，求解的顺序就是

（1）齐次通解

（2）非齐次特解（3）add

3.常数变易法

在实践中解决一阶非线性线性微分方程时，发现其最终和齐次方程的解之间只相差一个因子，而在齐次方程中对应这个因子是个可变常数。

由此有了所谓的常数变易法，可以直接求得一阶线性非齐次方程的通解。

实则就是一种待

4.积分因子法

积分因子法与常