数列竞赛习题及解答.docx
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数列竞赛习题及解答
高中数学竞赛专题讲座之数列一、选择题部分2aaa1.(2006年江苏)已知数列的通项公式,则的最大项是(B)nnn2n4n5DABCaaaa12343.(2006吉林预赛)对于一个有n项的数列P=(p,p,„,p),P的“蔡查罗和”定义为s、s、„12n12s、的算术平均值,其中s=p+p+„p(1≤k≤n),若数列(p,p,„,p)的“蔡查罗和”为2007,那nk12k122006么数列(1,p,p,„,p)的“蔡查罗和”为(A)122006A.2007B.2008C.2006D.10044.(集训试题)已知数列{a}满足3a+a=4(n≥1),且a=9,其前n项之和为S。
则满足不等式nn+1n1n1|S-n-6|<的最小整数n是()n125B.6C.7D.8A.51解:
由递推式得:
3(a-1)=-(a-1),则{a-1}是以8为首项,公比为-的等比数列,n+1nn31n8[1()]1113nnn-1∴S-n=(a-1)+(a-1)+„+(a-1)==6-6×(-),∴|S-n-6|=6×()<,得:
3>250,n12nn13312513∴满足条件的最小整数n=7,故选C。
20053x1nx5.(集训试题)给定数列{x},x=1,且x=,则=()n1n+1n3xn1n33A.1B.-1C.2+D.-2+3xn333解:
x=,令x=tanα,∴x=tan(α+),∴x=x,x=1,x=2+,x=-2-,x=-1,n+1nnn+1nn+6n1234631xn3200533xx1x=-2+,x=2-,x=1,„„,∴有。
故选A。
567n1n1AB{a}、b{}6、(2006陕西赛区预赛)已知数列的前n项和分别为,记nnnnCaBbAab(n1)C则数列{}的前10项和为(C)nnnnnnnnAB1010ABABABA.B.C.D.1010101010102f(n)7.(2006年浙江省预赛)设为正整数n(十进制)的各数位上的数字的平方之和,比如222f(n)f(n)f(n)f(f(n))f(123)12314k1,2,3,,f(2006)则=。
记,,20061k1k(A)20(B)4(C)42(D)145.(D)200640)40f(2006记做,于是有解:
将200640163758891454220416f(2006)f(16)f(16)f(16)145.f从16开始,是周期为8的周期数列。
故20062004425084n正确答案为D。
111二、填空题部分121111331aSS(a)1.数列的各项为正数,其前n项和满足,则nnnn146412an15101051nn1a=______.n0abcdda90a,b,c,da,b,c2.(2006天津)已知都是偶数,且,,若成等差数abcdb,c,d列,成等比数列,则的值等于194.
3.(2006吉林预赛)如图所示,在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列1,3,6,10,„,记这3n个数列前n项和为S(n),则=___________。
limS(n)n1nqfna2020a4.(2006年江苏)等比数列的首项为,公比.设表示这个数列的前1n2nfn项的积,则当12时,有最大值.32xyxA,j1,2,5.在轴的正方向上,从左向右依次取点列,以及在第一象限内的抛物线j2B,k1,2,ABAAk1,2,上从左向右依次取点列,使()都是等边三角形,其中是坐标kk1kk0原点,则第2005个等边三角形的边长是2005。
Ba【解】:
设第n个等边三角形的边长为。
则第n个等边三角形的在抛物线上的顶点的坐标为nnaa3nnaaaaaa(。
),12n112n12222312Baaa再从第n个等边三角形上,我们可得的纵坐标为。
从而有nnnn22a1a332nnaaaaaaaa,即有。
n12n1n12n122222a1a12n2n1aaaaaaaa由此可得
(1),以及
(2)12nn12n1n1222211a(aa)(aa)(aa)
(1)-
(2)即得.nnn1nn1nn122(aa1)(aa)0变形可得.nn1nn1112a0a1aa1aa0aa由于,所以。
在
(1)式中取n=1,可得,而,故。
1111nn1nn122a2005因此第2005个等边三角形的边长为。
20052005!
1x2(n1)xxnxx6.(2005年浙江)已知数列,满足,且,则=。
1n1nn20052005!
x1n(n1)xxnx1【解】:
由,推出。
因此有n1n1nn1x1x1x1x11n1n2n1x1.n1n1(n1)n(n1)n(n1)(n1)n(n1)2(n1)!
2005!
11x1x。
从而可得即有。
n120052005!
(n1)!
aaaa3412|aT,i1,2,3,4},T{0,1,2,3,4,5,6},M{将M中的元素7.(2005全国)记集合i2347777按从大到小的顺序排列,则第2005个数是()5563556211041103A.B.C.D.23423423423477777777777777774[aaa]7解:
用,得表示k位p进制数,将集合M中的每个数乘以12kp32M{a7a7a7a|aT,i1,2,3,4}{[aaaa]|aT,i1,2,3,4}.1234i12347i[6666][2400]M中的最大数为。
在十进制数中,从2400起从大到小顺序排列的第2005个71011044.[396][1104]7数是2400-2004=396。
而将此数除以,便得M中的数故选C。
1072347777
n1a,a,a,...,a,...,(3a)(6a)18,且a38.(2004全国)已知数列满足关系式,则012nn1n0aioi的值是_________________________。
111,n0,1,2,...,则(3)(6)18,b即解:
设nabbnn1n11113b6b10.b2b,b2(b){b}故数列是公比为2的等比数列,n1nn1nn1nn3333111111nnn1n1b2(b)2()2b(21)。
n0n33a3330n1nnn11112(21)n2i1b(21)(n1)2n3。
i321a33ioi0i0irst{a|a222,0tsr}r,s,t9.(2005四川)设为整数,集合中的数由小到大组成数列a{a}7,11,13,14,:
,则131。
36n2r0tsrC1r,s,t解:
∵为整数且,∴最小取2,此时符合条件的数有22r3C30,1,2s,t,可在中取,符合条件有的数有32r4C6同理,时,符合条件有的数有42r5C10时,符合条件有的数有52r6C15时,符合条件有的数有62r7C21时,符合条件有的数有7017ar7a222131因此,是中的最小值,即3636三、解答题部分apap1a2aan20{a}p1.(2006天津)已知数列满足,,,其中是12n2n1nnnna给定的实数,是正整数,试求的值,使得的值最小.na2aan20baabbn20n1,2,【解】令,由题设,有,且n2n1nnn1nn1nn1n1b1bb[12(n1)]2n(n1)(bb)(i20)„„„5分于是,即.i1i1n1i1i1(n1)(n40)b1∴.(※)„„„„„„„10分n2apap1a2aa120p17aa又,,则.1232112aaaaan3∴当的值最小时,应有,,且.nnn1nn1baa0baa0即,.„„„„„„„„15分nn1nn1nn1(n1)(n40)2n40*nNn3由(※)式,得由于,且,解得,(n2)(n41)2n40an40∴当时,的值最小.„„„„„„„„„„„„„„„„„20分40
sin
(2)3sintanx,tanyyf(x)2.(2006陕西赛区预赛)(20分)已知,设,记。
xf(x)f(x)
(1)求的表达式;212xn2122*{a};a,a2af(a)(nN){a}a
(2)定义正数数列。
试求数列的通项公式。
.nn1n1nnnn12213.(2006安徽初赛)已知数列满足,对于所有,有an0a0nN0n,求的通项公式.aa230a5a11a1nn1nnn4.(2006吉林预赛)设{a}为一个实数数列,a=t,a=4a(1-a)。
求有多少个不同的实数t使n1n+1nn2004得a=0。
(2+1)2006*aa4n1(nN)5.(2006年南昌市)将等差数列{}:
中所有能被3或5整除的数删去后,剩nnbb下的数自小到大排成一个数列{},求的值.n2006aa60aa解:
由于,故若是3或5的倍数,当且仅当是3或5的倍数.n15nn15n现将数轴正向分成一系列长为60的区间段:
(0,+)=(0,60]∪(60,120]∪(120,180]∪„,注意第一ba个区间段中含有{}的项15个,即3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中属于{}的项nnb7b11b23b19b31b43b47b598个,为:
,,,,,,,于是每个区间段中12435678bbb60ka恰有15个{}的项,8个{}的项,且有,k∈N,1≤r≤8.n8krrnb60250b602504315043b43由于2006=8×250+6,而所以.,200666a1,a2aaa(n1,2,3,{a}6.(2004湖南)设数列满足条件:
,且)12n2n1nn1a1求证:
对于任何正整数n,都有nn1annaakk1aaaa11(k1,2,)证明:
令,则有,且,于是k1kk10aak1k1nnaaaaaaaakk10n1n1121n由算术-几何平均值不等式,可得+nnaaaaaaaak1k123n123n1k1k1111aa11a1注意到,可知,即n01n1aaaannnn1nn1na1,当n为偶数时,n2a1an2a7.(2006年上海)数列定义如下:
,且当时,11nn,当n为奇数时.an130a,求正整数n.已知n19a0,n1,2,a1a1n
(1)解由题设易知,.又由,可得,当n为偶数时,;当是奇n1n1a1数时,.„„„„„„(4分)nan1
30n3011aa111,所以n为偶数,于是,所以,是奇数.由nn19219192nn2198191a1a11于是依次可得:
是奇数,,是偶数,,n2n24111111142n6n611113aa111是偶数,是奇数,,,n6n248888148n14n14885a11a1是偶数,,是偶数,,n14n68163331816n1452a11是奇数,„„„„„(9分),n14323332n46n46331a11a1是偶数,,是奇数,,n14n46326422213264n110a211a21是偶数,,,n110n4664164128n1101,解得,n=238.„„„„„„(14分)所以,12827a45a36nn{a}a1,a,nN.13.(2005全国)数列满足:
n0n12nN,anN,aa1证明:
(1)对任意为正整数;
(2)对任意为完全平方数。
nnn122a7a45a36,a5,{a}证明:
(1)由题设得且严格单调递增.将条件式变形得两边n1nn1n22a7aaa90平方整理得①n1nn1n22a7aaa90②nn1nn1(aa)(aa7a)0,aa,aa7a0①-②得n1n1n1n1nn1nn1n1na7aa.③n1nb1a1,a5nN,a由③式及可知,对任意为正整数.„„„„„„„„„„10分01naa22n1n(aa)9(aa1),aa1().
(2)将①两边配方,得④n1nnn1nn13(aa)mod3aa9a(aa)由③≡n1nnn1nnn1aannn1
(1)aaaa∴≡≡0(mod3)∴为正整数n1n103aa1④式成立.是完全平方数.„„„„„„„„„„„„„„20分nn1
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