届高中数学分册同步讲义选修11 第1章112113四种命题间的相互关系.docx

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届高中数学分册同步讲义选修11第1章112113四种命题间的相互关系

1.1.2　四种命题

1.1.3　四种命题间的相互关系

学习目标　1.了解命题的四种形式，能写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.理解并掌握四种命题之间的关系及其真假性之间的关系.3.能够利用命题的等价性解决有关问题．

知识点一　四种命题的表示形式及特点

命题名称

表示形式

特点

原命题

若p，则q

逆命题

若q，则p

把原命题的条件和结论互换

否命题

若綈p，则綈q

把原命题的条件和结论都否定

逆否命题

若綈q，则綈p

把原命题的条件和结论互换且都否定

特别提醒：

“綈p”读作“非p”，表示p的否定．

知识点二　四种命题之间的相互关系

知识点三　四种命题间的真假关系

原命题

逆命题

否命题

逆否命题

真

真

真

真

真

假

假

真

假

真

真

假

假

假

假

假

由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

1．任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题．（　√　）

2．两个互逆命题的真假性相同．（　×　）

3．对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有．（　√　）

4．命题“若p，则綈q”的逆命题为“若綈q，则p”．（　√　）

5．原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同．（　√　）

题型一　四种命题的概念

例1　把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．

（1）相似三角形对应的角相等；

（2）当x>3时，x2－4x＋3>0；

（3）正方形的对角线互相平分．

解　

（1）原命题：

若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：

若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：

若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角不对应相等；逆否命题：

若两个三角形的三个角不对应相等，则这两个三角形不相似．

（2）原命题：

若x>3，则x2－4x＋3>0；逆命题：

若x2－4x＋3>0，则x>3；否命题：

若x≤3，则x2－4x＋3≤0；逆否命题：

若x2－4x＋3≤0，则x≤3.

（3）原命题：

若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：

若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：

若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：

若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．

反思感悟　四种命题的写法

（1）由原命题写出其它三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件和结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时进行否定即得逆否命题．

（2）如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．

跟踪训练1　写出下列各个命题的逆命题、否命题和逆否命题．

（1）若sinα＝

，则tanα＝

；

（2）等底等高的两个三角形是全等三角形；

（3）当1

（4）若ab＝0，则a＝0或b＝0.

解　

（1）逆命题：

若tanα＝

，则sinα＝

.

否命题：

若sinα≠

，则tanα≠

.

逆否命题：

若tanα≠

，则sinα≠

.

（2）逆命题：

若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．

否命题：

若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．

逆否命题：

若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．

（3）逆命题：

若x2－3x＋2<0，则1

否命题：

若x≤1或x≥2，则x2－3x＋2≥0.

逆否命题：

若x2－3x＋2≥0，则x≤1或x≥2.

（4）逆命题：

若a＝0或b＝0，则ab＝0.

否命题：

若ab≠0，则a≠0，且b≠0.

逆否命题：

若a≠0，且b≠0，则ab≠0.

题型二　四种命题的真假判断

例2　下列命题：

①“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；

②“梯形不是平行四边形”的逆否命题；

③“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题．

其中是真命题的是________．（填序号）

考点　四种命题的真假判断

题点　利用四种命题的关系判断真假

答案　①②

解析　①“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；②“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；③“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题．故填①②.

反思感悟　要判断四种命题的真假：

首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．

跟踪训练2　按要求写出下列命题并判断真假．

（1）“正三角形都相似”的逆命题；

（2）“若m>0，则x2＋2x－m＝0有实根”的逆否命题；

（3）“若x－

是有理数，则x是无理数”的逆否命题．

考点　四种命题的真假判断

题点　利用四种命题的关系判断真假

解　

（1）原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形都是正三角形”，故为假命题．

（2）原命题的逆否命题为“若x2＋2x－m＝0无实根，则m≤0”．∵方程无实根，∴判别式Δ＝4＋4m<0，∴m<－1，即m≤0成立，故为真命题．

（3）原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－

不是有理数”．∵x不是无理数，∴x是有理数．又

是无理数，∴x－

是无理数，不是有理数，故为真命题．

题型三　等价命题的应用

例3　判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．

考点　四种命题的相互关系

题点　等价命题

解　方法一　原命题的逆否命题：

已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集为∅，判断如下：

二次函数y＝x2＋（2a＋1）x＋a2＋2的开口向上，

令x2＋（2a＋1）x＋a2＋2＝0，

则Δ＝（2a＋1）2－4（a2＋2）＝4a－7.

因为a<1，所以4a－7<0，

即关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集为∅.故此命题为真命题．

方法二　利用原命题的真假去判断逆否命题的真假．

因为关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集非空，

所以（2a＋1）2－4（a2＋2）≥0，

即4a－7≥0，解得a≥

>1，

所以原命题为真，故其逆否命题为真．

引申探究　

判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2>0的解集为R，则a<

”的逆否命题的真假．

解　先判断原命题的真假如下：

因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2>0的解集为R，且二次函数y＝x2＋（2a＋1）x＋a2＋2的开口向上，

所以Δ＝（2a＋1）2－4（a2＋2）＝4a－7<0，

所以a<

.

所以原命题是真命题．

因为互为逆否命题的两个命题同真同假，

所以原命题的逆否命题为真命题．

反思感悟　

（1）在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真（假）命题，来间接地证明原命题为真（假）命题．

（2）四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视．

跟踪训练3　证明：

若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.

考点　四种命题的相互关系

题点　逆否证法

证明　命题“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．

由a＝2b＋1，得a2－4b2－2a＋1＝（2b＋1）2－4b2－2×（2b＋1）＋1＝4b2＋4b＋1－4b2－4b－2＋1＝0，

显然原命题的逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题．故原命题得证．

命题的等价性

典例　主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：

“临时有急事，不能去了．”主人听了，随口说了句：

“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了，主人愣了片刻，又道了句：

“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．请你用逻辑学原理解释二人离去的原因．

解　张三走的原因是：

“该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的．李四走的原因是：

“不该走的又走了”的逆否命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的．

[素养评析]　逻辑推理是在数学活动中进行交流的基本思维品质，本例是利用原命题与其逆否命题的等价性的逻辑原理，得出相应的合理解释．

1．（2018·安徽蚌埠高二检测）命题“若x>2018，则x>0”的否命题是（　　）

A．若x>2018，则x≤0B．若x≤0，则x≤2018

C．若x≤2018，则x≤0D．若x>0，则x>2018

考点　四种命题的相互关系

题点　四种命题相互关系的应用

答案　C

解析　否命题需将条件和结论分别否定，所以否命题为：

若x≤2018，则x≤0.

2．已知命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

考点　四种命题的真假判断

题点　利用四种命题的关系判断真假

答案　B

解析　命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”是真命题，故其逆否命题是真命题．

该命题的逆命题为“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”是假命题，故其否命题也是假命题，故选B.

3．下列命题中为真命题的是（　　）

A．命题“若a，b都大于0，则ab>0”的逆命题

B．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

C．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

D．命题“若tanx＝

，则x＝

”的逆否命题

考点　四种命题的真假判断

题点　利用四种命题的关系判断真假

答案　C

解析　对于A，命题“若a，b都大于0，则ab>0”的逆命题是“若ab>0，则a，b都大于0”，是假命题，如a，b都为负数时ab>0也成立；对于B，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题是“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，是假命题，如x＝－2；对于C，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题是“若x>|y|，则x>y”，是真命题；对于D，命题“若tanx＝

，则x＝

”是假命题，故其逆否命题也是假命题．故选C.

4．下列命题中：

①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；

②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；

③正方形的四条边相等；

④圆内接四边形对角互补；

⑤对角不互补的四边形不内接于圆；

⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．

其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．

考点　四种命题的相互关系

题点　四种命题相互关系的应用

答案　②和④，③和⑥　①和⑥，②和⑤

①和③，④和⑤

解析　命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．

5．命题“如果a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0，那么a＋b≠1”的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．

考点　四种命题的真假判断

题点　利用四种命题的关系判断真假

答案　1

解析　a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0化简得（a＋b－1）（a＋b＋2）≠0，即a＋b≠1且a＋b≠－2.

命题“如果a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0，那么a＋b≠1”的逆命题为“如果a＋b≠1，那么a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0”，为假命题，a＋b＝－2也可以使a2＋2ab＋b2＋a＋b－2＝0；否命题与逆命题同真同假，故其否命题为假命题；逆否命题为“如果a＋b＝1，那么a2＋2ab＋b2＋a＋b－2＝0”，真命题．

1．写四种命题可以按以下步骤进行：

（1）找出命题的条件p和结论q.

（2）写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q.

（3）按照四种命题的结构写出所有命题．

2．判断命题的真假可以根据互为逆否命题的命题真假性相同来判断.

一、选择题

1．命题“若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b”的逆否命题是（　　）

A．若a，b，c成等差数列，则a＋c≠2b

B．若a，b，c不成等差数列，则a＋c≠2b

C．若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列

D．若a＋c≠2b，则a，b，c不成等差数列

考点　四种命题的相互关系

题点　四种命题相互关系的应用

答案　D

解析　命题“若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b”的逆否命题是“若a＋c≠2b，则a，b，c不成等差数列”．

2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是（　　）

A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3

B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3

C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3

D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3

考点　四种命题的相互关系

题点　四种命题相互关系的应用

答案　A

解析　原命题的条件是“a＋b＋c＝3”，结论是“a2＋b2＋c2≥3”，所以否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”．

3．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的（　　）

A．逆命题B．否命题

C．逆否命题D．无关命题

考点　四种命题的相互关系

题点　四种命题相互关系的应用

答案　A

4．与命题“若p，则q”的否命题同真假的命题为（　　）

A．若q，则pB．若p，则q

C．若綈q，则pD．若綈q，则綈p

考点　四种命题的真假判断

题点　利用四种命题的关系判断真假

答案　A

解析　与命题“若p，则q”的否命题同真假的是命题“若p，则q”的逆命题，即“若q，则p”．

5．（2018·咸阳期末）命题“若a>2，则a>1”以及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（　　）

A．0B．1C．2D．4

考点　四种命题的真假判断

题点　利用四种命题的关系判断真假

答案　C

解析　“若a>2，则a>1”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题．

又其逆命题、否命题为假命题，所以真命题的个数为2.

6．有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④“非等边三角形的三个内角相等”的逆命题．

其中真命题为（　　）

A．①②B．②③

C．①③D．③④

考点　四种命题的真假判断

题点　利用四种命题的关系判断真假

答案　C

解析　命题①：

“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：

可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题，因此命题②是假命题；命题③：

“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”是真命题，则其逆否命题也为真命题；命题④是假命题．

7．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的（　　）

A．逆否命题B．逆命题

C．否命题D．原命题

考点　四种命题的相互关系

题点　四种命题相互关系的应用

答案　C

解析　特例：

p：

△ABC中，若∠A＝∠B，则a＝b；

r：

△ABC中，若∠A≠∠B，则a≠b；

s：

△ABC中，若a≠b，则∠A≠∠B；

t：

△ABC中，若a＝b，则∠A＝∠B.

8．设原命题：

若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是（　　）

A．原命题真，逆命题假

B．原命题假，逆命题真

C．原命题与逆命题均为真命题

D．原命题与逆命题均为假命题

考点　四种命题的真假判断

题点　利用四种命题的关系判断真假

答案　A

解析　因为原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a，b都小于1，则a＋b<2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例如a＝1.2，b＝0.3.

二、填空题

9．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为________________________．

考点　四种命题

题点　四种命题概念的理解

答案　若x，y不全为零，则xy≠0

解析　由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为“若x，y不全为零，则xy≠0”．

10．命题“已知不共线向量e1，e2，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0”的等价命题为________________________________，是________命题（填“真”或“假”）．

考点　四种命题的相互关系

题点　逆否证法

答案　已知不共线向量e1，e2，若λ，μ不全为0，则λe1＋μe2≠0　真

11．给定下列命题：

①“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”的逆否命题；

②“等腰三角形都相似”的逆命题；

③“若x－

是有理数，则x是无理数”的逆否命题；

④“若a>1且b>1，则a＋b>2”的否命题．

其中真命题的序号是________．

考点　四种命题的真假判断

题点　利用四种命题的关系判断真假

答案　①

解析　显然①为真；②为假；对于③，原命题“若x－

是有理数，则x是无理数”为假命题，所以其逆否命题为假命题；对于④，“若a>1且b>1，则a＋b>2”的否命题是“若a≤1或b≤1，则a＋b≤2”为假命题．

三、解答题

12．已知命题“若m－1

考点　四种命题的相互关系

题点　四种命题相互关系的应用

解　命题：

“若m－1

∴

得1≤m≤2.

13．判断命题：

“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．

考点　四种命题的相互关系

题点　逆否证法

解　方法一　（利用原命题）因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题的真假即可．

方程判别式为Δ＝4b2－4（b2＋b）＝－4b，

因为b≤－1，所以Δ≥4>0，

故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．

方法二　（利用逆否命题）原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．

方程判别式为Δ＝4b2－4（b2＋b）＝－4b，

因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．

14．若命题“若xm＋1，则x2－2x－3>0”的逆命题为真、逆否命题为假，则实数m的取值范围是________．

考点　

题点　

答案　[0,2]

解析　由已知，易得{x|x2－2x－3>0}{x|xm＋1}．

又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，

∴

或

∴0≤m≤2.

15．已知a，b，c∈R，证明：

若a＋b＋c<1，则a，b，c中至少有一个小于

.

证明　原命题的逆否命题为：

已知a，b，c∈R，若a，b，c都不小于

，则a＋b＋c≥1.

由条件得a≥

，b≥

，c≥

，三式相加得a＋b＋c≥1，

显然逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题．