江苏省苏锡常镇四市届高三数学第二次模拟考试试题2含答案 师生通用.docx
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江苏省苏锡常镇四市届高三数学第二次模拟考试试题2含答案师生通用
2019届高三年级第二次模拟考试
数学
(满分160分,考试时间120分钟)
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分.
1.已知集合A={0,1,2},B={x|-1 2.已知i为虚数单位,则复数(1-2i)2的虚部为________. 3.抛物线y2=4x的焦点坐标为________. 4.已知箱子中有形状、大小都相同的3只红球、1只白球,一次摸出2只球,则摸到的2只球颜色相同的概率为________. 5.如图是抽取某学校160名学生的体重频率分布直方图,已知从左到右的前3组的频率成等差数列,则第2组的频数为________. 6.如图是一个算法流程图,则输出的S的值是________. 7.已知函数f(x)=若f(a-1)=,则实数a=________. 8.中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题“今有马行转迟,次日减半疾,七日行七百里”,意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢,每天行走的里程是前一天的一半,七天一共行走了700里,则这匹马在最后一天行走的里程数为________. 9.已知圆柱的轴截面的对角线长为2,则这个圆柱的侧面积的最大值为________. 10.设定义在区间上的函数y=3sinx的图象与y=3cos2x+2的图象交于点P,则点P到x轴的距离为________. 11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知5a=8b,A=2B,则sin=________. 12.若在直线l: ax+y-4a=0上存在相距为2的两个动点A,B,在圆O: x2+y2=1上存在点C,使得△ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点),则实数a的取值范围是________. 13.在△ABC中,已知AB=2,AC=1,∠BAC=90°,D,E分别为BC,AD的中点,过点E的直线交AB于点P,交AC于点Q,则·的最大值为________. 14.已知函数f(x)=x2+|x-a|,g(x)=(2a-1)x+alnx,若函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象恰好有两个不同的交点,则实数a的取值范围是________. 二、解答题: 本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分) 如图,在三棱锥DABC中,已知AC⊥BC,AC⊥DC,BC=DC,E,F分别为BD,CD的中点.求证: (1)EF∥平面ABC; (2)BD⊥平面ACE. 16.(本小题满分14分) 已知向量a=(2cosα,2sinα),b=(cosα-sinα,cosα+sinα). (1)求向量a与b的夹角; (2)若(λb-a)⊥a,求实数λ的值. 17.(本小题满分14分) 某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.已知空地的一边是直路AB,余下的外围是抛物线的一段弧,直路AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴(如图).拟在这个空地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪,其中点A,B,C,D均在该抛物线上.经测量,直路的AB长为40米,抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米.设点C到抛物线的对称轴的距离为m米,到直路AB的距离为n米. (1)求出n关于m的函数关系式; (2)当m为多大时,等腰梯形草坪ABCD的面积最大? 并求出其最大值. 18.(本小题满分16分) 已知椭圆E: +=1(a>b>0)的离心率为,焦点到相应准线的距离为. (1)求椭圆E的标准方程; (2)已知P(t,0)为椭圆E外一动点,过点P分别作直线l1和l2,直线l1和l2分别交椭圆E于点A,B和点C,D,且直线l1和l2的斜率分别为定值k1和k2,求证: 为定值. 19.(本小题满分16分) 已知函数f(x)=(x+1)lnx+ax(a∈R). (1)若函数y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程为x+y+b=0,求实数a,b的值; (2)设函数g(x)=,x∈[1,e](其中e为自然对数的底数). ①当a=-1时,求函数g(x)的最大值; ②若函数h(x)=是单调减函数,求实数a的取值范围. 20.(本小题满分16分) 定义: 若有穷数列a1,a2,…,an同时满足下列三个条件,则称该数列为P数列. ①首项a1=1;②a1 (1)问: 等差数列1,3,5是否为P数列? (2)若数列a,b,c,6是P数列,求实数b的取值范围; (3)若n>4,且数列b1,b2,…,bn是P数列,求证: 数列b1,b2,…,bn是等比数列. 2019届高三年级第二次模拟考试(十一) 数学附加题(满分40分,考试时间30分钟) 21.【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4-2: 矩阵与变换](本小题满分10分) 已知x,y∈R,α=是矩阵A=属于特征值-1的一个特征向量,求矩阵A的另一个特征值. B.[选修4-4: 坐标系与参数方程](本小题满分10分) 在极坐标系中,已知直线l: ρsin=0,在直角坐标系(原点与极点重合,x轴的正方向为极轴的正方向)中,曲线C的参数方程为(t为参数).设直线l与曲线C交于A,B两点,求AB的长. C.[选修4-5: 不等式选讲](本小题满分10分) 若不等式|x+1|+|x-a|≥5对任意的x∈R恒成立,求实数a的取值范围. 【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分) 从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测,若这批产品的不合格率为0.05,随机变量X表示这10件产品中的不合格产品的件数. (1)问: 这10件产品中“恰好有2件不合格的概率P(X=2)”和“恰好有3件不合格的概率P(X=3)”哪个大? 请说明理由; (2)求随机变量X的数学期望E(X). 23.(本小题满分10分) 已知f(n)=+++…+,g(n)=+++…+,其中n∈N*,n≥2. (1)求f (2),f(3),g (2),g(3)的值; (2)记h(n)=f(n)-g(n),求证: 对任意的m∈N*,m≥2,总有 . 2019届高三年级第二次模拟考试(十一)(苏锡常镇) 数学参考答案 1.{0} 2.-4 3.(1,0) 4. 5.40 6.- 7.log23 8. 9.2π 10.3 11. 12. 13.- 14.(1,+∞) 15. (1)在三棱锥D-ABC中,因为E为DC的中点,F为DB的中点,所以EF∥BC.(3分) 因为BC平面ABC,EF平面ABC, 所以EF∥平面ABC.(6分) (2)因为AC⊥BC,AC⊥DC,BC∩DC=C, 所以AC⊥平面BCD.(8分) 因为BD平面BCD,所以AC⊥BD.(10分) 因为DC=BC,E为BD的中点, 所以CE⊥BD.(12分) 因为AC∩CE=C,所以BD⊥平面ACE.(14分) 16. (1)设向量a与b的夹角为θ. 因为|a|=2, |b|==,(4分) 所以cosθ= = ==.(7分) 因为0≤θ≤π,所以向量a与b的夹角为.(9分) (2)若(λb-a)⊥a,则(λb-a)·a=0, 即λb·a-a2=0.(12分) 因为b·a=2,a2=4,所以2λ-4=0,解得λ=2.(14分) 17. (1)以路AB所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系,(1分) 则点A(-20,0),B(20,0),P(0,40).(2分) 因为曲线段APB为抛物线的一段弧, 所以可以设抛物线的解析式为y=a(x-20)·(x+20), 将点P(0,40)代入,得40=-400a, 解得a=-,(4分) 所以抛物线的解析式为y=(400-x2).(5分) 因为点C在抛物线上, 所以n=(400-m2),0 (2)设等腰梯形ABCD的面积为S, 则S=×(2m+40)××(400-m2),(8分) S=(-m3-20m2+400m+8000).(9分) 因为S′=(-3m2-40m+400)=-(3m-20)(m+20),(10分) 令S′=0,得m=,(11分) 当m变化时,S′,S的变化情况如下表: (13分) 所以当m=时,等腰梯形ABCD的面积最大,最大值为平方米.(14分) 18. (1)设椭圆的半焦距为c,由已知得=, 则-c=,c2=a2-b2,(3分) 解得a=2,b=1,c=,(5分) 所以椭圆E的标准方程是+y2=1.(6分) (2)由题意,设直线l1的方程为y=k1(x-t),代入椭圆E的方程中,并化简得(1+4k)x2-8ktx+4kt2-4=0.(8分) 设点A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=,x1x2=. (10分) 所以PA·PB=(1+k)|x1-t||x2-t|=(1+k)|t2-(x1+x2)t+x1x2|=(1+k)|t2-+|=,(12分) 同理PC·PD=,(14分) 所以=为定值.(16分) 19. (1)f′(x)=lnx++a,f′ (1)=a+2=-1,a=-3,(1分) f (1)=a=-3,将点(1,-3)代入x+y+b=0, 解得b=2.(2分) (2)①因为g(x)=lnx-1, 则g′(x)=-+=.(3分) 令φ(x)=x-lnx+1, 则φ′(x)=1-≥0,函数φ(x)在区间[1,e]上单调递增.(5分) 因为φ(x)≥φ (1)>0,(6分) 所以g′(x)>0,函数g(x)在区间[1,e]上单调递增,所以函数g(x)的最大值为g(e)=.(8分) ②同理,单调增函数g(x)=∈[a,a+1+],(9分) 则h(x)=·. 1°若a≥0,g(x)≥0,h(x)=, h′(x)= =≤0, 令u(x)=-(1+x+x2)lnx-ax2+x+1, 则u′(x)=-(1+2x)lnx--(2a+1)x<0, 即函数u(x)区间在[1,e]上单调递减, 所以u(x)max=u (1)=-a+2≤0, 所以a≥2.(11分) 2°若a≤-,g(x)≤0,h(x)=-, 由1°知,h′(x)=,又函数h(x)在区间[1,e]上是单调减函数, 所以u(x)=-(1+x+x2)lnx-ax2+x+1≥0对x∈[1,e]恒成立, 即ax2≤x+1-(1+x+x2)lnx对x∈[1,e]恒成立, 即a≤+-lnx对x∈[1,e]恒成立. 令φ(x)=+-lnx,x∈[1,e], φ′(x)=---lnx-(++1)=---+lnx, 记μ(x)=lnx-x+1(1≤x≤e), 又μ′(x)=-1=≤0, 所以函数μ(x)在区间[1,e]上单调递减, 故μ(x)max=μ (1)=0,即lnx≤x-1,所以 φ′(x)=---+lnx≤---+(x-1)=--<0, 即函数φ(x)在区间[1,e]上单调递减, 所以φ(x)min=φ(e)=+-lne=-1, 所以a≤φ(x)min=-1,又a≤-, 所以a≤-.(13分)
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