高中数学第一章三角函数143正切函数的性质与图象学案新人教A版必修408223184.docx
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高中数学第一章三角函数143正切函数的性质与图象学案新人教A版必修408223184
1.4.3 正切函数的性质与图象
学习目标 1.了解正切函数图象的画法,理解并掌握正切函数的性质(重点).2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题(重点、难点).
知识点 函数y=tanx的图象和性质
解析式
y=tanx
图象
定义域
{x|x∈R,且x≠+kπ,k∈Z}
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
在区间(kπ-,kπ+)(k∈Z)都是增函数
【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=tanx在其定义域上是增函数.( )
(2)函数y=tanx的图象的对称中心是(kπ,0)(k∈Z).( )
(3)函数y=tan2x的周期为π.( )
提示
(1)×,y=tanx在区间(kπ-,kπ+)(k∈Z)上是增函数,但在其定义域上不是增函数.
(2)×,y=tanx图象的对称中心是(kπ,0)(k∈Z).
(3)×,y=tan2x的周期为.
题型一 正切函数的定义域、值域问题
【例1】
(1)函数y=3tan(-)的定义域为________;
解析 由-≠+kπ,得x≠--4kπ,k∈Z,
即函数的定义域为{x|x≠--4kπ,k∈Z}.
答案 {x|x≠--4kπ,k∈Z}
(2)函数y=tan(2x-),x∈(-,)的值域是________.
解析 ∵- ∴tan(2x-)<1,即函数的值域为(-∞,1). 答案 (-∞,1) 规律方法 求正切函数定义域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tanx有意义即x≠+kπ,k∈Z. (2)求正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域时,要将“ωx+φ”视为一个“整体”,令ωx+φ≠kπ+,k∈Z,解得x. 【训练1】 函数y=tan(sinx)的定义域为______________,值域为______________. 解析 因为-1≤sinx≤1, 所以tan(-1)≤tan(sinx)≤tan1, 所以y=tan(sinx)的定义域为R, 值域为[-tan1,tan1]. 答案 R [-tan1,tan1] 考查 方向 题型二 正切函数的单调性及应用 方向1 求正切函数的单调区间 【例2-1】 求函数y=tan(-x+)的单调区间. 解 y=tan(-x+)=-tan(x-), 由-+kπ 方向2 比较大小 【例2-2】 比较大小: tan(-)和tan(-). 解 ∵tan(-)=-tan(2π-)=tan, tan(-)=-tan(2π-)=tan. 又0<<<,y=tanx在(0,)内单调递增, ∴tan 规律方法 1.运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)运用单调性比较大小关系. 2.求函数y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω>0,由于y=tanx在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换”的思想,令kπ-<ωx+φ (2)若ω<0,可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+φ)转化为y=Atan[-(-ωx-φ)]= -Atan(-ωx-φ),即把x的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的范围即可. 【训练2】 比较tan1,tan2,tan3的大小. 解 ∵1<<2<3<π,根据y=tanx的性质可得: y=tanx在(0,)上单调递增且大于0,在(,π)上单调递增且小于0,∴tan2 ∴tan2 题型三 正切函数图象性质的应用 【例3】 (1)函数y=tan(2x+)的最小正周期是( ) A.πB.2π C.D. 解析 最小正周期为T==. 答案 C (2)画出函数y=|tanx|的图象,并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性. 解 由y=|tanx|得, y= 其图象如图: 由图象可知,函数y=|tanx|是偶函数. 函数y=|tanx|的周期T=π, 函数y=|tanx|的单调递增区间[kπ,kπ+)(k∈Z), 单调递减区间为(kπ-,kπ)(k∈Z). 规律方法 1.作出函数y=|f(x)|的图象一般利用图象变换方法,具体步骤是: (1)保留函数y=f(x)图象在x轴上方的部分; (2)将函数y=f(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折. 2.若函数为周期函数,可先研究其一个周期上的图象,再利用周期性,延拓到定义域上即可. 【训练3】 (1)下列函数中,既是以π为周期的奇函数,又是(0,)上的增函数的是( ) A.y=tanxB.y=cosx C.y=tanD.y=|sinx| 解析 由于y=tanx与y=tan是奇函数,但是只有y=tanx的周期为π,y=cosx与y=|sinx|是偶函数. 答案 A (2)画出f(x)=tan|x|的图象,并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性. 解 f(x)=tan|x|化为 f(x)= 根据y=tanx的图象,作出f(x)=tan|x|的图象,如图所示, 由图象知,f(x)不是周期函数,是偶函数,单调增区间为[0,),(kπ+,kπ+π)(k∈N);单调减区间为(-,0],(kπ-π,kπ-)(k=0,-1,-2,…). 课堂达标 1.函数f(x)=tan(x+)的单调增区间是( ) A.(kπ-,kπ+),k∈Z B.(kπ,kπ+π),k∈Z C.(kπ-,kπ+),k∈Z D.(kπ-,kπ+),k∈Z 解析 由-+kπ 答案 C 2.函数y=2tan(-3x+)的最小正周期是( ) A.B. C.D.π 解析 T==. 答案 B 3.比较大小: tan________tan. 解析 因为tan>0,tan<0,所以tan>tan. 答案 > 4.函数y=tanx(≤x≤,且x≠)的值域是________. 解析 函数y=tanx在[,)上单调递增,在(,]上也是单调递增,所以函数的值域是(-∞,-1]∪[1,+∞). 答案 (-∞,-1]∪[1,+∞) 5.求函数y=tan2x的定义域、值域和周期,并作出它在区间[-π,π]内的图象. 解 由2x≠+kπ,k∈Z,得x≠+kπ,k∈Z, 即函数的定义域为{x|x≠+kπ,k∈Z}, 值域为(-∞,+∞),周期为T=,对应图象如图所示: 课堂小结 1.正切函数的图象 正切函数y=tanx有无数多条渐近线,渐近线方程为x=kπ+,k∈Z,相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线,且单调递增. 2.正切函数的性质 (1)正切函数y=tanx的定义域是, 值域是R. (2)正切函数y=tanx的最小正周期是π,函数y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的周期为T=. (3)正切函数在(k∈Z)上递增,不能写成闭区间.正切函数无单调减区间. 基础过关 1.函数y=2tan(2x+)的定义域为( ) A.{x|x≠}B.{x|x≠-} C.{x|x≠+kπ,k∈Z}D.{x|x≠+kπ,k∈Z} 解析 由2x+≠+kπ,k∈Z,得x≠+kπ,k∈Z,故函数的定义域为{x|x≠+kπ,k∈Z}. 答案 D 2.函数y=tanx+是( ) A.奇函数B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数 解析 函数的定义域是{x|x≠kπ,k∈Z},且tan(-x)+=-tanx-=-(tanx+),所以函数y=tanx+是奇函数. 答案 A 3.函数y=lgtanx的增区间是( ) A.(k∈Z)B.(k∈Z) C.(k∈Z)D.(kπ,kπ+π)(k∈Z) 解析 由tanx>0,得kπ 答案 B 4.函数y=3tan的对称中心的坐标是________. 解析 由x+=(k∈Z),得x=-(k∈Z). ∴对称中心坐标为(k∈Z). 答案 (k∈Z) 5.比较大小: tan(-)________tan(-). 解析 tan(-)=tan,tan(-)=tan, 又y=tanx在(,π)内单增, 所以tan 即tan(-) 答案 < 6.求函数y=-tan2x+4tanx+1,x∈的值域. 解 ∵-≤x≤, ∴-1≤tanx≤1. 令tanx=t,则t∈[-1,1]. ∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5. ∴当t=-1,即x=-时,ymin=-4, 当t=1,即x=时,ymax=4. 故所求函数的值域为[-4,4]. 7.设函数f(x)=tan, (1)求函数f(x)的周期、对称中心; (2)作出函数f(x)在一个周期内的简图. 解 (1)∵ω=, ∴周期T===2π. 令-=(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z), ∴f(x)的对称中心是(k∈Z). (2)令-=0,则x=. 令-=,则x=. 令-=-,则x=-. ∴函数y=tan的图象与x轴的一个交点坐标是,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=-,x=,从而得函数y=f(x)在一个周期内的简图(如图). 能力提升 8.已知函数y=tanωx在(-,)内是减函数,则( ) A.0<ω≤1B.-1≤ω<0 C.ω≥1D.ω≤-1 解析 ∵y=tanωx在(-,)内是减函数, ∴ω<0且T=≥π. ∴|ω|≤1,即-1≤ω<0. 答案 B 9.函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间内的图象是( ) 解析 当 当x=π时,y=0;当π 答案 D 10.函数y=tan(+),x∈[0,)∪(,π]的值域为________. 解析 ∵x∈[0,)∪(,π], ∴+∈[,)∪(,], 令t=+, 由y=tant,t∈[,)∪(,]的图象(如图所示). 可得,所求函数的值域为(-∞,-]∪[,+∞). 答案 (-∞,-]∪[,+∞) 11.若tan(2x-)≤1,则x的取值范围是________. 解析 由题意可得-+kπ<2x-≤+kπ,k∈Z,解之得-+kπ 答案 {x|-+kπ 12.有两个函数f(x)=asin,g(x)=btan(k>0),它们的周期之和为,且f=g,f=-·g+1.求这两个函数,并求g(x)的单调递增区间. 解 根据题意,可得: 解得 故f(x)=sin,g(x)=tan. 当kπ-<2x- 即- 所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z). 13.(选做题)函数y=sinx与y=tanx的图象在区间[0,2π]上交点的个数是多少? 解 因为当x∈时,tanx>x>sinx, 所以当x∈时,y=sinx与y=tanx没有公共点,因此函数y=sinx与y=tanx在区间[0,2π]内的图象如图所示: 观察图象可知,函数y=tanx与y=sinx在区间[0,2π]上有3个交点. 精美句子 1、善思则能“从无字句处读书”。 读沙漠,读出了它坦荡豪放的胸怀;读太阳,读出了它普照万物的无私;读春雨,读出了它润物无声的柔情。 读大海,读出了它气势磅礴的豪情。 读石灰,读出了它粉身碎骨不变色的清白。 2、幸福幸福是“临行密密缝,意恐迟迟归”的牵挂;幸福是“春种一粒粟,秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下,悠然见南山”的闲适;幸福是“奇闻共欣赏,疑义相与析”的愉悦。 幸福是“随风潜入夜,润物细无声”的奉献;幸福是“夜来风雨声,花落知多少”的恬淡。 幸福是“零落成泥碾作尘,只有香如故”的圣洁。 幸福是“壮志饥餐胡虏肉,笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。 幸福是“先天下之忧而忧,后天下之乐而乐”的胸怀。 幸福是“人生自古谁无死,留取丹心照汗青”的气节。 3、大自然的语言丰富多彩: 从秋叶的飘零中,我们读出了季节的变换;从归雁的行列中,我读出了集体的力量;从冰雪的消融中,我们读出了春天的脚步;从穿石的滴水中,我们读出了坚持的可贵;从蜂蜜的浓香中,我们读出了勤劳的甜美。 4、成功与失败种子,如果害怕埋没,那它永远不能发芽。 鲜花,如果害怕凋谢,那它永远不能开放。 矿石,如果害怕焚烧(熔炉),那它永远不能成钢(炼成金子)。 蜡烛,如果害怕熄灭(燃烧),那它永远不能发光。 航船,如果害怕风浪,那它永远不能到达彼岸。 5、墙角的花,当你孤芳自赏时,天地便小了。 井底的蛙,当你自我欢唱时,视野便窄了。 笼中的鸟,当你安于供养时,自由便没了。 山中的石! 当你背靠群峰时,意志就坚了。 水中的萍! 当你随波逐流后,根基就没了。 空中的鸟! 当你展翅蓝天中,宇宙就大了。 空中的雁! 当你离开队伍时,危险就大了。 地下的煤! 你燃烧自己后,贡献就大了 6、朋友是什么? 朋友是快乐日子里的一把吉它,尽情地为你弹奏生活的愉悦;朋友是忧伤日子里的一股春风,轻轻地为你拂去心中的愁云。 朋友是成功道路上的一位良师,热情的将你引向阳光的地带;朋友是失败苦闷中的一盏明灯,默默地为你驱赶心灵的阴霾。 7、一粒种子,可以无声无息地在泥土里腐烂掉,也可以长成参天的大树。 一块铀块,可以平庸无奇地在石头里沉睡下去,也可以产生惊天动地的力量。 一个人,可以碌碌无为地在世上厮混日子,也可以让生命发出耀眼的光芒。 8、青春是一首歌,她拨动着我们年轻的心弦;青春是一团火,她点燃了我们沸腾的热血; 青春是一面旗帜,她召唤着我们勇敢前行;青春是一本教科书,她启迪着我们的智慧和心灵。
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