《概率论与数理统计》自考365李茂精讲讲义5.docx

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《概率论与数理统计》自考365李茂精讲讲义5

第五章　大数定律及中心极限定理

内容介绍

　　本章讨论概率论与数理统计的重要理论：

大数定律及中心极限定理。

　　内容讲解

§5.1　切比雪夫不等式

　　1.切比雪夫不等式定理：

设随机变量X的期望E（X）及方差D（X）存在，则对任意小正数ε＞0，有

　　因为事件

与事件

是对立事件，所以

　　证明：

先设X是离散型随机变量，分布律为pk=P{X=xk}，则有

　　因为

所以，

　　再设X是连续型随机变量，概率密度为f（x），则有

　　同理可得另一个不等式.

　　2.切比雪夫不等式的意义：

估计X落入区间（E（X）-ε，E（X）+ε）的概率，当ε很小时此区间也很小，若D（X）也很小时，X几乎不会落到此区间的外部，所以有第一个不等式；反之，有第二个不等式.

　　例题1.P117

　　【例5－1】设X是抛掷一枚骰子所出现的点数，若给定ε=2，2.5，实际计算

　　并验证切比雪夫不等式成立。

　　【答疑编号12050101】

　　例题2.P117

　　【例5－2】设电站供电网有10000盏灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而假定所有电灯开或关是彼此独立的。

试用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800～7200的概率。

　　【答疑编号12050102】

§5.2　大数定律

　　本节从理论高度解决通过试验得到的频率随试验次数增大逐渐稳定于概率等问题.

　　1.贝努利大数定律

（1）定理：

设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A的概率，则对于任意正数ε，有

　　证明：

由已知，m～B（n,p），所以，E（m）=np，D（m）=npq，其中q=1-p；而

　　由切比雪夫不等式，对任意正数ε＞0，有

　　当n→∞时，上式右端的极限值为1，而左端的概率不超过1，所以

.

（2）解释：

此定理从理论上说明了“概率是频率的稳定值”.

　　贝努利大数定律表明，当n充分大时，“事件A发生的频率

与概率p的绝对偏差小于任意给定的正数ε”这一事件的概率可以任意接近于1，即当n充分大时“频率与概率的绝对偏差小于任意给定的正数ε”几乎必然发生。

这正是“概率是频率稳定值”的确切的含义。

　　2.独立同分布随机变量序列的切比雪夫大数定律

（1）定理：

设X1,X2，…，Xn，…是独立同分布随机变量序列，E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，（i＝1，2，…）均存在，则对于任意ε＞0有

.

　　证明：

由于X1,X2，…，Xn，…相互独立，则有

　　再由切比雪夫不等式可得

　　当n→∞时，上式右端的极限值为1，而左端的概率不超过1，所以

.

（2）解释：

这个定理从理论上说明，随机变量序列的算术平均值在统计上具有一定的稳定性，稳定于期望附近.

　　3.贝努利大数定律是切比雪夫大数定律的特殊情况

§5.3中心极限定理

　　引言：

论证随机变量和的极限分布为正态分布的一类定理称为中心极限定理。

　　许多观察表明，如果大量独立的偶然因素对总和的影响都是均匀的、微小的、彼此又是独立的，即其中没有哪一项起特别突出的作用，那么就可断定描述这些大量独立的偶然因素的总和的随机变量是近似服从正态分布的。

　　1.独立同分布随机变量序列的中心极限定理

（1）定理：

设X1,X2，…，Xn，…是独立同分布随机变量序列，且具有相同数学期望和方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，（i＝1，2，…）均存在；再设随机变量

　　的分布函数为Fn（x），则对任意实数x有

　　其中Φ（x）为标准正态分布函数.

（2）两个结论

　　①定理说明，当n充分大时，不论独立同分布随机变量服从什么分布，其和近似服从正态分布；

　　②定理说明：

当n充分大时，不论独立同分布随机变量服从什么分布，其平均值

　　例题1.P121

　　【例5－3】对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击时命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，均方差为1.5，求在100次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。

　　【答疑编号12050201】

　　例题2.P121

　　【例5－4】某种电器元件的寿命服从均值为100（单位：

小时）的指数分布。

现随机抽出16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。

　　【答疑编号12050202】

　　2.D－L中心极限定理

（1）定理：

设随机变量Zn是独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任意实数x有

，

　　其中q=1-p，Φ（x）为标准正态分布函数.

　　证明：

定义随机变量序列

i＝1，2，…，n，

且P（Xi=0）=q，P（Xi=1）=p，由上述定理知，

　　E（Zn）=np，D（Zn）=npq，

　　且

.

（2）两个结论：

　　①当n充分大时，

；

　　②当n充分大时，

.

　　例题3.P122

　　【例5－5】用中心极限定理求解§5.1例5-2的概率。

　　【答疑编号12050203】

　　例题4.P123

　　【例5－6】设某单位内部有1000台电话分机，每台分机有5%的时间使用外线通话，假定各个分机是否使用外线是相互独立的，该单位总机至少需要安装多少条外线，才能以95%以上的概率保证每台分机需要使用外线时不被占用？

　　【答疑编号12050204】

　　至此，概率论知识全部结束.

　　本章小结：

　　一、内容

　　切比雪夫不等式

　　二、试题选讲

　　1.（071023）设随机变量序列X1,X2，…，Xn，…独立同分布，且E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2＞0，i＝1，2，…，则对任意实数x，

　　【答疑编号12050205】

　　答案：

1－Φ（x）