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极限与连续
第一章函数与极限
一、教学目标
极限与连续是高等数学最基础的概念,高等数学的其他概念几乎都是建立在极限的基础之上的,所以,不仅要求学生理解和掌握极限计算方法,而且要引导学生理解和掌握极限思想,并能用极限思想分析问题解决问题.
二、基本要求
1.理解函数的概念,掌握函数的表示法,并会建立简单应用问题的函数关系式
2.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念.
3.掌握基本初等函数的性质及其图形.
4.理解极限的概念,理解函数左极限、右极限的概念,以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.会求分段函数在分段点处的极限.
5.掌握极限的性质及四则运算法则。
掌握计算极限的技巧(约公因式、有理化)与极限的反问题。
熟练计算简单函数式的极限.
6.掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限;掌握利用两个重要极限求极限的方法.
7.理解无穷大、无穷小的概念,掌握无穷小阶的比较方法,会用等价无穷小求极限.
8.理解函数连续性的概念(包括左连续右连续),会判别函数的间断点的类型.
9.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理,介值定理,零点定理),并会应用这些性质.
三、教学内容及课时分配(需16学时)
§1.1集合
§1.2
函数
2
课时
§1.3
数列的极限
2
课时
§1.4
函数的极限
2
课时
§1.5
无穷小与无穷大
1
课时
§1.6
极限的运算法则
2
课时
§1.7
极限存在准则与两个重要极限
2
课时
§1.8无穷小的比较
1
课时
§1.9函数的连续性
2
课时
习题课
2
课时
四、重点和难点
重点:
1.数列与函数的极限概念与性质
(1)极限的理解:
数列与函数的极限是自变量在一个特定变化过程中数列与函数取值的变化趋势;
(2)数列与函数极限的性质:
唯一性,有界性和保号性;
(3)左、右极限的应用:
常用于分段函数在分段点处的极限判别.
2.极限的计算
(1)利用四则运算法则求极限,应注意该法则成立的条件,并掌握计算技巧;
(2)利用无穷小的性质求极限;
(3)利用两个重要极限求极限;
(4)利用等价无穷小代换求极限;
(5)利用极限存在的两个准则求极限;
(6)极限的反问题,即已知极限值反求参数问题.
3.连续的定义与性质
(1)函数在一点连续的两个等价定义;
(2)判断分段函数在分段点处以及在定义域上的连续性;
(3)闭区间上连续函数的性质.
难点:
1.极限收敛性判别(准则与定义的应用);
2.介值定理与零点定理的应用.
五、深化与拓宽高阶无穷小、等阶无穷小的应用;极限的反问题;零点定理的应用.
六、教学方式、方法课件教学与课堂板书教学相结合;互动式教学、启发式教学法.
§1.1集合
§1.2函数
一、教学目标与要求:
复习高中知识中集合与函数的定义、几何性质与代数性质;理解函数的本质,
会建立函数关系.
二、教学重点与难点
1.区间与邻域.
2.基本初等函数.
3.复合函数及复合函数的分解(特别注意复合函数的分解)
4.简单的初等函数的性质、图形;分段函数与常见的经济函数.
三、教学方法
复习法
四、教学过程(需2课时)
(一)授课内容
从高中知识回顾中,提出基本初等函数及其性质与图形•
1.函数的定义
定义1.2.1设x,y是两个变量,D是非空实数集合,f是一个对应规则,若对每一个x・D,都有一个确定的实数y与之对应,则称这个规则f为定义在D上的函数,也称变量y是变量x的函数,记作
y=f(x)xD
称x为自变量,y为因变量;D为函数的定义域.
注:
(1)把握定义,会求函数的定义域及函数值;会判断两个函数是否是相等的.
⑵函数的表示法
(3)分段函数的概念
2.函数的基本性质
周期性、奇偶性、单调性、有界性.
3.隐函数、反函数;复合函数;重点把握复合函数的分解.
4.基本初等函数(六类)的定义及其性质.
5.初等函数的概念.
6.经济学中常用的几个函数.
(2)课堂练习
P54习题一(A)1
(1)(3)610
(1)
(2)
(3)小结本节复习集合与函数的定义、性质;基本初等函数;初等函数等重要概念。
要理解好函数的有关概念,尤其对分段函数的理解,会求函数的定义域、函数值,掌握函数的性质.
(4)课后作业
P56习题一(A)1
(2)⑷23478
(2)10(3)⑷(5)(6)1112
1.3数列的极限
、教学目标与要求
1.理解和掌握数列极限的思想.
2.理解数列极限的定义与几何意义.
3.理解数列极限的性质;子数列的极限与数列的极限的关系
二、教学重点与难点
1.数列极限的定义.
2.收敛数列的性质(唯一性、有界性、局部保号性).
三、教学方法
启发式教学法
四、教学过程(需1课时)
(一)授课内容
1.数列极限的定义
(1)描述性定义
给定数列{Xn},若随着n的无限增大,Xn无限地趋于某一确定的实数A,则称数列{Xn}当n_.时以A为极限,记作limx^A.
(2)精确定义
定义1.3.1设有数列{Xn},若存在常数A,使-;•0,存在正整数N,
当nT闵时,恒有Xn-A<名成立,则称数列{Xn}以A为极限.记作
limXn=A
n[二
定义1.3.1可以概括为如下形式(;-N定义):
nimXn=A=V®>0,3N,当n>N时,恒有’xn—AVS
2.数列极限的几何意义
3.例题
例1证明:
lim」1.例2设|q|<1,证明:
limqn=0.
n*n+1n存r
4.收敛数列的性质
定理1.3.1若数列{Xn}收敛,则它的极限唯
定理1.3.2若数列{Xn}收敛,则数列{Xn}有界(即有极限的数列必有界)
定理1.3.3若limXn二A,且A>0(或A<0),则存在正整数N,使当n>N时,
n_^c
有Xn>0(或Xn<0).
定理1.3.4若数列{Xn}收敛于A,则{Xn}的任何子数列{Xkn}都收敛于A.
(2)课堂练习
P54习题一(A)13
(2)(3)14
(1)
(3)小结
本节讲解了数列极限的定义、几何意义以收敛数列的性质
(4)课后作业
P54习题一(A)13
(1)⑷(5)14
(2)
§1.4函数的极限
、教学目标与要求
1.理解函数极限的概念(两种形式).
2.理解左、右极限的概念,掌握左、右极限与极限的关系.
3.熟练判别分段函数在分段点处的极限•
4.理解函数极限的性质(唯一性、局部有界性、局部保号性).
5.了解函数极限与数列极限的关系(即海因定理).
二、教学重点与难点
1.函数的两个极限定义的理解.
2.分段函数在分段点处极限的判断.
3.函数极限与数列极限的关系一一海因定理.
三、教学方法
讲练结合法
四、教学过程(需2课时)
(1)复习
数列极限的定义
(2)授课内容
1.4.1函数极限的定义
1.当X—;时,函数f(x)的极限
(1)当x—;匚时,函数f(x)的极限
定义1.4.1若对于>0,总存在一个正数M,使当x>M时,恒有
f(x)-A|v成立,则称当xt乜时,f(x)以A为极限.记作
limf(x)=A
X—):
:
定义1.4.1又称为;-M定义,可概括为如下形式:
lim「f(x)=A=一;0,M0,当xM时,恒有f(x)-A:
:
;.
X)--
1
例1证明:
lim0
(1)当k:
:
:
时,函数f(x)的极限
只需在定义1.4.1中,把x>M,改为xaM即可.记作limf(x)=A.
XT唸
⑵当Xr•-■时,函数f(X)的极限
只需在定义1.4.1中,把x>M改为x<—M即可.记作limf(x)=A.
注上述自变量的三种变化过程必要时应区别使用.如:
limarctanx,limarctanx,而limarctanx不存在..
X—;汽:
22x_^c
2.当x>X。
时,函数f(x)的极限
先由两个例题直观的表述此种极限的描述性定义,再引出精确定义
定义1.4.2如果对于任意的£>0,总存在正数6,使当Ocx-乞|<6时,
f(x)-A:
:
:
;恒成立,贝U称当x—;X。
时,函数f(x)以A为极限.记作
limf(x)=A
jx。
注⑴定义1.4.2可以概括如下:
limf(x)=A=Fe>0,>0,当0cx-x。
v6时,有f(x)-A£名成立.
(2)由定义可知,函数f(x)在X》Xo时有无极限与函数f(x)在点Xo处有
无定义无关.
(3)limf(x)二A的几何意义.
3.左极限与右极限
定义1.4.3如果当x从Xo的左侧趋于Xo时,f(X)无限地趋于常数A,即
-;。
,、0,当。
:
:
:
X。
-X:
时,有f(x)-A:
:
;.则称A为f(X)当X、Xo时的左极
限.记作
lim_f(x)=A或f(x°-O)=A
Xrx。
-
如果当X从Xo的右侧趋于Xo时,f(x)无限地趋于常数A,即
-;。
,、。
当。
X-X。
:
时,有f(x)-A:
:
;.则称A为f(x)当X、Xo时的右极
限.记作
lim.f(x)二A或f(xo+O)=A
V'\
4.极限与左、右极限的关系
定理1.4.1limf(x)=A=limf(x)二limf(x)
x—^0^X0—JX°+
5.例题
(1)证明:
lim(2x1)-3
xX兰1
⑵设f(x)二」—试讨论极限limf(x).
gx+1x>1J1
1.4.2函数极限的性质
1.函数极限的性质
定理1.4.2(唯一性)若limf(x)存在,则极限唯一.
^xo
定理1.4.3(局部有界性)若limf(x)存在,则在点xo的某个去心邻域内,函^x0
数f(x)有界.
定理1.4.4(局部保号性)若limf(x)=A,且A>0(或A<0),则在点xo的某^xo
个去心邻域内,有f(x)>0(或f(X)v0).
推论若在点x0的某个去心邻域内,有f(X)>0(或f(x)<0),且limf(x^A,X—^0
则A>0(或Aw0).
2.函数极限与数列极限的关系一一海因定理(定理1.4.5)
作用:
将数列极限转化为函数极限计算.
(2)课堂练习
P54习题一(A)14
(1)15
(1)
(3)小结
本节重点讲解了函数的两种极限问题:
lim.f(x)二A与limf(x)二A以及函数极
限的性质.
(4)课后作业
1.总结极限定义,有什么共性?
能否用通俗的语言给出通用定义.
2.P54习题一(A)14
(2)1617
(5)深化与拓宽
极限思想的应用一一化未知为定值的思维方式.
(6)教学中应注意的几点问题
1.学生从高中升入大学,学习环境及授课方式都发生了变化;引导和提醒学生尽快适应大学生活.强调:
自觉性、自律性.
2.课前要预习与课堂记笔记.
1.5无穷小量与无穷大量
、教学目标与要求
1.理解无穷小与无穷大的定义.
2.掌握无穷小与无穷大的性质.
3.了解无穷小与无穷大之间的关系,会判别无穷小与无穷大
二、教学重点与难点
重点:
无穷小与无穷大的判别.
难点:
无穷小的性质.
三、教学方法
讲解、启发式以及练习相结合.
四、教学过程(需1课时)
(一)授课内容
1.5.1.无穷小量的概念及其性质
1.无穷小量的定义
定义1.5.1极限为零的变量称为无穷小量,简称无穷小.即若在某个变化过程
中有iimy=o,则称在该变化过程中y为无穷小.
注
(1)强调变化过程
(2)常数0是无穷小
2.无穷小的性质
无穷小有以下性质:
定理1.5.1无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量.
推论常量与无穷小的乘积仍是无穷小.
定理1.5.2limf(x)=A充分必要条件是f(x)=A+a,其中lima=0.
无穷小还有两条显然的性质:
性质1有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
性质2有限个无穷小的积仍是无穷小.
利用上面的性质可以求极限.
limxsin,x=Qx
cosnlim
nr:
:
n
1.5.2无穷大量
1.无穷大的概念
定义1.5.2在变量y的变化过程中,如果|y|可以无限地增大,则称变量
y在该变化过程中为无穷大量,简称无穷大.记作limy=■-.
2.无穷大的性质
性质1两个(有限个)无穷大的乘积仍是无穷大
性质2无穷大与有界变量之和仍是无穷大.
3.无穷大与无穷小之间的关系
定理1.5.3在自变量的同一变化过程中,
(1)若y为无穷大,则-为无穷小;
y
(2)若y为无穷小,且y和,则-为无穷大.y
(2)深化与拓宽
定理1.5.2的运用
(3)课堂练习
P54习题一(A)25
(1)(B)1011
(4)小结
本节主要讲了无穷小与无穷大的定义,无穷小的性质及无穷大与无穷小之
间的关系.
(5)作业
P54习题一(A)25
(2)(3)⑷
§1.6极限的运算法则
、教学目标与基本要求
1.掌握极限的四则运算法则
2.掌握计算极限的技巧(约公因式、有理化)与求极限的反问题.
3.掌握复合函数极限的运算法则,会计算简单函数式的极限.
二、教学重点与难点
重点:
极限的计算
难点:
极限的反问题
三、教学方法
讲练结合教学法
四、教学过程(需2课时)
(一)复习
变量的极限以及变量极限的性质.
(二)授课内容
1.6.1四则运算法则
定理1.6.1若limf(x)=A,limg(x)=B(在每个极限均存在条件下)则
⑴lim[f(x)_g(x)]=limf(x)_limg(x)=A_B
⑵lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB-当"mg*BB0时,问谓=聽詣
四则运算法则的三个推论:
推论
推论
1设c为常数,limf(x)存在,贝Ulimcf(x)=climf(x).
2若limf(x)存在,n为正整数,则lim[f(x)]n=[limf(x)]n.
利用运算法则求极限的技巧
(1)当X-;时,“抓大头”
例1求lim
2
2x3x1
2
x—5x4x3
2
5x4x「1
lim3
Xr3x2x_5
3x3一x2lim
x):
:
2
2x1
进一步总结出规律.
(2)约公因式法
若在求极限过程中,分子、分母均趋于零且有公因式,则在求极限过程中应该先约分.
x—2x—1
例2求极限:
lim,lim2-•
7x-8x-2x-x-1
(3)
有理化法
若极限式中含有无理式,且无理式导致不能运用法则,则将其有理化
(4)无穷和式的极限
例4求极限:
⑸极限的反问题
所谓极限的反问题,指的是已知极限值(或存在),反求函数中的参数问题.
例5若limx2-2xk=4,求k的值.
x-3
1.6.2复合函数的极限
定理1.6.2设y=f[(|(x)]是函数y=f(u)与u=©(x)的复合函数,若
lim(x)=u°,limf(u)=A,且当O<|x-Xol
(x)=u0,则
x—x—比
limf['(x)]=limf(u)二A
xwuJU0
(3)练习
P5618
(1)(3)(5)
(4)小结
1.极限的四则运算法则及其用法.
2.对给定的待求式子,仔细观察其特点,选择适当的方法计算抓大头法及其适用范围
约公因式法及其适用范围
有理化法及其适用范围
(5)作业
P54习题一(A)18⑵⑷(6)(7)(8)(9)(10)192021
§1.7极限存在准则与两个重要极限
、教学目标与要求
1.理解极限存在的两个准则,并能用准则判别简单函数(数列)的极限
2.熟练掌握两个重要极限,掌握利用重要极限求极限的方法与技巧.、教学重点与难点
重点:
利用两个重要极限求极限•
难点:
极限存在判别(准则的应用)
三、教学方法
讲练结合法
四、教学过程(需2课时)
(1)授课内容
1.7.1极限存在准则
定理1.7.1(夹逼定理)若函数f(x),g(x),h(x)满足以下条件:
⑴当xU(x°,r)时,有g(x)岂f(x)岂h(x);
(2)limg(x)=limh(x)=A.
x_^xo^-^0
则limf(x)=A.
X_^o
定理1.7.2单调有界数列必有极限.
1
例1求极限:
lim(1n2n3n4n5n)n.
例2设a>0,X1「a,Xn-axn」,n=2,3,,求证数列{x*}极限存在,
并求之.
1.7.2两个重要极限
sinx
x
(作简单证明),给出典式:
lim皿=1.
()刃()
例1求下列极限:
(作简单的说明)
讲解应用技巧
例2求下列极限:
3.第二重要极限的现实意义一一连续复利问题
(2)练习
x
0sin5xx1x-1
⑶lim1+-I
(4)lim(1-2x)
^^0
(三)小结
本节讲授了以下问题:
1.两个准则及其应用(了解);
2.两个重要极限及其应用;
3.利用重要极限求极限是本部分的重点
(四)作业
P57-5822
(1)
(2)(3)⑷2324
§1.8无穷小阶的比较
、教学目标与要求
1.掌握无穷小量阶的比较的定义
2.熟练运用定义比较无穷小的阶
3.理解等价无穷小代换定理,会运用定理求解极限问题.
二、教学重点与难点
重点:
无穷小量阶的比较•
难点:
等价无穷小代换定理的应用.
三、教学方法
讲练结合法
四、教学过程(需1课时)
(一)授课内容
1.无穷小量的阶
设a,B为同一变化过程中的无穷小,如果
ot
⑴lim=0,称a是比B较咼阶的无穷小,记作a=0(B).
⑵lim=,称a是比B较低阶的无穷小
⑶lim曽=C(Cm0),称a与B为同阶无穷小.
ot
⑷limP=1,称a与B为等价无穷小,记作a〜B.
例1当X-.0时,下列无穷小与相比是什么阶的无穷小?
2
⑴x+tan2x
(2)sin2x(3)x+2x
I1
例2证明:
当x>0时,
(1)ln(1x):
x;
(2)ex-1:
x;(3)n1xx.
n
2.等价无穷小代换定理
f(x)
定理1.8.1设f1(x):
f2(x),g1(x):
g2(x),且lim2存在,则g2(x)
g1(x)g2(x)
sin2x
x33x
(exT)sinx
1一cosx
(二)深化与拓宽
1.等价无穷小的代换
2.a=0(B)的应用(用已知极限表示欲求极限问题)
(三)练习
23
当XT0时x,xx,x2x均为无穷小,试比较它们的阶
(四)小结
1.无穷小阶的比较;
2.等价无穷小的代换.
(五)作业
P54习题一(A)262728
§1.9函数的连续性
、教学目标与要求
1.理解函数连续性的概念(包括左连续右连续),会判定函数的连续性
2.了解函数的间断点的分类,能指出间断点及其类型.
3.了解连续函数的性质和初等函数的连续性.
4.理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理,介值定理,零点定理),并会应用这些性质•
二、教学重点与难点
重点:
1.函数连续的定义及其连续性的判断.
2.分段函数连续性的讨论.
3.函数的间断点及其分类•
4.闭区间上连续函数的性质,零点定理及其应用.
难点:
函数的连续性的证明及介值性定理、零点定理的应用•
三、教学方法
启发式教学法
四、教学过程(需2课时)
(一)授课内容
1.9.1函数的连续性
1.增量(改变量)的概念与计算
定义1.9.1设变量t从初值to改变到终值t1,终值与初值之差t1-to称为变量t的改变量,记作?
t,即?
t=t1-to.
P46例1
2.函数在一点的连续性
(1)函数y=f(x)在点xo处连续的定义
定义1.9.2设函数y=f(x)在点xo的某邻域内有定义,当自变量x在点xo处取得的改变量Ax趋于零时,函数相应的改变量Ay也趋于零,即刃也y=o,则称函数f(x)在点xo处连续.
定义1.9.2的等价定义如下:
定义1.9.3设函数f(x)在Xo的某邻域内有定义,若limf(x)=f(Xo),贝U称函数f(x)在点xo处连续,xo是函数f(x)的连续点.
注定义1.9.2与定义1.9.3要区别使用,前者侧重于证明,后者侧重于判断.
在判断函数f(x)在点xo处是否连续时,应考察以下三个条件是否同时成立:
10在Xo的某邻域内有定义;20limf(x)存在;3°limf(x)=f(Xo).
⑵函数f(x)在点Xo处左、右连续的定义
定义194如果limf(x)=f(Xo)称函数f(X)在点Xo处左连续;
若limf(x)=f(Xo),称函数f(X)在点Xo处右连续•x「x-
3.函数f(X)在区间上连续
定义195如果函数f(x)在(a,b)内任一点都连续,称f(x)在(a,b)内连
续;如果f(x)在(a,b)内连续,在a点右连续,在b点左连续,则称f(x)在[a,b]上连续•
1.9.2函数的间断点及其类型
1.函数间断点的定义
由于函数函数f(X)在点Xo处连续需满足三个条件:
1°在Xo的某邻域内有定义;2°limf(x)存在;3olimf(x)=f(Xo).
—Xo—Xo
若函数f(x)在Xo点不能满足上述三条,则称函数f(X)在点Xo处不连续,称
点Xo为f(X)的间断点.
求下列函数的间断点:
1
(1)f(x)=-
x
sin—X
x式0
0
x=0
\-1
xc0
0
x=0
.X+1
X=0
1
y=
f(X)=
2.函数间断点的分类:
左右极限均存在的间断点为第一类间断点;其余的为第二类间断点
按极限状态分别称:
无穷间断点、跳跃间断点、振荡间断点与可去间断点
1.9.3初等函数的连续性
1.连续函数的运算法则
定理1.9.1(连续函数的四则运算)
定理1.9.
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