高考理科数学一模考试试题带答案.docx
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高考理科数学一模考试试题带答案
2013年高考理科数学一模考试试题(带答案)
绝密★启用前
揭阳市2013年高中毕业班第一次高考模拟考试试题
数学(理科)
本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
参考公式:
样本数据的回归方程为:
其中,,.是回归方程得斜率,是截距.
一.选择题:
本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数在复平面内对应的点分别为,则
A.B.C.D.
2.已知集合,集合,则=
A.B.C.D.
3.在四边形ABCD中,“,且”是“四边形ABCD是菱形”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.当时,函数取得最小值,则函数
A.是奇函数且图像关于点对称B.是偶函数且图像关于点对称
C.是奇函数且图像关于直线对称D.是偶函数且图像关于直线对称
5.一简单组合体的三视图及尺寸如图
(1)示(单位:
)
则该组合体的体积为.
A.72000B.64000
C.56000D.44000图
(1)
6.已知等差数列满足,,则前n项和
取最大值时,n的值为
A.20B.21C.22D.23
7.在图
(2)的程序框图中,任意输入一次与,
则能输出数对的概率为
A.B.C.D.
8.已知方程在有两个不同的解(),则下面结论正确的是:
A.B.
C.D.
二、填空题:
本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.
(一)必做题(9-13题)
9.计算:
=.
10.若二项式的展开式中,第4项与第7项的二项式系数相等,则展开式中的系数为.(用数字作答)
脚长20212223242526272829
身高141146154160169176181188197203
11.一般来说,一个人脚掌越长,他的身高就越高,现对10名成年人的脚掌长与身高进行测量,得到数据(单位均为)如上表,作出散点图后,发现散点在一条直线附近,经计算得到一些数据:
,;某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印,量得每个脚印长为,则估计案发嫌疑人的身高为.
12.已知圆C经过直线与坐标轴的两个交点,且经过抛物线的焦点,则圆C的方程为.
13.函数的定义域为D,若对任意的、,当时,都有,则称函数在D上为“非减函数”.设函数在上为“非减函数”,且满足以下三个条件:
(1);
(2);(3),则、.
(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线:
和曲线:
,则上到的距离等于的点的个数为.
15.(几何证明选讲选做题)如图(3)所示,AB是⊙O的直径,过圆上一点
E作切线ED⊥AF,交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点C.若CB=2,
CE=4,则AD的长为.
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
在中,角所对的边分别为,且满足.
(1)求角的大小;
(2)求的最大值,并求取得最大值时角的大小.
17.(本小题满分12分)
根据公安部最新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》:
每位驾驶证申领者必须通过《科目一》(理论科目)、《综合科》(驾驶技能加科目一的部分理论)的考试.已知李先生已通过《科目一》的考试,且《科目一》的成绩不受《综合科》的影响,《综合科》三年内有5次预约考试的机会,一旦某次考试通过,便可领取驾驶证,不再参加以后的考试,否则就一直考到第5次为止.设李先生《综合科》每次参加考试通过的概率依次为0.5,0.6,0.7,0.8,0.9.
(1)求在三年内李先生参加驾驶证考试次数的分布列和数学期望;
(2)求李先生在三年内领到驾驶证的概率.
18.(本小题满分14分)
如图(4),在等腰梯形CDEF中,CB、DA是梯形的高,,,现将梯形沿CB、DA折起,使且,得一简单组合体如图(5)示,已知分别为的中点.
(1)求证:
平面;
(2)求证:
;
(3)当多长时,平面与
平面所成的锐二面角为?
图(4)图(5)
19.(本小题满分14分)
如图(6),设点、分别是椭圆
的左、右焦点,为椭圆上任意一点,且最小值为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若动直线均与椭圆相切,且,试探究在轴上是
否存在定点,点到的距离之积恒为1?
若存在,请求出点坐标;
若不存在,请说明理由.
20.(本小题满分14分)
已知函数为常数,数列满足:
,,.
(1)当时,求数列的通项公式;
(2)在
(1)的条件下,证明对有:
;
(3)若,且对,有,证明:
.
21.(本小题满分14分)
已知函数,,函数的图象在点处的切线平行于轴.
(1)确定与的关系;
(2)试讨论函数的单调性;
(3)证明:
对任意,都有成立.
揭阳市2013年高中毕业班高考第一次模拟考
数学(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数.
一.选择题:
CDCCBBDC
解析:
4.依题意可得,故选C.
5.由三视图知,该组合体由两个直棱柱组合而成,故其体积,故选B.
6.由得,由
所以数列前21项都是正数,以后各项都是负数,故取最大值时,n的值为21,选B.
7.依题意结合右图易得所求的概率为:
,选D.
8.解析:
,要使方程在有两个不同的解,则的图像与直线有且仅有三个公共点,所以直线与在内相切,且切于点,由,,选C
二.填空题:
9.2;10.9;11.185.5;12.或];13.1(2分)、(3分);14.3;15..
解析:
10.根据已知条件可得:
,所以的展开式的通项为,令,所以所求系数为.
11.回归方程的斜率,,,截距,即回归方程为,当,,
12.易得圆心坐标为,半径为,故所求圆的方程为【或.】
13.在(3)中令x=0得,所以,在
(1)中令得,在(3)中令得,故,因,所以,故.
14.将方程与化为直角坐标方程得
与,知为圆心在坐标原点,半径为的圆,
为直线,因圆心到直线的距离为,故满足条件的点的个数.
15.设r是⊙O的半径.由,解得r=3.由解得.
三.解答题:
16.解:
(1)由结合正弦定理得,----2分
从而,,-----------------------------------------------4分
∵,∴;--------------------------------------------------------------6分
(2)由
(1)知-------------------------------------------------------------7分
∴---------------------------------------8分
------9分
--------------10分
∵,∴
当时,取得最大值,------------------------------11分
此时.-----------------------------------------------------------------------12分
17.解.
(1)的取值为1,2,3,4,5.-------------------------------1分
--------------------6分
【或】
∴的分布列为:
5
0.50.30.140.0480.012
---------------------------8分
∴1.772--------10分
(2)李先生在三年内领到驾照的概率为:
-----------------12分
18.
(1)证明:
连,∵四边形是矩形,为中点,
∴为中点,--------------------------------------------------------------1分
在中,为中点,故--------------------------3分
∵平面,平面,平面;---4分
(其它证法,请参照给分)
(2)依题意知且
∴平面
∵平面,∴,------------------5分
∵为中点,∴
结合,知四边形是平行四边形
∴,----------------------------------------------------7分
而,∴∴,即-----8分
又∴平面,
∵平面,∴.------------------------------------------------9分
(3)解法一:
如图,分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系
设,则
易知平面的一个法向量为,-----------10分
设平面的一个法向量为,则
故,即
令,则,故----------------------------------------11分
∴,
依题意,,,-------------------------------------------------------13分
即时,平面与平面所成的锐二面角为.------------------------14分
【解法二:
过点A作交DE于M点,连结PM,则
∴为二面角A-DE-F的平面角,---------------------------------------------------------11分
由=600,AP=BF=2得AM,-------------------------------------12分
又得,
解得,即时,平面与平面所成的锐二面角为.----14分】
19.解:
(1)设,则有,-------------1分
-----------------2分
由最小值为得,-------------------3分
∴椭圆的方程为.---------------------------------------------4分
(2)①当直线斜率存在时,设其方程为--------------------5分
把的方程代入椭圆方程得
∵直线与椭圆相切,∴,化简得
-------------------------------------------------------------------------------------7分
同理,-----------------------------------------------------------------------------8分
∴,若,则重合,不合题意,∴-----------------------9分
设在轴上存在点,点到直线的距离之积为1,则
,即,--------------------------------------10分
把代入并去绝对值整理,
或者
前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的恒成立
则,解得;----------------------------------------------------------------------12分
②当直线斜率不存在时,其方程为和,---------------------------13分
定点到直线的距离之积为;
定点到直线的距离之积为;
综上所述,满足题意的定点为或--------------------------------------------14分
20.解:
(1)当时,,两边取倒数,得,----2分
故数列是以为首项,为公差的等差数列,
,,.------------------------------------------------------------4分
(2)证法1:
由
(1)知,故对
-------------6分
∴
.----------------------------------------9分.
证法2:
①当n=1时,等式左边,等式右边,左边=右边,等式成立;-----------------------------------------------------------------5分
②假设当时等式成立,
即,
则当时
这就是说当时,等式成立,-------------------------------------------------------8分
综①②知对于有:
.----9分]
(3)当时,
则,---------------------------------------------10分
∵,
∴--------------------------------11分
.--------------------13分
∵与不能同时成立,∴上式“=”不成立,
即对,.-----------------------------------------------------------14分
【证法二:
当时,,
则----------------------------------------------------10分
又
------------------------------------------------------------------11分
令则------------------------------------12分
当所以函数在单调递减,故当所以命题得证-----------ks5u------------------14分】
【证法三:
当时,,-------------------------11分
数列单调递减,
,
所以命题得证------------------------------------------------------------------------------------------14分】
21.解:
(1)依题意得,则
由函数的图象在点处的切线平行于轴得:
∴-------------------------------------------------------------------------3分
(2)由
(1)得----------------------4分
∵函数的定义域为
∴当时,在上恒成立,
由得,由得,
即函数在(0,1)上单调递增,在单调递减;-------------------------------5分
当时,令得或,
若,即时,由得或,由得,
即函数在,上单调递增,在单调递减;-----------------6分
若,即时,由得或,由得,
即函数在,上单调递增,在单调递减;------------7分
若,即时,在上恒有,
即函数在上单调递增,------------------------------------------------------------------8分
综上得:
当时,函数在(0,1)上单调递增,在单调递减;
当时,函数在单调递增,在单调递减;在上单调递增;
当时,函数在上单调递增,
当时,函数在上单调递增,在单调递减;在上单调递增.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9分
(3)证法一:
由
(2)知当时,函数在单调递增,,即,------------11分
令,则,-------------------------------------12分
即----------------------------------------------ks5u-----------------------------14分
【证法二:
构造数列,使其前项和,
则当时,,------ks5u-----------------------11分
显然也满足该式,
故只需证--------------------------------------------------------12分
令,即证,记,
则,
在上单调递增,故,
∴成立,
即.----------------------------------------------------------------------------14分】
【证法三:
令,
则----10分
令则,
记-----------------------12分
∵∴函数在单调递增,
又即,
∴数列单调递增,又,∴----------------------14分】
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