八下18章平行四边形导学案.docx
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八下18章平行四边形导学案
八年级数学下册第十八章平行四边形导学案
18.01平行四边形及其性质
(一)
学习目标重难点:
运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.
学习过程:
一、自主预习
1.由___条线段首尾顺次连接组成的多边形叫四边形;四边形有_条边,___个角,四边形的内角和等于_____度;
2.如图AB与BC叫___边,AB与CD叫___边;∠A与∠B叫___角,∠D与∠B叫___角;
3多边形中不相邻顶点的连线叫对角线,如图四边形ABCD中对角线有___条,它们是______
1.有两组对边__________________的四边形叫平形四边形,平行四边形用“______”表示,平行四边形ABCD记作__________。
2.如图□ABCD中,对边有______组,分别是___________________,对角有_____组,分别是_________________,对角线有______条,它们是___________________。
你能归纳
ABCD的边、角各有什么关系吗?
并证明你的结论。
二、合作解疑
1.如图,小明用一根36
长的绳子围成了一个平行四边形的场地,
其中一条边AB长为8
,其他三条边各长多少?
2.一个平行四边形的一个外角是38°,这个平行四边形的各个内角的度数分别是:
(3)
ABCD有一个内角等于40°,则另外三个内角分别为:
(4)平行四边形的周长为50cm,两邻边之比为2:
3,则两邻边分别为:
1.
ABCD中,∠A︰∠B︰∠C︰∠D的值可以是()
A.1︰2︰3︰4B.3︰4︰4︰3C.3︰3︰4︰4D.3︰4︰3︰4
2.
ABCD的周长为40cm,△ABC的周长为27cm,AC的长为()
A.13cmB.3cmC.7cmD.11.5cm
三、综合应用拓展
1.如图,AD∥BC,AE∥CD,BD平分∠ABC,求证AB=CE.
四、当堂检测
1.填空:
(1)在
ABCD中,∠A=
,则∠B=度,∠C=度,∠D=度.
1.两组对边分别______的四边形叫做平行四边形.它用符号“□”表示,平行四边形ABCD记作__________。
2.平行四边形的两组对边分别______且______;平行四边形的两组对角分别______;两邻角______;平行四边形的对角线______;平行四边形的面积=底边长×______.
3.在□ABCD中,若∠A-∠B=40°,则∠A=______,∠B=______.
4.若平行四边形周长为54cm,两邻边之差为5cm,则这两边的长度分别为______.
5.若□ABCD的对角线AC平分∠DAB,则对角线AC与BD的位置关系是______.
6.如图,□ABCD中,CE⊥AB,垂足为E,如果∠A=115°,则∠BCE=______.
7.如图,在□ABCD中,DB=DC、∠A=65°,CE⊥BD于E,则∠BCE=______.
8.若在□ABCD中,∠A=30°,AB=7cm,AD=6cm,则S□ABCD=______.
二、选择题
9.如图,将□ABCD沿AE翻折,使点B恰好落在AD上的点F处,则下列结论不一定成立的是().
(A)AF=EF(B)AB=EF(C)AE=AF(D)AF=BE
10.如图,下列推理不正确的是().
(A)∵AB∥CD∴∠ABC+∠C=180°
(B)∵∠1=∠2∴AD∥BC
(C)∵AD∥BC∴∠3=∠4
(D)∵∠A+∠ADC=180°∴AB∥CD
11.平行四边形两邻边分别为24和16,若两长边间的距离为8,则两短边间的距离为().
(A)5(B)6(C)8(D)12
12.□ABCD中,两邻角之比为1∶2,则它的四个内角的度数分别是____________.
13.□ABCD的周长是28cm,△ABC的周长是22cm,则AC的长是__________.
14、如图,在□ABCD中,M、N是对角线BD上的两点,BN=DM,请判断AM与CN有怎样的数量关系,并说明理由.它们的位置关系如何呢?
18.02平行四边形的性质.2
学习目标重难点:
能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题,和简单的证明题
(1)线段OA与OC,OB与OD有什么关系(如下图)?
由此你能发现平行四边形的对角线有什么性质?
(2).证一证
结论:
平行四边形是中心对称图形.
二、合作解疑
1.在□ABCD中,AC、BD交于点O,已知AB=8cm,BC=6cm,△AOB的周长是18cm,那么△AOD的周长是_____________.
2.□ABCD的对角线交于点O,S△AOB=2cm2,则S□ABCD=__________.
3.□ABCD的周长为60cm,对角线交于点O,△BOC的周长比△AOB的周长小8cm,则AB=______cm,BC=_______cm.
4.□ABCD中,对角线AC和BD交于点O,若AC=8,AB=6,BD=m,那么m的取值范围是____________.
5.□ABCD中,E、F在AC上,四边形DEBF是平行四边形.求证:
AE=CF.
6.如图,田村有一口四边形的池塘,在它的四角A、B、C、D处均有一棵大桃树.田村准备开挖养鱼,想使池塘的面积扩大一倍,并要求扩建后的池塘成平行四边形形状,请问田村能否实现这一设想?
若能,画出图形,说明理由.
7.已知:
如下图,ABCD的对角AC,BD交与点O.E,F分别是OA、OC的中点。
求证:
△OBE≌△ODF.
三、限时检测
1.平行四边形一条对角线分一个内角为25°和35°,则4个内角分别为______.
2.□ABCD中,对角线AC和BD交于O,若AC=8,BD=6,则边AB长的取值范围是
______.
3.平行四边形周长是40cm,则每条对角线长不能超过______cm.
4.如图,在□ABCD中,AE、AF分别垂直于BC、CD,垂足为E、F,若∠EAF=30°,AB=6,AD=10,则CD=______;AB与CD的距离为______;AD与BC的距离为______;∠D=______.
5.□ABCD的周长为60cm,其对角线交于O点,若△AOB
的周长比△BOC的周长多10cm,则AB=______,BC=______.
6.在□ABCD中,AC与BD交于O,若OA=3x,AC=4x+12,
则OC的长为______.
7.在□ABCD中,CA⊥AB,∠BAD=120°,若BC=10cm,则AC=______,AB=______.
8.在□ABCD中,AE⊥BC于E,若AB=10cm,BC=15cm,BE=6cm,则□ABCD的面积为______.
二、选择题
9.有下列说法:
①平行四边形具有四边形的所有性质;②平行四边形是中心对称图形;
③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形;
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形.
其中正确说法的序号是().
(A)①②④(B)①③④(C)①②③(D)①②③④
10.平行四边形一边长12cm,那么它的两条对角线的长度可能是().
(A)8cm和16cm(B)10cm和16cm(C)8cm和14cm(D)8cm和12cm
11.以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有()个.
(A)1(B)2(C)3(D)无数
12.在□ABCD中,点A1、A2、A3、A4和C1、C2、C3、C4分别是AB和CD的五等分点,点B1、B2、和D1、D2分别是BC和DA的三等分点,已知四边形A4B2C4D2的面积为1,则□ABCD的面积为()
(A)2(B)
(C)
(D)15
13.根据如图所示的
(1),
(2),(3)三个图所表示的规律,依次下去第n个图中平行四边形的个数是()
……
(1)
(2)(3)
(A)3n(B)3n(n+1)(C)6n(D)6n(n+1)
18.03平行四边形的性质.2课后作业学案
1.在平行四边形中,周长等于48,
(1)已知一边长12,求各边的长;
(2)已知AB=2BC,求各边的长(3)已知对角线AC、BD交于点O,△AOD与△AOB的周长的差是10,求各边的长
2.如图,
ABCD中,AE⊥BD,∠EAD=60°,AE=2cm,AC+BD=14cm,则△OBC的周长是_______cm.
3.
ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成
,
的两条线段,则
ABCD的周长是_____
.
七、课后练习
1.判断对错
(1)在
ABCD中,AC交BD于O,则AO=OB=OC=OD.()
(2)平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等.()
(3)平行四边形的两组对边分别平行且相等.()
(4)平行四边形是轴对称图形.()
2.在ABCD中,AC=6、BD=4,则AB的范围是________.
3.在平行四边形ABCD中,已知AB、BC、CD三条边的长度分别为(x+3),(x-4)和16,则这个四边形的周长是.
4.公园有一片绿地,它的形状是平行四边形,绿地上要修几条笔直的小路,如图,AB=15cm,AD=12cm,AC⊥BC,求小路BC,CD,OC的长,并算出绿地的面积.
5.如图,在ABCD中,AB=6cm,BC=11cm,对角线AC,BD相交于点O,求△BOC与△AOB的周长的差.
6.已知四边形ABCD是平行四边形,AB=10cm,AD=8cm,AC⊥BC,求BC、CD、AC、OA的长以及
ABCD的面积.
7.已知:
如上图,
ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O与AB、CD分别相交于
点E、F.求证:
OE=OF,AE=CF,BE=DF
8.如图1,已知□ABCD中,AB=4,BC=6,BC边上的高AE=2,求DC边上的高AF的长.
18.04平行四边形的判定1
学习目标:
平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用.
证一证
平行四边形判定方法1两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
证明:
(画出图形)
平行四边形判定方法2对角线互相平分的四边形是平行四边形。
证明:
(画出图形)
例1已知:
如图ABCD的对角线AC、BD交于点O,E、F是AC上的两点,并且AE=CF.
求证:
四边形BFDE是平行四边形.
2.已知:
如图,△ABC,BD平分∠ABC,DE∥BC,EF∥BC,
求证:
BE=CF
三、限时检测
1.如图,在四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,
(1)若AD=8cm,AB=4cm,那么当BC=________cm,CD=______cm时,
四边形ABCD为平行四边形;
(2)若AC=10cm,BD=8cm,那么当AO=______cm,DO=______cm时,四边形ABCD为平行四边形.
2.已知:
如图,ABCD中,点E、F分别在CD、AB上,DF∥BE,EF交BD于点O.求证:
EO=OF.
课后作业
1.已知:
四边形ABCD中,AD∥BC,要使四边形ABCD为平行四边形,需要增加条件.(只需填上一个你认为正确的即可).
6.如图:
ABCD中,BE⊥CD,BF⊥AD,垂足分别为E、F,∠EBF=60°AF=3
,CE=4.5
,则∠C=,AB=
,BC=
.
7.将两个全等的不等边三角形拼成平行四边形,可拼成的不同的
平行四边形的个数为______.
三、解答题
9.已知:
如图所示,在
ABCD中,E、F分别为AB、CD的中点,
求证四边形AECF是平行四边形.
`
10.如图所示,BD是
ABCD的对角线,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,求证:
四边形AECF为平行四边形.
11.已知,如图,平行四边形ABCD的AC和BD相交于O点,经过O点的直线交BC和AD于E、F,求证:
四边形BEDF是平行四边形。
(用两种方法)
12.已知:
如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,M、N分别是OA、OC的中点,求证:
BM∥DN,且BM=DN.
18.05平行四边形的判定2
学习目标重难点:
平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用.
一、自主预习
1.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
证明:
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
已知:
如图,在中,AB=CDAB∥CD,求证:
.
证明:
2.几何语言表述:
∵AB=CD,AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形.
二、合作解疑(25分钟)
1.已知:
如图,
ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,求证:
BE=DF
2.已知:
如图,
ABCD中,E、F分别是AC上两点,且BE⊥AC于E,DF⊥AC于F.
求证:
四边形BEDF是平行四边形.
3.如图,在□ABCD中,E、F分别是边AB、CD上的点,已知AE=CF,M、N是DE和FB的中点,求证:
四边形ENFM是平行四边形.
三、限时检测
1.如图,△ABC是等边三角形,P是其内任意一点,PD∥AB,
PE∥BC,DE∥AC,若△ABC周长为8,则PD+PE+PF=。
2.四边形ABCD是平行四边形,BE平分∠ABC交AD于E,DF
平分∠ADC交BC于点F,求证:
四边形BFDE是平行四边形。
3.已知□ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,AF与EB交于G,CE与DF交于H,
求证:
四边形EGFH为平行四边形。
4.如图,在四边形ABCD中,AB=6,BC=8,∠A=120°,∠B=60°,∠BCD=150°,求AD的长。
5.已知:
如图,在□ABCD中,点E、F在对角线AC上,且AE=CF.请你以F为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一组线段相等即可).
(1)连结______;
(2)猜想:
______=______;
(3)证明:
6.
已知如图:
在
ABCD中,延长AB到E,延长CD到F,使BE=DF,则线段AC与EF是否互相平分?
说明理由.
18.06平行四边形的判定2课后作业学案
1.能判定一个四边形是平行四边形的条件是().
(A)一组对边平行,另一组对边相等(B)一组对边平行,一组对角互补
(C)一组对角相等,一组邻角互补(D)一组对角相等,另一组对角互补
2.能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是().
(A)AD=BC,AB∥CD(B)∠A=∠B,∠C=∠D
(C)AB=BC,AD=DC(D)AB∥CD,CD=AB
3.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是:
∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值为().
(A)1∶2∶3∶4(B)1∶4∶2∶3(C)1∶2∶2∶1(D)1∶2∶1∶2
4.如图,E、F分别是□ABCD的边AB、CD的中点,则图中平行四边形的个数共有().
(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个
5.□ABCD的对角线的交点在坐标原点,且AD平行于x轴,
若A点坐标为(-1,2),则C点的坐标为().
(A)(1,-2)(B)(2,-1)(C)(1,-3)(D)(2,-3)
6.如图,□ABCD中,对角线AC、BD交于点O,将△AOD平移至△BEC
的位置,则图中与OA相等的其他线段有().
(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条
7.如图,在□ABCD中,E、F分别是边AD、BC上的点,
已知AE=CF,AF与BE相交于点G,CE与DF相交于点H.
求证:
四边形EGFH是平行四边形.
8.如图,在□ABCD中,E、F分别在边BA、DC的延长线上,已知AE=CF,P、Q分别是DE和FB的中点,求证:
四边形EQFP是平行四边形.
9.如图,在□ABCD中,E、F分别在DA、BC的延长线上,已知AE=CF,FA与BE的延长线相交于点R,EC与DF的延长线相交于点S,求证:
四边形RESF是平行四边形.
10.已知:
如图,四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC,点E在BC上,点F在AD上,AF=CE,EF与对角线BD交于点O,求证:
O是BD的中点.
11.已知:
如图,△ABC中,D是AC的中点,E是线段BC延长线上一点,过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F,连结AE、CF.求证:
CF∥AE.
12.如图所示,□ABCD的对角线AC、BD交于O,EF过点O交AD于E,交BC于F,G是OA的中点,H是OC的中点,四边形EGFH是平行四边形,说明理由.
18.07平行四边形的判定(三)
学习目标重难点:
三角形中位线性质的证明(辅助线的添加方法)
1.三角形中位线定义:
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
【思考】:
(1)想一想:
①一个三角形的中位线共有几条?
②三角形的中位线与中线有什么区别?
(2)三角形的中位线与第三边有怎样的关系?
.
归纳:
三角形中位线的性质:
三角形的中位线平行与第三边,且等于第三边的一半.
二、合作解疑
1.已知:
如图,四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
求证:
四边形EFGH是平行四边形.
2.已知:
△ABC的中线BD、CE交于点O,F、G分别是OB、OC的中点.
求证:
四边形DEFG是平行四边形.
三、限时检测
1.如图,△ABC的周长为64,E、F、G分别为AB、AC、BC的中点,A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点,△A′B′C′的周长为_________.如果△ABC、
△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形,按照
上述方法继续作三角形,那么第n个三角形的周长是__________________.
3.△ABC中,D、E分别为AB、AC的中点,若DE=4,AD=3,
AE=2,则△ABC的周长为______.
4.(填空)如图,A、B两点被池塘隔开,在AB外选一点C,连结AC和BC,并分别找出AC和BC的中点M、N,如果测得MN=20m,那么A、B两点的距离是m,理由是.
5.(填空)一个三角形的周长是135cm,过三角形各顶点作对边的平行线,则这三条平行线所组成的三角形的周长是cm.
6.(填空)已知:
△ABC中,点D、E、F分别是△ABC三边的中点,如果△DEF的周长是12cm,那么△ABC的周长是cm.
7.已知:
三角形的各边分别为8cm、10cm和12cm,求连结各边中点所成三角形的周长.
8.如图,△ABC中,D、E、F分别是AB、AC、BC的中点,
(1)若EF=5cm,则AB=cm;若BC=9cm,则DE=cm;
(2)中线AF与DE中位线有什么特殊的关系?
证明你的猜想.
9.已知:
如图,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:
四边形EFGH是平行四边形.
10.已知:
如图
(1),在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
求证:
四边形EFGH是平行四边形
18.08矩形
(1)
学习目标:
掌握矩形的概念和性质,理解矩形与平行四边形的区别与联系.
一、观察图形特征,得出概念.
叫做矩形.
矩形的性质:
矩形是一个特殊的平行四边形,它除了具有四边形和平行四边形所有的性质,还有:
矩形的四个角______;矩形的对角线______;矩形是轴对称图形,它的对称轴是____________.
二、合作解疑
1、问题一如图,矩形ABCD,对角线相交于O,观察对角线所分成的三角形,你有什么发现?
2、问题二将目光锁定在Rt△ABC中,你能发现它有什么特殊的性质吗?
证明:
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.”
已知:
图形:
画在下面
求证:
证明:
四、例题学习例:
已知:
如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,且AC=2AB。
求证:
△AOB是等边三角形。
(注意表达格式完整性与逻辑性)
拓展与延伸:
本题若将“AC=2AB”改为“∠BOC=120°”,你能获得有关这个矩形的哪些结论?
综合应用拓展
1、在矩形ABCD中,两条对角线AC、BD相交于O,∠ACD=30°,AB=4.
(1)判断△AOD的形状;
(2)求对角线AC、BD的长.
三、限时检测1.(填空)
(1)矩形的定义中有两个条件:
一是,二是.
(2)已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°,则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、.
(3)已知矩形的一条对角线长为10cm,两条对角线的一个交角为120°,则矩形的边长分别为cm,cm,cm,cm.
2.(选择)
(1)下列说法错误的是().
(A)矩形的对角线互相平分(B)矩形的对角线相等
(C)有一个角是直角的四边形是矩形(D)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
(2)矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有().
(A)2对(B)4对(C)6对(D)8对
3.已知:
如图,O是矩形ABCD对角线的交点,AE平分∠BAD,∠AOD=120°,求∠AEO的度数.
4.如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点E处,求证:
EF=DF.
5.如图,AC是矩形ABCD的对角线,EF平分AC于点O,且分别交AD,BC于点E,F,求证:
ED=BF.
18.09矩形
(1)课后作业学案
七、课后练习
1.(选择)矩形的两条对角线的夹角为60°,对角线长为15cm,较短边的长为().
(A)12cm(B)10cm(C)7.5cm(D)5cm
2.在直角三角形ABC中,∠C=90°,AB=2AC,求∠A、∠B的度数.
3.已知:
矩形ABCD中,BC=2AB,E是BC的中点,求证:
EA⊥ED.
4.如图,矩形ABCD中,AB=2BC,且AB=AE,求证:
∠CBE的度数.
5、已知:
如图,E为矩形ABCD内一点,且EB=EC。
求证:
EA=ED.
1.如图,矩形纸片ABCD,且AB=6cm,宽BC=8cm,将纸片沿EF折叠,使点B与点D重合,求折痕EF的长。
2.已知矩形ABCD中,对角线交于点O,AB=6cm,BC=8cm,P是AD上一动点,PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,则PE+PF的值是多少?
这个值会随点P的移动(不与A、D重合)而改变吗?
请说明理由.
3.已知:
如图,矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,∠BOC=120°,AB=4cm。
求矩形对角线的长。
4.如图,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,交CD于点E,点F在边BC上,
(1)、如果FE⊥AE,求证FE=
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