数学必修4第二章平面向量知识点.docx
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数学必修4第二章平面向量知识点
数学必修4第二章平面向量知识点
平面向量的实际背景及基本概念
1.
向量:
既有大小又有方向的量
3.注:
向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小
4.几类特殊向量
II
(1)零向量:
长度为o的向量,记为0,其方向是任意的,"0与任意向量平行,
III
零向量a=0|a丨二0。
由于0的方向是任意的,且规定0平行于任何向量,
故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
(注意与0的区别)
(2)单位向量:
模为1个单位长度的向量,向量a0为单位向量[X丨1。
将一个
aea2
向量除以它的模即得到单位向量,女口a的单位向量为:
|a|
⑶平行向量(共线向量):
方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作a//
b。
规定:
0与任何向量平等,
任意一组平行向量都可以移到同一直线上,由于向量可以进行任意的平移
(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量。
、的含义,
数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”
要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
(4)相反向量:
与a长度相等、方向相反的向量,叫做a的相反向量。
记作
关于相反向量有:
①零向量的相反向量仍是零向量,②(a)=a;③
(2)向量加法的法则一“三角形法则”与“平行四边形法则”
1用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线。
2三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向
a=b,b=a,a+b=0。
(5)相等向量:
长度相等且方向相同的向量。
记为ab。
相等向量经过平移后
总可以重合
平面向量的线性运算
1.向量加法
(1)定义:
求两个向量和的运算叫做向量的加法
设aBa,BCb,贝ua+b=aBbC=ac
规定:
0aa0a;
最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和
3注:
当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接
时,用三角形法则。
4向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:
aBbCcdpQqRaR,但这时必须“首尾相连”。
(3)
向量加法的运算律:
2.法向量的减
(i)定义:
若a1b则向量x叫做a与b的差,记为ba。
求两个向量
差的运算,叫做向量的减法。
平行四边形法则:
两个已知向量是要共始点的,,
-b=abaCcB
线。
设aB
差向量是如图所示的对角
b则a
点指向被减向量a的终点的向量。
3.实数与向量的积
(1)定义:
实数入与向量a的积是一个向量,记作a,它的长度与方向
规定如下:
1aa;
2当0时,a的方向与a的方向相同;当0时,a的方向与a的方
向相反;当0时,a0,方向是任意的。
(2)数乘向量的运算律
(a)()a:
②()
:
③(
平面向量的基本定理及坐标表示
1.平面向量基本定理:
如果e,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内
的任一向量a,有且只有一对实数入1,入2使a=^ie+入2佥.
注意:
(1)我们把不共线向量ei、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;
(2)基底不惟一,关键是不共线;
2.向量的夹角:
已知两个非零向量a、b,作OAa,OBb,则/AOB=,叫向量a、
b的夹角,当=0°,a、b同向,当=180°a、b反向,当=90°a与b垂直,
记作a丄b。
3.平面向量的坐标表示:
在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量r,j作为基底,由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量a可表示成扌xi#yj,由于£与数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量扌的
II
坐标,记作a=(x,y),其中x叫作a的横坐标,y叫做作纵坐标。
规定:
1I(1,0),j(0,1)
2相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量;
3向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与
其相对位置有关
4.
平面向量的坐标运算:
2若AXi,yi,BX2,y2,则ABX2人必*;
II
3
(x2,y2),则a〃b
Xiy2X2yi
XX2yiy2
(xi,yi),b(X2
Jrb
Jra
则
y2
%
X2,
X1
若a=(x,y),贝Ua=(x,y);
附:
向量的表示万法:
i•几何表示法:
用带箭头的有向线段表示,如AB,注意起点在前,终点在后;
5.2•符号表示法:
用一个小写的英文字母来表示,如a,b,c等;
6.
y
X,qyjqxl
ra
3•坐标表示法:
在平面内建立直角坐标系,以与x轴、y轴方向相同的两个
单位向量i,j为基底,则平面内的任一向量a可表示为
称x,y为向量a的坐标,a=x,y叫做向量a的坐标表示。
如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
运算
向量形式
坐标形式:
ax1,y1;
bX2,y2
加法
Vi>平行四边形法则:
起点相同,对角线为和向量。
<2>三角形加法法则:
首尾相连。
记:
ABbCAc
ab为X2,yiy2
减法
起点相同的两个向量的差,指向被减向量)
记:
oAoBbA
aBaCcB
(箭头
ab
Xi
X2,yiy2
数乘
a是一个向量,|
a
Xi,
yi
方向:
0时,与a同向;
0时,
与a反向;0时,a
0
数量积
abihbicos
ab
为X2
yiy2
运算性
①交换律:
abb<
i;②结合律:
a
bcabc;
质
i
③a00aa。
加法:
■4a
平面向量的数量积
(1)平面向量的数量积的定义
b.1—#■■■■—►
①向量a,b,的夹角:
已知两个非零向量a,b,过0点作OAa,OBb,则
/AOB=0(0°<9<1800)叫做向量a,b,的夹角。
当且仅当两个非零向量a,b同方向时,B=0,当且仅当a,b反方向时B=180,同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。
②a与b垂直;如果a,b的夹角为90则称a与b垂直,记作ab
bcos叫做称
③a与b的数量积:
两个非零向量a,b,它们的夹角为B,则
v1.0可编辑可修改
Pa~~oa
10a与b的数量积(或内积)
记作ab,即ab=abcos
0
④b在a方向上的投影:
OP
lbcos(
ab)
a)
R(注意|0P是射影)所以,ab
零向量a与b当且仅当ab时,B=90,这时ab=0
的几何意义:
ab等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积。
设a,b是两个非零向量,
(2)平面向量数量积的性质
e是单位向量,于是有:
①eaaeacos:
②
(3)
平面向量数量积的坐标表示
特别注意:
(1)结合律不成立:
abcabc;
(2)消去律不成立
abac不能得到bc(3)ab=0不能得到a=0或b=0
—r—rr-rr2r2f2|f|2
④但是乘法公式成立:
abababa艸;
--212—1-2
2「r
r2
aba2abb
a
2ab
b
④cos
—w—r—e-—r
①若a=(xi,yi),b=(X2,y2)贝Uab=xiX2+yiy2
若a=(xi,yi),b=(x2,y2)则cos
②若a=(x,y),贝U|a|2=a.a=x2+y2,aJx2y2
③若A(x1,y1),B(x2,y2),则
AB
/22vX2X1y2y1
④若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则a
bX1X2y』20(注意与a//b时条件区别,
—
a//bx1y2x2y10)
XiX2yiy2
(~22!
22
Xiyi,X2y2
平面向量应用列举
1、线段的定比分点
(1)定义:
设Pi,P2是直线L上的两点,点P是L上不同于Pi,P2的任意一点,
则存在一个实数,使p1ppp2,
叫做点P分有向线段RP2所成的比。
当点P在线段P1P2上时,0;当点P在
线段RP2或RF2的延长线上时,<0
(2)定比分点的坐标形式
1y1
y,其中Pi(x1,y1),P
y2
2(X2,y2),P(x,y)
,向量形式呢
X2
(3)中点坐标公式
当=1时,分点P为线段RP2的中点,即有
%y2
2
向量形式呢
x
2、平移
(1)图形平移的定义:
设F是坐标平面内的一个图形,将图上的所有点按照同
一方向移动同样长度,得到图形F,我们把这一过程叫做图形的平移。
(2)平移公式设P(x,y)是图形F上任意一点,它在平移后图形上的对应点
I
xxh
P(x,y),且PP'的坐标为(h,k),则有,,这个公式叫做点的平
yyk
移公式,它反映了图形中的每一点在平移后的新坐标与原坐标间的关系。
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