完整word版大一下册高数习题册答案第9章.docx
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完整word版大一下册高数习题册答案第9章
第9章多元函数的微分法及其应用
1
、设f(x,y)x2
多元函数概念
y2,(x,y)
求:
f[(x,y),y2].
答案:
f((x,y),y2)(x2
2\2
y)
x42x2y22y4
1、
、求下列函数的定义域:
f(x,y)-x2(1y)
1
x2
2
{(x,y)|y
x21};
2、
.y
zarcsin
x
求下列极限:
2.
xsin
、lim2
(x,y)(0,0)x2
{(x,y)|yx
x
0};
(0)
四、
2
证明极限丿叫右心
证明:
当沿着x轴趋于(0,0)
时,极限为零,当沿着
趋于(0,0)时,极限为-
2
二者不相等,所以极限不存在
五、证明函数f(x,y)xysin茯七,(x,y)
0,(x,y)
f(x,y)为初等函数,连续
(0,0)
(0,0)
在整个xoy面上连续。
证明:
当(x,y)(0,0)时,
1
limxysin0
(x,y)(0,0)J22
vxy
f(0,0),所以函数在(
。
当(x,y)(0,0)时,
0,0)也连续。
所以函数
在整个xoy面上连续。
六、设zxy2f(xy)且当y=0时zx2,求f(x)及z的表达式.
解:
f(x)
2=x
x,z
x22y22xyy
§2
偏导数
1、设z=xy
y
xex
,验证
zz
xyxyz
xy
yy
y
y
证明:
丄
ye
x工ex
,—xex,x—
z匚
yxyxyxexxyz
x
x
yx
y
2、求空间曲线
1在点(—,-,1)处切线与y轴正向夹角
(一)
y224
2
3、设f(x,y)xy(y1)2a如;求fE
(1)
4、设u
xl求-
u
u
u
x
y
z
z
z
解:
上
z1
y
x
u
zy.
2xInx
x
y
y
y
z
12
5、设ux2y2z2,证明:
U
x
u
z
z
xylnx
y
2u2
6判断下面的函数在(0,0)处是否连续?
是否可导(偏导)
?
说明理由
f(x,y)
0,
xsin二x
x2
x2
limf(x,y)0f(0,0)
x0
y0
连续;
fx(0,0)
xim0
0
1
sin—2
x
不存在,
fy(0,0)lim0
八y0y0
7、设函数f(x,y)在点(a,b)处的偏导数存在,求
limf(ax,b)f(ax,b)
x0
(2fx(a,b))
3全微分§
1、单选题
(1)二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的
(A)必要条件而非充分条件(B)充分条件而非必要条件
(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件
(2)对于二元函数f(x,y),下列有关偏导数与全微分关系中正确的是
(A)偏导数不连续,则全微分必不存在
(C)全微分存在,则偏导数必连续
2、求下列函数的全微分:
(B)偏导数连续,则全微分必存在
(D)全微分存在,而偏导数不一定存在
1)z
y
dzex
2)z
3)u
sin(xy2)
y_
xz解:
解:
dz
y
dux
z
*
x
22cos(xy)(ydx
「•1
xdy)
2xydy)
y
.y_
dxxzlnxdy2xzlnxdzzz
3、设zycos(x2y),求dz
(0,4)
解:
dzysin(x2y)dx(cos(x2y)
2ysin(x2y))dy
dzKO^rdx2dy
z
4、设f(x,y,z)2
x
求:
df(1,2,1)
—(2dx4dy5dz)
25
5、讨论函数f(x,y)
(x2
1
)sin
/122
xy
的连续性、偏导数、
(x,y)(0,0)在(0,0)点处
(x,y)(0,0)
可微性
j
x2
解:
(J)m(0,0)(X2y2)sin^
f(0,0)
所以f(x,y)在(0,o)点处连续。
fx(0,0)lim
(x,y)(0,0)
f(x,y)0
.(x)2(y)2
4
f(x,0)f(0,0)
0,fy(0,0)
lim
(x,y)(0,0)
f(0,y)f(0,0)0
0,所以可微。
、rV
1、设zu,u
sint,v
多元复合函数的求导法则
et求dz
e,求一
dt
解:
字cost.(si刖
Insint(sint)ed
2、设z(xy)2x3y,,
z(2x3y)(x
3、设Z
xnf&),
4、设z
f(x2
解:
—
x
2xf1
y
=2f1
4xyfn
2x3y1
y)3(x
f可微,证明
\2x
y)
3yln(x
z
2y-
y
y),
nz
2
y,2xy),其中f具有二阶连续偏导数,求
2yf2
2xf2
2
—2x(fn(2y)f122x)xy
4(x2y2)f124xyf22
2
z
2
X
2
z
2
y
2f22y(f21(
2y)f222x)
5、
解:
6、
解:
7、设Z
其中
证明:
2
z
2
y
得:
2fi
4xf118xyf12
f(xy,f)
4f2
x
y(fn
F(x,y,z),
du
dx
2z
4yf22,2
y
2fi
4yf8xyf12仁2
4xf22
/X、
g(—),
y
1
g
y
其中
12
f具有二阶连续偏导数、
g具有二阶连续导数,求
2(f12x
x
22
-)
x
f(x,y),y
(x),求字
dx
F1F2(x)
u
z(u,v),且变换
v
F3(fx
x
z具有二阶连续偏导数,求常数
(x))。
2y可把方程6
ay
a
的值
(10
4a
uv
2
z
za-
v
2
z
v2
2
z
-2
x
3)
2z
~2
x
2Tu
(a
2z
=0
化为
2z
2
z
-2
u
(a
uv
2
2)z
uv
2
u
~2
v
2
u
ar
v
5a)(6
uv
2u
a2)2
v
a=3
8、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数,又,(x)
fx,f[x,f(x,x)]求
f(1,1)=1,f
(1).和
/
(1)
5隐函数的求导公式§
.dy
1、设ylnyxy,求dx
解:
令F(x,y)ylnyxy,Fx1,Fylny,凹
dx
2、设z
z(x,y)由方程
2x
2
y
2z
yfU)确定,其中
y
“2
22、Z
2xy
z
2xz
(x
yz)—
—
x
y
3、设z
z(x,y)由方程
x
ey
z所确定,
其中f可微,求
z
2
z
zz
z
z
z
xx(1
Z),y1
J
z
xy
x(1z)3
2z
/(1,1)a,
f<(1,1)b
(1),(a+ab+ab+b3)
1
lny
f可微,证明
4、
2
y
dz
dx
¥0)
解:
令F(x,y,z)F(xy,y
乙xz),则—旦
F1y
zF3
z
Fy
F-ixF2
xFz
F2
XF3
y
Fz
F2XF3
6、
设zf(x,y)由方程z
xyezxy0所确定,
求dz
(
dz
dx
dy)
z(x,y)由方程F(xy,y
z,xz)
F可微,
设
5、
z
y
0所确定,
7、设z=z(x,y)由方程3xyxcos(yz)
z3xy.yin3cos(yz)
2,
x3zxysin(yz)
z3y所确定,求-z,—
xy
zx.3xyln3xzsin(yz)1
2
y3zxysin(yz)
6微分法在几何中的应用§
1、
求螺旋线x
2cost,y2sint,z
3t在对应于t匸处的切线及法平面方程
解:
切线方程为
y、2
2、
法平面方程
2
x
求曲线
z2
解:
切线方程为
2(x
x2
22
求曲面2x3y
解:
切平面方程为2(x
x1
及法线方程——
2
3、
z2
.2).2(y.2)
3(z
4
2
z
1)
50
在(3,4,5)
处的切线及法平面方程
y4
3
9在(1,
z5
0
-1,2)
3(y1)2(z
z2
,法平面方程:
4x3y0
处的切平面及法线方程
2)0
y
3
4、设f(u,v)可微,证明由方程f(axbz,aybz)0所确定的曲面在任一点处的切平面与定向量平行
证明:
令F(x,y,z)f(axbz,aybz),贝y
Fx
f1a,Fy
f2a,Fz
bf1bf2,n(f1a,f2a,bf1bf2)
n(b,b,a)
2
5、证明曲面x3
方和为a2
0,
2
y3
所以在(
2
z3
x°,y°,z°)处的切平面与定向量(b,b,a)平行。
2
a^(a
0)上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平
证明:
令F(x,y,z)
2
y3
2
z3
2
a3,则Fx
-2-
3,Fy-y3,Fz
(0,0,0)
7方向导数与梯度
11
在任一点X0,y0,Z0处的切平面方程为X03(xX。
)y。
列yy。
)z。
列zZ0)
121212
在在三个坐标轴上的截距分别为x03a3,y0sa3,z^a3,在三个坐标轴上的截距的平方和为
0)处的切平面都通过原点
证明曲面zxf(―)上任意一点M(x0,y0,z0),(x0
x
7、设F(x,y,z)具有连续偏导数,且对任意实数t,总有F(tx,ty,tz)tkF(x,y,z)k为自然数,试证:
曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点证明:
F(tx,ty,tz)tkF(x,y,z)两边对t求导,并令t=1
xFxyFyzFzkF(x,y,z)
设是曲面上任意一点,则过这点的切平面为:
1、
2
设函数f(x,y)x
2)在点(1,3)处沿着方向
解:
梯度为gradf(1,3)
f
l
(1,3)cos
2、
解:
xy
2
y,1)求该函数在点(1,3)处的梯度。
l的方向导数,并求方向导数达到最大和最小的方向
i5j:
5sin,方向导数达到最大值的方向为
s(1,5),方向导数达到
(1,5)。
2
zx在(1,2,-1)处沿方向角为
最小值的方向为
2
求函数uxy
方向导数,并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。
33
1,该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向
2
s
2
yz
600
90°
1500的
:
方向导数为u
l
(1,2,1)
gradu(1,2,1)2i5j
3k,此时最大值为
23
求函数uxyz在(1,1,
向(对应于t增大的方向)的方向导数。
解:
:
—y
x
3、
-1)处沿曲线x
u
l
t,yt2,z
(1,2,1)
38
3
t在(1,1,1)处的切线正方
23u
z,—
y
u
l
In(y2
2x
222>
xyzy
2•2一gradu(1,1,1)-i-j
33
向导数为
4、求函数U
解:
:
—
x
(1,1,
1)
z2
3u22
2xyz,3xyz,
z
4
■14'
2
x)在(1,1,-1)
u
(1,2,3),
处的梯度。
2y
x2y2z2,z2.
k
该函数在点(1,1,-1)处的方
2z
222,
xyz
Fx(Xo,yo,zc)(xxg)+Fy(Xo,yo,zc)(yyo)+Fz(xo,yo,Zo)(zZo)=O此平面过原点
§8多元函数的极值及求法
1求函数f(x,y)3x23y22x2y2的极值。
答案:
(
11
(1,1)极小值点
33
2•求函数f(x,y)x2y22lnx18lny的极值
答案:
极小值f(1,3)1018ln3
3.函数f(x,y)2x2axxy22y在点(1,1)处取得极值,求常数a(-5)
4、求函数z
解:
x2y21在条件xy30下的条件极值
F(x,y,)x2y21(xy3)
Fx0“22、+11
(,),极小值为-
Fy0332
5、欲造一个无盖的长方体容器,已知底部造价为3元/平方,侧面造价均为1元/
平方,现想用36元造一个容积最大的容器,求它的尺寸。
(长和宽2米,高3米)
6、在球面x2y2z25r2(x0,y0,z0)上求一点,使函数
f(x,y,z)InxIny3lnz达到极大值,并求此时的极大值。
利用此极大值
证明a,b,c有abc327(abc)5
5
证明:
令Llnxlny3lnz(x2y2z25r2)
r,z-3r。
所以函数
令丄0,丄0,丄0,x2y2z25r2解得驻点xy
xyz
f(x,y,z)
lnxln
y3lnz在x
ln(3.3r5)。
3
即xyz
3..3r5
r,z.3r处达到极大值。
极大值为
222
2(z2)327(r2)527(-y—)5,令
5
22
xa,y
b,z
c,得abc3
27(
abc、5
7、求椭球面
1被平面
x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴的
长度
解:
Fx2
1)2(xyz)
2
1x
Fx
2x
2
0
3
Fy
2y
1y2
0
Fy
2z
2
1z2
0
2
2
x
y
2.
z1
3
2
x
y
z0
2z
2y
x2
1(T
3222
,y,z
2(3J'2J2(1J
2222
(xyz)d
1
6
长半轴
11,13
、选择题:
(每题
1、
设有二元函数f(x,y)
B、
c、
lim
(x,y)(0,0)
lim
(x,y)(0,0)
lim
(x,y)(0,0)
lim
(x,y)(0,0)
第八章
2分,共14分)
2
xy
24,
xy
0,
f(x,y)存在;
6'短半轴
自测题
(x,y)(°,。
),则
(x,y)(0,0),
2、
函数
A、
C、
3、
函数
5、
6、
7、
f(x,y)不存在;
f(x,y)存在,且
f(x,y)存在,且
f(x,y)在(0,0)处不连续;
f(x,y)在(0,0)处连续。
f(x,y)在P0(x0,y0)各一阶偏导数存在且连续是必要条件;充要条件;
B、充分条件:
既非必要也非充分条件。
xy
f(x,y)
xy
0,
A、极限值为
C、连续;
zf(x,y)在P0(X0,
(A)必要条件;
(C)充要条件;
点0(0,0)是函数z:
(A)极小值点;
(C)极大值点;
曲面ezzxy
(A)2xy4
(C)x2y4
已知函数
(A)fx
(C)f
、填空题:
1、
(x,yl{m(0,0)
y,
f(x,y)在F0(X0,y0)连续的[]
在(0,0)点处
y
B、极限值为-1:
_D、无极限。
y0)处fx(x,y),fy(x,y)存在是函数在该点可微分的[]
(B)充分条件;既非必要亦非充分条件。
(D)
2
xy的[
3在点P(2,1,0)
0:
0:
uf(t,x,y),x
(B)
t
(每题3分,共
2■
xsiny
2、设f(x,y,z)
exyz,则
]
(B)驻点但非极值点;
(D)最大值点。
处的切平面方程是
(B)
(D)
2xyz
2xy5
(S,t),y
(S,t)均有一阶连续偏导数,那么
(D)
18分)
exyz(13xyzx2y2z2)
3、设f(x,y)
4、设z
5、曲线
6、曲线
(x
2
y
2
x
2
x
2x
sin(xy)
y
0,
2y)x,则在点
xy
0则fx(0,1)(
xy0,
(1,0)处的全微分.dz
(dx
2dy)
三、计算题
1、设f(x,y)
x
在点p0(1,1,1)处的切线方程为(z
2
y
4y
2z
6z
(每题6分)
xln(x2
fx(x,y)
In(x2
2、设f(x,y)
Inx
3xx
在点(1,1,1)处的切线方程为(—
4-2
#)
),求f(x,y)的一阶偏导数x2
x
求此函数在点
Fo到F(2,1)方向的方向导数
(df
3、设
解:
2z
2xf1
4、设
f(x,y)
x2
f(x,0)
lim
x0
当(x,y)
fx(x,y)
fy(x,y)
fy(x,y)22xy2
xy
F0(1,1)处的全微分
并求该函数在该点处沿着从
(1,1)dx
f具有各二阶连续偏导数,求
-dy
2
2z
f
「5)
2xf11
yf12
2f22
x
2z
f(0,0)
x0
(0,0)时,有
x
:
'22
xy
y
、x2y2
_21
ysin—
x
0,
xsinlim
x0
x2
fx(x,y)和fy(x,y)。
1
~2
红不存在,
x
1
sin
t22
xy
1
sin
/22
xy
fx(0,0)不存在,同理,
2x
372COS(xy)
2y_
3/2
y)
(x2
1
22
xy
1
COs~22
xy
fy(0,0)也不存在。
5、设z
f(x,y)由方程z
x
zxy
ye0所确定,求
dz
(dzdxdy)
6、设z
f[(x)y,(y)
x],
f具有连续的二阶偏导数,
J
2
可导,求一-
z
2
xy
z
f1(x)f2
(x)[fnf12(y)][
f21
f22(y)]
x
xy
(x)f11[(x)
(y)
1]f12(y)f22
5x
7、设
xy
2
yu
2
u
8、设u
y
1
r~222
.xyz
0
确定函数
20
4xuu2
22,-
2(u22)
2yxy
2,—
u
fC.X2y
u(x,y),(x,y),求—
4xy2
22~
2(u22)
2yuxy
~22~
u
解:
记r
x2
f(r)
r
f(r)r1
x
2
u
x
f(r)rf(r)u
x,
y
r2f(r)3[f(r)r
r5
2z2),式中f二阶可导,求
f(r)rf(r)
f(r)]
x2
f(r)r
f(r)rf(r)
2
u
-2
y
f(r)z
3
r
类似地,有
2
u
2
y
2
u
2
z
r2
f(r)
3[f(r)rf(r)]
5
r
2
rf(r)3[f(r)rf(r)]
f(r)rf(r)
f(r)rf(r)
2
u
2
x
2
u
~~2
z
2
u
~~2
y
Ir)
r
四、(io分)试分解正数
r2f(r)3[f(r)r
IOr2
3[f(r)r
3
r
f(r)]
a为三个正数之和,而使它们的倒数和为最小。
111
设三个正数为x,y,z,贝Uxyza,记F,令
xyz
111
_——(xyza)
则由
1
x
2
0
x
1
y
2
0
“ra
y
解岀xyz-
3
1
z
2
0
z
xy
za
五、证明题:
(io分)
xyz
f连续可导。
试证:
曲面zxf(yz)上任一点处的切平面都平行于一条直线,式中证明:
曲面在任一点M(x,y,z)处的切平面的法向量为n1,f,1f
定直线L的方向向量若为s1,1,1,则
ns0,即ns则曲面上任一点的切平面平行于以(1,1,1)为方向的定直线。
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