锐角三角函数培优题型分类答案版.docx

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锐角三角函数培优题型分类答案版

锐角三角函数培优-题型分类

【考点】待定系数法求一次函数解析式；锐角三角函数的定义.

1.（2009?

牡丹江二模）直线y=kx-4与y轴相交所成锐角的正切值为一，则k的值为（）

A.丄B.2C.±2D.十丄\

2/_2\

【分析】首先确定直线y=kx-4与y轴和x轴的交点，然后利用直线y=kx-4与y轴相交所成锐角的正切值为亍这一条件求出k的值.'、

【解答】解：

由直线的解析式可知直线与y轴的交点为（0，-4）,即直线y=kx-4与y轴相交所成锐角的邻边为|-4|=4,与x轴的交点为y=0时，x—,

•••直线y=kx-4与y轴相交所成锐角的正切值为

故选C.

【考点】锐角三角函数的定义；三角形中位线定理.

2.（1998?

台州）如图，延长RtAABC斜边AB到D点，使BD=AB连接CD,若cot/BCD=3则tanA=（）

A.〔B.1C•二D.二

【分析】若想利用cot/BCD的值，应把/BCD放在直角三角形中，也就得到了RtAABC的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比.

【解答】解：

过B作BE//AC交CD于E.

•••AB=BD\/

•••E是CD中点，

•••AC=2BE

•••AC丄BC,

•••BELBC,/CBE=90.

•••BE//AC.

又•••cot/BCD=3设BE=x贝UBC=3xAC=2x

3.将一副直角三角板中的两块按如图摆放,连接AC,则tan/DAC的值为（）

3|3

【分析】欲求/DAC的正切值，需将此角构造到一个直角三角形中.

过C作CE!

AD于E,设CD=BD=1然后分别表示出AD、CE、DE的值,进而可

在RtAACE中,求得/DAC的正切值.

【解答】解：

如图,过C作CE!

AD于E

v/BDC=90,/DBC=ZDCB=45,

•••BD=DC

设CD=BD=1

在RtAABD中，/BAD=30,则AD=2在RtAEDC中，/CDE/BAD=30,CD=1,

DE近.

，2

则CE=-

•••tan/DAC=〒=

D农H

.3

|_L_

~2

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

4.（2007?

连云港）如图是一山谷的横断面示意图，宽AA'为15m，用曲尺（两直尺相交成直角）从山谷两侧测量出OA=1m,OB=3m,OA,=B'=3（r点A,O,OAt同一条水平线上），则该山谷的深h为30m.

J1亍阳J

貝:

Pa

A

h

I

1

k

f

【分析】过谷底构造相应的直角三角形，利用坡比定义表示山谷宽求解.

【解答】解：

设A、A到谷底的水平距离为AC=m,AC=n

m+n=15.

根据题意知，OB//CD//OB'

•••OA=1,OB=3,OA',='B'=3•h=0B=3h=05=6

0A3，n$£'

•（出）Xh=15'

解得h=30（m）.

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

5.（2007?

娄底）去年夏季山洪暴发，几所学校被山体滑坡推倒教学楼，为防止滑坡，经过地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可以确保山体不滑坡.某小学紧挨一座山坡，如图所示，已知AF//BC,斜坡AB长30米，坡角/ABC=60.改

造后斜坡BE与地面成45°角，求AE至少是多少米？

（精确到米）

□□□

【分析】连接BE,过E作EN丄BC于N,则四边形AEND是矩形，有NE=AD,AE=DN在RtAADB和RtABEN中都已知一边和一个锐角，满足解直角三角形的条件,可求出AD和BD、AE的长.

【解答】解：

在RtAADB中，AB=30米/ABC=60

AD=AB?

sn/ABC=30Xsin60=1奶米），

DB=AB?

co?

ABC=3（Xcos60=15米.

连接BE,过E作EN丄BC于N

•••AE//BC/-四边形AEND是矩形NE=AD^26米

在RtAENB中，由已知/EBNK45°,

当/EBN=45时，BN=EN=^

•••AE=DN=BN-BD=-15=11米

答:

AE至少是米.

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

6.

（2010?

新密市自主招生）某厂家新开发的一种摩托车如图所示，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为8°和10°大灯A离地面距离1m.

（1）该车大灯照亮地面的宽度BC约是多少（不考虑其它因素）？

（2）—般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是，从发现危险到摩托车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离，某人以60km/h的速度驾驶该车,从60km/h到摩托车停止的刹车距离是一m,请判断该车大灯的设计是否能满足

最小安全距离的要求，请说明理由.（参考数据：

—

25

sinl尺吕

50

【分析】

（1）本题可通过构造直角三角形来解答，过A作AD丄MN于D,就有了/ABN/ACN的度数，又已知了AE的长，可在直角三角形ABEACE中分别

求出BE、CE的长，BC就能求出了.

（2）本题可先计算出最小安全距离是多少，然后于大灯的照明范围进行比较,

•••BC=7-=（m）.

答：

该车大灯照亮地面的宽度BC是;

（2）该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求.理由如下：

•••以60km/h的速度驾驶，

•••速度还可以化为：

譽m/s/'、

最小安全距离为：

一x+一=8（m）,

■33

大灯能照到的最远距离是BD=7m,

•该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求.

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

7.（2010?

赤峰）关于三角函数有如下的公式:

sin（a+®=sinaco+COsasirOB

COS（a+B=cosacos-Bsinasi②B

tan（a+B）=③

1-tsnCL•tanP

利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值,

t+tan60<

1

=

1•tan60^

1-

如:

tan105°an（45°60°

（2+:

；）.

根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：

如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角a=60；底端C点的俯角B=75；此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m,求建筑物CD的高.

【分析】先由俯角B的正切值及BC求得AB,再由俯角a的正切值及BC求得A、

D两点垂直距离.CD的长由二者相减即可求得.

【解答】解：

设AB=x米.

RtAABD中，/ADB=45,BD=AB=x米.

\

RtAACB中，/ACB=60,BC=AB^tan60米.

CD=BD-BC=（1-

解得x=9+3伫;，

即AB=（9+3:

■）米.

•••BM=HM-DE=-=2,

•••AM=AB-BM=7+3：

（米）.

答：

这棵树高米.

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

9.（2015?

甘南州）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为

30°和60度.如果这时气球的高度CD为90米.且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离.

【专题】计算题；压轴题.

【分析】在图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可.

【解答】解：

由已知，得/ECA=30，ZFCB=60,CD=9Q

EF//AB,CD丄AB于点D.

•••/A=ZECA=30,ZB=ZFCB=60.

在RfACD中，/CDA=90，tanA-

在RtABCD中，/CDB=90，tanB」

\BD

|t3nBV3

•AB=ADfBD=90：

+30：

；=120一；.

答：

建筑物A、B间的距离为120.一；米.

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.

10.（2007?

徐州）如图，一艘船以每小时30海里的速度向东北方向航行，在A处观测灯塔S在船的北偏东75°勺方向，航行12分钟后到达B处，这时灯塔S恰好在船的正东方向.已知距离此灯塔8海里以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿东北方向航行吗？

为什么？

（参考数据：

【分析】问这艘船能否可以继续沿东北方向航行，只要证明D与S的距离要大于8海里，可以做与正北方向平行的直线，与SB的延长线相交于点0则厶ABC，△ACS都是直角三角形，可以运用勾股定理来计算.

【解答】解：

作与正北方向平行的直线，与SB的延长线相交于点C,过点S作

SD丄AB于D.

AB=30X一=6（海里），

60

vZCAB=45，ZACB=90,

•••AC=BC=AB?

sin45=xd=3｛（海里），

vZCAS=75,ZACS=90，

•••SC=AC?

tan75换x（2心）=宓+3庇（海里），

•••BS=3+3「（海里），

vZDBS=/ABC=45，

•••SD=BS?

sin45（矩+3虫）x#=3+^3">8，/

•••这艘船可以继续沿东北方向航行.

【考点】平行四边形的性质；三角形的面积；解直角三角形.

11.

（2010?

兰州）已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O,AC=10,

BD=8.

（1）若AC丄BD,试求四边形ABCD的面积;

（3）作辅助线AE丄BD,CF丄BD,利用正弦定理求出△BCD△ABD的高，那么四边形ABCD的面积=△BCD的面积+△ABD的面积.

【解答】解：

（1）vAC丄BD,

•••四边形ABCD的面积—AC?

BD=40

（2）分别过点A,C作AE丄BD,CF丄BD,垂足分别为E,F.•••四边形ABCD为平行四边形，

AO=CO=AC=5,BO=DO』BD=4.

2'2

在RtAAOE中，sin/AOE竺,

AO

•••AE=AO?

si/AOE=AO

AE丄X4XX5=5：

:

.

.四边形ABCD的面积S=4Saod=20「；.

同理可得

CF=CO?

si/COF=CO

.四边形ABCD的面积

S=Sabd+SacbD=_BD?

AEh_BD?

CF

=l-BDsin（AO+CO）

='-BD?

ACsinB

平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形.

12.（2006?

潍坊）已知平行四边形ABCDAD=aAB=b,/ABC=a.点F为线段

BC上一点（端点B,C除外），连接AF,AC,连接DF,并延长DF交AB的延长线于点E,连接CE

（1）当F为BC的中点时，求证：

△EFWAABF的面积相等;

（2）当F为BC上任意一点时，△EFC与△ABF的面积还相等吗？

说明理由.

法一：

当F为BC上任意一点时,

设BF=x贝UFC=a—x,

•••四边形ABCD是平行四边形，

BF

BE

xBE

AD'

BE+AB|

a~BE+b'

（7分）

a-x

在厶EFC中,FC边上的高hi=BEsina

•1険虽口。

|\

••怕,

•匹冷氏・hi#G-x）•応;［；Q冷busin口，（9分）'\

又在△ABF中，BF边上的高h2=bsina

•5ABF^bxsina

:

•SABF=SEFC（11分）

法二：

•••ABCD为平行四边形，

•S\abcfScde丄absina

2

又S\afc=Scdf,

•5ABC—SAF（=S^CDE-&CDF,

即&ABF=&EFC（11分）

菱形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；解直角三角形.

13.（2009?

龙岩）在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A?

B?

（1）如图1,当点M在AB边上时，连接BN:

①求证：

△ABN^AADN;

②若/ABC=60,AM=4,/ABNa，求点M到AD的距离及tana的值.

（2）如图2,若/ABC=90，记点M运动所经过的路程为x（6

x为何值时，△ADN为等腰三角形.

【考点】菱形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；解直角三角形.

【专题】压轴题；动点型.

【分析】（门①厶ABN和厶ADN中，不难得出AB=AD,/DAC=ZCABAN是公共边，根据SAS即可判定两三角形全等.

②通过构建直角三角形来求解.作MH丄DA交DA的延长线于点H.由①可得/MDA=ZABN,那么M到AD的距离和/a就转化到直角三角形MDH和MAH中,然后根据已知条件进行求解即可.

（2）本题要分三种情况即：

ND=NA,DN=DAAN=AD进行讨论.

【解答】解：

（1）①证明：

•••四边形ABCD是菱形，

•••AB=AD/仁/2.

又•••AN=AN,

•••△ABN^AADN（SAS.

②作MH丄DA交DA的延长线于点H.

由AD//BC,得/MAH=ZABC=60.

在RtAAMH中，MH=AM?

sin60=4Xsin60=2一「；.

•••点M到AD的距离为2「；.

•••AH=2

•DH=6^2=8.

DH84

在RtADMH中，tan/MDH==-[-,

由①知，/MDH=ZABNa,

（2）vZABC=90,

•菱形ABCD是正方形.

•ZCAD=45.

F面分三种情形:

（l）若ND=NA,贝U/ADN=/NAD=45.

此时，点M恰好与点B重合，得x=6;

（n）若DN=DA贝U/DNA=/DAN=45.

此时，点M恰好与点C重合，得x=12;

（m）若AN=AD=6贝u/1=/2.

•••AD//BC,

•••/1=/4,又/2=/3，

•••/3=/4.

•••CM=CN

•••AC=6/.

•••CM=CN=AC-AN=6-6.

故x=12-CM=12-（6】:

-6）=18-6：

:

.

综上所述：

当x=6或12或18-6.:

时，△ADN是等腰三角形.

（團1）

等边三角形的判定与性质；解直角三角形.

14.（2009?

莆田）已知：

等边△ABC的边长为a.

探究

（1）:

如图1,过等边△ABC的顶点\A、B、C依次作AB、BCCA的垂线围

成厶MNG，求证：

△MNG是等边三角形且MN二；a；

探究

（2）:

在等边△ABC内取一点O,过点O分别作OD丄ABOELBC、OF丄CA,垂足分别为点D、E、F.

1如图2,若点O是厶ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：

结论1.OD+OE^OF='a;结论

2

2.AD+BE+CFJ;

2\

2如图3,若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1,2是否仍然成立？

如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由.

【分析】

（1）本题中△ABC为等边三角形，AB=BC=a/ABC=60,求出/N,ZG的值，在直角厶AMB、ACNB中，可以先用a表示出MB,NB然后再表示出MN，这样就能证得MN=-a；

（2）判定①是否成立可通过构建直角三角形，把所求的线段都转化到直角三角形中进行求解；

判断②是否成立，也要通过构建直角三角形，可根据勾股定理，把所求的线段都表示出来，然后经过化简得出结论②是否正确.

【解答】

（1）证明：

如图1,v^ABC为等边三角形，

•••/ABC=60.

•••BC丄MN,BALMG,

•••/CBM=ZBAM=90.

•••/ABM=90-ZABC=30.

•••/M=90-ZABM=60.

同理：

/N=ZG=60.

•••△MNG为等边三角形.

在RtAABM中，BM=a,

sinHgin60°3\

在RtABCN中，BN=a,

tanNtan&0°3

•••MN=BM+BN=：

-；a.

（2）②：

结论1成立.

证明：

如图3,过点O作GH//BC,分别交AB、AC于点G、H,过点H作HM丄

BC于点M,

•••ZDGO=ZB=60°,ZOHF=ZC=60,\

•••△AGH是等边三角形，

•GH=AH

•••OELBC,

•OE//HM,

•四边形OEMH是矩形，

•HM=OE

在RtAODG中，OD=OG?

sirZDGO=OG?

sin60=；OG

2

在RtAOFH中，OF=OH?

sirZOHF=OH?

sin6,=OH,

在RtAHMC中，HM=HC?

sinC=HC?

sin60=HC,

\2

•OD+OE+OF=Ot>HM+OF=—OG+HC+：

OH

222/亠（GH+HC）==AC=a.

2/

（2）②：

结论2成立.

证明：

如图4,连接OA、OBOC,根据勾股定理得：

be?

+oe?

=oB2=bd2+od2①，

C^+OF2=O（?

=C^+OE2②，

AD2+OD2=AC2=AF2+OF2③,

①+②+③得：

BE2+CF2+AD2=BD?

+CE?

+AF2,

•••BE2+CP+AD2=（a-AD）2+（a-BE）2+（a-CF2=a2-2AD?

a+AD2+a2-2BE?

i+BE+a2

-2CF?

c+CF2

整理得：

2a（AD+BE+CF）=3孕

•••AD+BE+CF=_a.

2