高等代数在几何中的应用.docx
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高等代数在几何中的应用
高等代数的相关理论在几何上的应用
班级:
经数1401学号:
20140236姓名:
石凯
内容摘要:
本文主要研究矩阵、行列式与Cramer法则在判别直线、平面与线面位置关系时的应用以及如何用行列式表示直线或平面方程.还应用线性方程组的理论得到了解析几何中的几个简单命题,从而疏通了高等代数与解析几何的内在联系,并体现出代数学与几何学相互渗透,相互影响的本质关系,能够使学习者在具体的几何背景下直观地接受代数方法.
关键词:
矩阵;行列式;Cramer法则;线性方程组;对称变换
1.导言
高等代数这门课程内容充实,逻辑严密,是现代数学、物理、工程、经济等学科的基础.而高等代数作为其它学科的基础,其内容与基本理论和方法必然有着广泛的应用.如一般性思想方法、抽象性思想方法、公理化思想方法、初等变换的思想方法、辩证思维的思想方法和关系映射反演思想方法等.
“高等代数”与“解析几何”作为高等院校数学专业的两门重要基础课程,它们既各具特点不能相互取代,又存在着天然的内在联系,主要表现在它们的内容上有许多重叠和相互依赖,相互支撑的部分.它们之间存在着密切的联系,这种关系可以归结为“代数为几何提供研究方法,几何为代数提供直观背景[2]”.目前,将这两门课程进行合并教学的探索纷纷在多所高等院校展开,并且这个思路也一直是许
多高等院校教学改革的一个热门课题.
在当今日趋激烈的课程改革进程中,有的高校主张,将高等代数与解析几何两门课程进行整合,二课合一,课程内容以代数为主线,把行列式、线性空间,欧式空间放在前几章,以使充分利用线性代数工具解决集合问题.学生刚开始接触到行列式、线性空间这些抽象内容时,感到深奥、难理解,引入解析几何的内容与相关问题时,把代数与几何充分结合起来,学生就会感到具体多了,很容易明白,便于对代数知识的理解,而对解析几何来说,由于有了充分的高等代数知识作准备,面对具体几何问题便会得心应手,迎刃而解了[3].
总的来说,如果单单运用解析几何知识来解决几何问题,舍弃高等代数知识而作为唯一的解决方案来源,不仅运算过程中计算量比较大,且化简过程繁琐,不利于学者发挥主体性和创造性[8].但是,有了高等代数作为解决几何问题的又一知识来源,不仅可以简化解决问题的过程,而且可以帮助学者更好地发挥创造性与能动性.
2.高等代数在解析几何中的应用
2.1判别平面、直线位置关系[9]
直线和平面是解析几何中最基础的内容,那么,毫无疑问,它们之间位置关系的判别也是解析几何研究中的基础.但是,大多数解析几何教材给出的判别方法针对的都是直线与平面的对称式方程与点法式方程,且运用到的高等代数中的工具是行列式.本节将运用矩阵及其秩来对平面和直线的位置关系作出判断.
2.1.1平面位置关系判别
两个平面有三种位置关系,即相交,平行,重合.以下用高等代数方法可轻松判别两平面位置关系.
定理1设两个平面方程为
1:
AxB』
C1zD10
2:
A2xB2y
C2zD20
则
1平面
1与
2平行
A
B1
G
D1
r(A)2,r(A)1
A
B2
C2
D2
2平面
1与
2重合
A
=B1=
.C1
D1
r(A)1,r(A)1
A2
B2
C2
D2
3平面
1与
2相交
A:
B1:
C1
A2:
B2
:
C2r(A)2,r(A:
)2.
其中,A
A
B1
G
AAB1G
D1
A
B2
C2
AB2C2
D2
证明应用代数知识,考虑由平面i与2的方程构成的线性方程组
(1)
AxB1yC|ZD10
A2xB2yC2zD20
的解•由1r(A)2,而r(A)r(A)2•所以有:
r(A)2,r(A)
1•由r(A)1,可设△二旦=®k•那么k0且对A作初等行
A2
B2
C2
变换得
1平面1与2平行
方程组
(1)无解,亦即1与2无公共点
r(A)r(A),
A
A1
0
B1
0
C1
0
D1
1D1
D2
又由r(A)
2,有
-D1
D2
0,
从而
Al=
二旦
=G
D1
k
A2
B2
C2
D2
2当且仅当
D1
k,即
A
B1
C1
D1
时,
r(A)
r(A)1,这时方程组
(1)有无
D2
A2
B2
C2
D2
3若A:
Bi:
GA:
B2:
C2,那么A的行向量线性无关,从而r(A)r(A)2,这时
方程组
(1)有无穷多解并且有两个独立的方程•平面1与2相交于一条直线.
例1求过点(4,1,3)及平面1:
xyz20与平面2:
3x5yz30交线的平
面的方程.
解由所求平面经过点(4,1,3),可设平面方程为
A(x4)B(y1)C(z3)0.
xyz20
A(x
3x5yz30
4)
B(y1)
C(z3)0
有无穷多解,
即
r(A)
r(A)
2.
1
11
1
1
1
2
其中,A
3
51
A
3
5
1
3.
A
BC
A
B
C4A
B3C
两直线通常有4种位置关系,即相交,重合,平行与异面.以下同样是应用矩阵的秩来判别.
定理2判别两直线Li:
A1XBiyGzD10L2:
AxB3yC3zD30的
AxB2yC2zD20A4XB4yC4zD40
位置关系的充要条件为:
1相交r(A)r(A)3;
2重合r(A)r(A)2;
3平行r(A)3,r(A)2;
4异面r(A)4,r(A)3.
A
Bi
Ci
A
Bi
Ci
Di
其中AA2
B2
C2-
2,A
A2
B2
C2
D2
A
B3
C3
A
B3
C3
D3
A4
B4
C4
A
B4
C4
D4
证明Li与L2的相关位置取决于线性方程组
Ax
By
Ciz
Di
0
A2x
B?
y
C2Z
D2
0
A3X
B3y
C3Z
D3
0
A4X
B4y
C4z
D4
0
的解的情况.
记A的行向量为一Il2,一3,一4,A的行向量记为1,2,3,4,A,A分别表示这个线性方程组的系数矩阵与增广矩阵.注意到r(A)r(A)或r(A)r(A)1,而2r(A)3.
当r(A)2时,有以下几种情况:
1r(A)2,此时方程组有无穷解,且Li与L2的方向向量共线,表明Li与L2重合;
2r(A)3,此时线性方程组无解,且Li与L2的方向向量共线,表明Li与L2平行.当r(A)3时,有以下几种情况:
①r(A)3,此时线性方程组有唯一解,表明Li与L2相交;
②r(A)4,此时线性方程组无解且Li与L2的方向向量不共线,表明Li与L?
异面.
例2判别下面直线的位置关系.
xy2z5
0与
8x
3y
2z3
0
3x5yz1
0
5x
2y
7z5
0
1
1
2
5
1125
0
2
5
14
3511
解由A
0
0
61
78
知,r(A)3,r(A)4,根据
8323
2
5275
863
0
0
0
61
定理2知,两直线异面.
2.1.3线面位置关系判别
空间直线与平面有3种位置关系:
相交、平行、直线在平面上.利用高等代数
来刻画这3种位置关系同样可以使解析几何的有关问题大大简化.
定理3直线L:
从ByGzD10与平面:
axByCzD0的位置关
AxB2yC2zD20
系:
1相交r(A)3,r(A)3;
2平行r(A)3,r(A)2;
3直线L在平面上
r(A)
2,r(A)
2
.
AB1
C1
A
B1
C1
D!
这里,AA,B2
C2,A
A
B2
C2
D
AB
C
A
B
C
D
证明直线L与平面的位置关系取决于线性方程组
A,x
C1z
D1
0
A2x
B2y
C2Z
D2
0
Ax
By
Cz
D
0
的解的情况.
2r(A)3.
当r(A)3时,只有r(A)3一种情况,此时,线性方程组有唯一解.这表明L与相交.
当r(A)2时,有2种情况:
1r(A)2时,此时线性方程组有无穷多解,即直线L与有无穷多交点.表明L在平面上;
2r(A)3时,此时,线性方程组无解,即直线L与平面无交点,表明L与平行.
例3求过直线L:
%2yz20且与平面:
xy2z60平行的平面方4xy3z10
程.
解设所求平面的方程为AxByCzD0,因为平面与平行,所以有
ABCD
,因此此处不妨假设Am,Bm,C2m,那么平面的方程可以
1126
写为mxmy2mzD0(m0).又因为L在平面上,根据定理3,可知方程组
x2yz20
4xy3z10
mxmy
2mzD0
有无穷多解,
即
r(A)
r(A)2
:
.
1
21
2
1
21
2
A
4
13
1
0
77
7
m
m2m
D
0
3m3m
D2m
因此有—
7
,所以有
D
m
.因此平面
的方程为
3m
D
2m
x
y
2z
10.
通过以上介绍的几个简单定理和几道例题,可以看出利用矩阵及其秩方法不仅
大大减少了计算量,而且掌握了上述方法以后有利于原有知识和方法的迁移,活跃
了解题思维,丰富了解题经验.对于初学高等代数与解析几何的广大学生来说,有利于建立两门课程之间更广、更深的联系,有利于拓展知识,形成技能,发展能力.
2.2Cramer法则在解析几何中的应用解析几何中经常会碰到这类问题,比如给定若干个点求过这些点的曲线或者曲面方程.解这类题时,有时候思路会局限于使用基本的代数方法.本节会将Cramer法则引入这类问题的解法中,用行列式表示所求曲面或曲线的方程.这种解法思路比较清晰,只须牢固掌握Cramer法则以及线性方程组解的理论即可轻松解决这类问题.
1多点确定的曲线方程平面上的二次曲线方程的一般方程为
22
a1xa2xya3ya4xa5ya60
(2)
联立得到线性方程组
由于它有非零解,其系数行列式必为0,即
此即为所求的二次曲线方程
个方程n个未知量的非齐次线性方程组及其系数行列式
y1
a0
aiX1
2
a2x1
L
an
n
1X1
Y2
a。
a1X2
2
a2x2
L
an
n
1X2
LL
Yn
a。
a1Xn
2
a?
Xn
L
an
n
1Xn
1
X1
x12L
n1
X1
D
1
X2
x22L
n1
X2
M
M
M
M
1
Xn
Xn2L
n1
Xn
1
1
1
将a0,a1,a2,L,an1看作未知量,系数行列式D是n阶范德蒙德行列式,由于
Xi(i1,2丄,n)互不相同,所以D0,依据Cramer法则,上述方程组有唯一解,
2n1
故通过R(Xi,y)(i1,2,L,n)的曲线ya。
a1Xa?
xLan1X有且仅有一条,
y卸知2L紗1,其中以―)是用方程组的常数项代替系
数行列式中的第j列元素后得到的n阶行列式.
例5过平面上不共线的三点R(Xj,y)(i1,2,3)的圆的方程为
22”
xyxy1
XiyiXiyi1
X2y2X2y21
22彳
X3yX3ya1
得含3个方程3个未知量的非齐次线性方程组及其系数行列式D
22
X1y1Ax1By1C0
22
x2y2Ax2By2C0
22
X3yAX3By3C0
X1%1
DX2y21
X3y31
有唯一解,
代入x2y2AxByC0,整理得:
即
2多点确定的曲面方程
(X12
Y12)
y1
1
X1
(X12
y12)
1
X1
y1
(X12
y12)
(X22
V22)
y2
1
X2
(X22
y22)
1
X2
y2
(X22
y22)
A-
(X32
2、y)
y3
1
-,b
X3
(X32
y32)
1
C-
X3
y3
(X32
y32)
D
D
D
X4,y4,Z4的球面方程为
/222、小
ai(xyz)a2Xa3ya4Za50
得到关于ai,a2,a3,a°,a§的齐次线性方程组
ai(x2
2
y
z2)
a2x
a3y
a4z
a5
0
ai(x/
2
yi
Zi2)
a2xi
a3yi
a4Zl
a5
0
q(X22
2
y2
Z22)
a2x2
辭2
a4Z2
a5
0
d(X32
2
y3
Z32)
a2X3
a4Z3
a5
0
d(X42
2
y4
z42)
a2X4
辭4
a4Z4
a5
0
由(6)有非零解得到球面方程为
2
2
2
i
X
y
z
X
y
z
2
2
2
i
片
yi
召
xi
yi
召
2
X2
2
y2
2
Z2
X2
y2
Z2
i
0.
2
2
2
i
X3
y3
Z3
X3
y3
Z3
2
2
2
i
X4
y4
Z4
X4
y4
乙
表示曲线或曲面的方程,虽然只是给出了几个常见的曲线和曲面的求法,但是,这种方法比较系统,容易举一反三•所以,这种方法一经掌握,关于这种类型的题目便可迎刃而解了.
2.3二次曲面和平面位置关系
判别二次曲面和平面位置关系之前,首先先给出球面与平面的位置关系判别方法,然后经过射影变换,来判别二次曲面和平面的位置关系.
2.3.1球面与平面位置关系的判别
设有球面
x2y2z22ax2by2czd(8)
和平面的法式方程
xcosycoszcosp0(9)
考虑此球面方程系数行列式的加边行列式
1
0
0
a
cos
0
1
0
b
cos
0
0
1
c
cos
a
b
c
d
p
cos
cos
cos
P
0
整理得
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
a
b
c
d
2.22
abc
pacos
bcos
ccos
cos
cos
cos
pacos
bcosccos
2cos
2cos
2cos
由于(9)式是空间平面的法式方程,而且球面(8)的球心坐标为(a,b,c),所以
方程(9).所以
参考文献
[1]宋杰•《高等代数》课程中的若干数学思想方法[J].韶关学院学报,2009,30(3):
134〜
究[J]•安庆师范学院学报,2007,13(4):
102〜103.
[3]有B金祥.解空间结构与几何空间中线面关系的判定[J].高师理科学刊,2005,25(4):
76〜
79.
[4]李立,汪淑奇.弯管设计的空间解析几何方法[J].长沙电力学院学报(自然科学
版),1998,13(4):
414〜416.
[5]肖生发.用空间解析几何法求解环叉式万向节的附加力矩[J].湖北汽车工业学院学
报,2001,15
(1):
1〜3.
[6]刘自娟,郭志民.用空间解析几何法绘制矿脉迹线[J].黄金地质,2006,6
(2):
77〜79.
[7]张圣云,杨仕才,王连柱.空间解析几何法天体定位精度分析[J].天津航海,2004,6
(2):
10〜12.
[8]吴捷云.行列式在解析几何中的应用[J].考试周刊,2013,8(46):
57〜58.
[9]胡源艳,梁燕来,易亚利,凌征球.巧用代数方法解决解析几何中的某些问题[J].玉林师范学院学报,2011,32
(2):
42〜45.
[10]马艳琴.代数与几何结合的应用问题研究[J].山东轻工业学院学报,2012,26
(2):
85〜89.
[11]杨先山.Cramer法则在解析几何中的应用研究[J].长江大学学报,2012,9(12):
6〜&
[12]张达,周琼.对称变换法在解析几何中的应用[J].宁德师专学报,2002,14
(2):
119〜
121.
[13]程涛.利用对称变换求二次曲线的切线[J].数学通报,1994,12(6):
40〜41.
[14]王微.二次曲面和平面位置关系的判式[J].大学数学,2008,2(6):
173〜176.
[15]韩凌燕.二次型化简二次曲线的探究[J].山东科学,2008,21
(2):
52〜54.
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