小升初数学衔接班列方程解应用题一.docx
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小升初数学衔接班列方程解应用题一
小升初数学衔接班——列方程解应用题
(一)
一、学习目标
通过学习用一元一次方程解决浓度问题、工程问题和行程问题等几种常见问题,掌握列方程解应用题的方法和步骤。
二、学习重点
分析题目中的数量关系,列代数式,寻找等量关系。
三、课程精讲
1、知识回顾
我们在小学阶段学习过许多数量关系:
(1)溶液中浓度、溶液、溶质的关系;
(2)工程问题中工程量、工作效率、工作时间之间的关系;
(3)行程问题中路程、速度、时间之间的关系:
相遇问题、追及问题、水流问题、过桥问题等。
(4)增长率问题
(5)年龄问题
(6)数字问题
2、新知探秘
知识点一列方程解应用题的步骤
例1、有两种不同浓度的盐水,甲种盐水的浓度是30%,乙种盐水的浓度是6%,现在要配成浓度为10%的盐水60千克,问应取这两种浓度的盐水各多少千克?
思路导航:
此题是溶液的混合配制问题,这类问题中有三个等量关系:
混合前后溶液的重量和不变、溶质重量和不变及溶剂重量和不变。
解答:
设应取甲种盐水x千克,那么乙种盐水应取(60-x)千克,甲种盐水中含盐30%x千克,乙种盐水中含盐6%(60-x)千克,根据题意,得
30%x+6%(60-x)=60⨯10%
解方程,得x=10
60-x=60-10=50
答:
甲种浓度盐水取10千克,乙种浓度盐水取50千克。
点津:
浓度问题是列方程解应用题的常见类型之一,关键是要找出配制前后溶液中哪些量不发生变化,从而寻找出等量关系,进而列出方程求解。
从上述例题我们知道,列方程解应用题的步骤是
(1)审题:
弄清题意,确定已知量、未知量及它们的关系;
(2)设元:
选择适当未知数,用字母表示;
(3)列代数式:
根据条件,用含所设未知数的代数式表示其他未知量;
(4)列方程:
利用列代数式时未用过的等量关系,列出方程;
(5)解方程:
正确运用等式的性质,求出方程的解;
(6)检验并答题。
仿练、现有两种酒精溶液,已知甲种酒精溶液中含酒精18千克,含水12千克;乙种酒精溶液中含酒精3千克,含水9千克。
现在要得到含酒精7千克,含水7千克的酒精溶液,问应取甲、乙两种酒精溶液各多少千克?
思路导航:
与上题一样属于溶液混合配制问题。
需要先算出甲种、乙种酒精溶液的浓度,再根据等量关系列出方程。
解答:
设应取甲种酒精溶液x千克,那么乙种酒精溶液应取(7+7-x)千克,所取的甲种酒精溶液含酒精x⋅183⨯100%千克,所取的乙种酒精溶液含酒精(7+7-x)⋅⨯100%千18+123+9克,根据题意,得
x⋅
解方程,得x=10183⨯100%+(7+7-x)⋅⨯100%=718+123+9
7+7-x=14-10=4
答:
甲种酒精溶液应取10千克,乙种酒精溶液应取4千克。
点津:
在列方程解应用题的步骤中,最重要的是对题目的分析,对列方程不要急于求成。
在一道应用题中,往往含有几个未知数,应恰当的选择其中的一个,用字母x表示出来,然后根据数量之间的关系,将其他几个未知量用含x的代数式表示出来,再用列代数式时没有用到的等量关系列出方程。
知识点二如何找等量关系
熟悉实际问题中各种量之间的相等关系是列方程解应用题的基础。
找寻相等关系的基本方法有:
(1)运用基本公式找寻相等关系;
(2)从关键词中找寻相等关系;
(3)运用不变量找寻相等关系;
(4)对一种“量”,从不同的角度进行表述(即计算两次),得到相等关系。
例2、一件工作,甲单独做需20小时完成,乙单独做需12小时完成,现在先由甲单独做4小时,剩下的部分由甲、乙合作,剩下的部分需几小时完成?
思路导航:
此题属于工程问题,可把总工作量看作1,甲单独做4小时的工作量和甲、乙合作的工作量之和就等于总工作量“1”。
解答:
设剩下的部分甲、乙合作需x小时完成,则甲单独做4小时的工作量为
乙合作x小时的工作量为(1⨯4,甲、2011+)x,根据题意,得2012
111⨯4+(+)x=1202012
解方程,得x=6
答:
剩下的部分甲、乙合作需6小时完成。
点津:
列方程时,关键在于发掘题目中的等量关系。
题中所给条件在列方程时不能重复使用,也不能漏掉不用。
重复利用某一个条件,会得到一个恒等式,却无法求得应用题的解。
比如,此题中这样求解:
设剩下的部分甲、乙合作需x小时完成,则甲、乙合作x小时的工作量为(11+)x。
2012因为由两部分时间共同完成了全部工作量,所以前一段时间里甲单独做的工作量为1-(11+)x,根据题意,得2012
1-(1111+)x+(+)x=120122012
11+)x”是根据“两2012显然,化简后得到1=1,这个“方程”不能求解。
发生错误的原因就是,“前一段时间里甲单独做的工作量1-(
部分时间的工作量之和等于总工作量”,而又根据这个条件列出了“方程”,这个条件被重复利用了。
仿练、一个水池,有甲、乙、丙三个水管,甲、乙是入水管,丙是排水管。
单开甲管16分钟可将水池注满,单开乙管10分钟可将水池注满,单开丙管20分钟可将全池水放完。
现在先开甲、乙两管,4分钟后关上甲管开丙管,问:
又经过几分钟后才能将水池注满?
思路导航:
由题意知甲、乙、丙管的工作效率分别为111,,,相等关系是:
甲工作量+乙工作161020
量+丙工作量=全部工作量,只不过丙管是来“捣乱”的。
解答:
设又经过x分钟才能将水池注满,则甲管在前4分钟的工作量为
分钟的工作量为
为1⨯4,乙管在前41611⨯4,乙管在后x分钟中的工作量为x,丙管在后x分钟中的工作量10101x,依题意得方程:
20
1111⨯4+⨯4+x-x=116101020
解得x=7
答:
又经过7分钟后才能将水池注满。
知识点三直接设元与间接设元
例3、甲乙两站之间的路程为354km,一列慢车从甲站开往乙站,慢车走了1.5小时后,另有一列快车从乙站开往甲站,已知慢车每小时走46km,快车每小时走68km,问两车各走多少小时后相遇?
思路导航1:
本题属于行程问题中相向而行的相遇问题。
为了弄清题目中各数量之间的关系,经常需要画图或列表。
如图可知,慢车和快车行走的路程之和等于甲乙两站之间的总路程。
解答1:
设快车走了x小时后与慢车相遇,那么快车走的路程为68x千米,慢车走的路程是1.5小时走的路程加上x小时走的路程,即(46x+46⨯1.5)千米,相遇时两车所走的路程之和为354千米,由此可得方程:
46(x+1.5)+68x=354
解得:
x=2.5
所以慢车走的时间是x+1.5=4(小时)
答:
慢车走了4小时,快车走了2.5小时后两车相遇。
思路导航2:
也可以设慢车走的时间为x小时。
解答2:
设慢车走了x小时后与快车相遇.那么快车在相遇时所用的时间为x-1.5小时,它们各自走的路程为:
快车68(x-1.5)千米,慢车46x千米,依题意可列方程为:
46x+68(x-1.5)=354
解得:
x=4
所以快车走的时间为x-1.5=2.5(小时)
答:
慢车走了4小时,快车走了2.5小时后两车相遇。
思路导航3:
以上两种解法是采用了直接设未知数的方法,下面我们可以采用间接设未知数的方法,将快车走的路程设为未知数,然后通过慢车和快车同时走的时间相等,即图中同色部分,列方程求解。
解法3:
设两车相遇时快车走的路程为x千米,那么快车所用的时间为
时后到相遇时所用的时间为
可以依题意列出方程为:
x小时,慢车从1.5小68354-46⨯1.5-x小时,由这两段路程相遇时所用的时间相等,46
354-46⨯1.5-xx=4668
解得:
x=170相遇时快车用的时间为:
170=2.5(小时)68
慢车所用的时间:
1.5+2.5=4(小时)
答:
慢车走了4小时,快车走了2.5小时后两车相遇。
思路导航4:
采用间接设未知数的方法,也可以将慢车走的路程设为未知数,然后通过慢车和快车同时走的时间相等,即图中同色部分,列方程求解。
解法4:
设慢车从开出到相遇所走的路程为x千米,那么慢车从1.5小时后到相遇时所用的时间为x-46⨯1.5354-x小时,而快车自开出到相遇时所用的时间为小时,依题意,以上24668
x-46⨯1.5354-x=4668
解得:
x=184个时间相等,可列出方程:
184=4小时46
354-184=2.5小时快车走的时间为:
68慢车走的时间是
答:
慢车走了4小时,快车走了2.5小时后两车相遇。
点津:
一般题目问什么,就设什么为x,这称为直接设元。
但这不是绝对的,有时直接设元后不利于列代数式和列方程,我们也可以设其他未知数为x,这称为间接设元。
到底如何设元,要根据题目中的数量关系决定,怎样设元方便就怎样设。
但是如果选择间接设元,那么解出方程后还要换算出题目所求的量。
仿练、甲、乙、丙三人,甲每小时走3131公里,乙每小时走3公里,丙每小时走4公252里,若甲、乙两人在A地,丙在B地,三人同时出发,甲、乙与丙相向而行,丙在遇到乙后3分钟才遇到甲。
求A、B两地的距离?
思路导航1:
此题属于行程问题中的相遇问题,而且此题中有两个相遇问题,它们的相遇时间差3分钟。
解答1:
设A、B两地的距离为x公里,则丙与乙的相遇时间为x
3+452小时,丙与甲的相遇
时间为x
3+422小时,根据题意,得
x
3+422-x3+452=360
解这个方程,得x=32.4
答:
A、B两地相距32.4公里。
思路导航2:
也可以间接设元,设丙与乙的相遇时间为x小时,则可以表示出丙与甲的相遇时间,及各自的相遇路程,再根据相遇路程相等来列方程。
解答2:
设丙、乙的相遇时间为x小时,则丙、甲的相遇时间为(x+3)小时,相遇路程分别是60
31113(3+4)x公里、(3+4)(x+)公里,根据题意,得522260
31113(3+4)x=(3+4)(x+)522260
解这个方程,得x=4
3131(3+4)x=(3+4)⨯4=32.45252
答:
A、B两地相距32.4公里。
点津:
此题要注意单位的统一。
四、知识提炼导图
五、目标期望
通过本讲的学习,希望同学们掌握列方程解应用题的步骤,重点要学会分析题目中的数量关系,会选择直接设元还是间接设元,会用设出的未知数x来表示其他的未知量,再抓住题目中的等量关系列出方程。
六、下讲预告
在下一讲的学习中,我们除了继续复习巩固列方程解应用题的方法步骤外,还要学习用方程解其他类型的应用题,比如流水问题、年龄问题、数字问题等。
通过对这些题型的分析讲解,要教会大家分析比较复杂的题目中的数量关系,要教会大家如何检查自己列出的方程是否正确。
【同步练习】(答题时间:
45分钟)
1、火眼金睛:
(1)甲、乙两人环湖竞走,环湖一周400米,乙的速度是80米/分,甲的速度是乙的速度的11倍,且甲在乙前100米,多少分钟后,两人第一次相遇。
设经过x分钟两人第一4
次相遇,所列方程为()5x45C.80x-100=80⨯x4A.80x+100=80⨯5x45D.80x-300=80⨯x4B.80x+300=80⨯
(2)一列火车匀速前进,从它进入300米长的隧道到完全通过一共用20秒钟,又知隧道顶部一盏固定的灯光垂直照射火车10秒钟,求这列火车的长度和速度。
在这个问题中路程和时间的关系是()
A.火车走300米路程用20秒
B.火车走的路程等于隧道长与车身长的差,用了10秒
C.火车走的路程等于隧道长与车身长的和,用了20秒
D.以上都不对
(3)有含盐30%的盐水240千克,要将盐水稀释成1.5%,需加水()千克
A.4800B.4560C.5040D.4680
(4)某件工程,甲单独做要用15小时完成,乙单独做要用12小时完成。
若甲先做1小时,乙又单独做4小时,剩下的工作两人合作,再用几小时可全部完成任务?
设两人合作再用x小时可完成任务,则下列方程中正确的个数是()14xx+++=1;15121512
1x4+x③1-(+)=;151512①4+x1+x+=1;12151411++(+)x=1。
④15121512②
A.1个B.2个C.3个D.4个
(5)一队学生从学校步行前往工厂参观,速度为每小时5千米,当走了1小时后,一名学生回学校取东西,他以每小时7.5千米的速度回学校,取了东西后立即以同样的速度追赶队伍,结果在离工厂2.5千米处追上队伍,求学校到工厂的路程(取东西的时间忽略不计)。
若设学校到工厂的距离为x千米,列出的方程是()x11x-2.5=++557.57.5
x-2.55x-2.5=1++C.57.57.5A.x-2.5x-2.5=1⨯2+57.5x11x-2.5+D.-2.5=+557.57.5B.
2、对号入座:
(1)一件工程甲队独做需8天完成,乙队独做需9天。
甲做三天后,乙来支援,甲,乙合作做x天,一共完成了任务的3,由此条件列出的方程是______________;4
(2)若取浓度为15%的酒精溶液______克与浓度为35%的酒精溶液_____克混合,则可配成浓度为20%的酒精溶液100克;
(3)某人从家里去上班,每小时行5千米,下班按原路返回时,每小时行4千米,结果下班返回比上班多花10分钟,设上班所用时间为t小时,可列方程为________________;
(4)一架飞机飞行在两个城市之间,顺风要2小时45分钟,逆风要3小时,已知风速是20千米/时,则两城市间距离为__________千米。
3、牛刀小试:
(1)从家里骑摩托车去火车站,如果每小时走30千米,那么比开车时间早到15分钟,如果每小时走18千米,那么比开车时间迟到15分钟,现在打算比开车时间早10分钟到达火车站,那么摩托车的速度应该是多少?
(2)一项工作由A单独做要40天完成,由B单独做要50天完成。
现在由A先做,工作了若干天后,因A有事离去,由B继续做,共用了46天完成。
问A、B各做了多少天?
(3)甲种盐水浓度为乙种盐水浓度的2倍,若甲种盐水取120克,乙种盐水取240克,混合后加水40克,测得浓度是12%,问甲、乙两种盐水的浓度各是多少?
【试题答案】
1、火眼金睛:
(1)B甲在乙的前面,好像是乙追甲,实际上甲的速度比乙的速度快,因此是甲追乙,追及距离是(400-100)米。
当两人第一次相遇时,甲的路程比乙的路程多300米。
(2)C“从它进入300米长的隧道到完全通过”是指车头刚进入隧道开始,到车尾离开隧道截止,一共前进的路程是隧道长与车身长的和;在“隧道顶部一盏固定的灯光垂直照射列车”的时间内列车前进的路程就是车身长。
(3)B设需加水x千克,则240⨯30%=1.5%(240+x),解得x=4560。
(4)D①方程表示甲1小时的工作量、乙4小时的工作量、甲x小时的工作量以及乙x小时的工作量的和等于总工作量“1”;②方程表示乙(4+x)小时的工作量与甲(1+x)小时的工作量的和等于总工作量“1”;③方程表示总工作量“1”与甲(1+x)小时工作量的差等于乙(4+x)小时的工作量;④方程表示甲1小时的工作量、乙4小时的工作量及甲乙合作x小时的工作量的和等于总工作量“1”。
x-2.5
5
5⨯1小时;另一方面,用这名学生的速度计算,这段时间还等于刚开始的1小时+返回用的7.5
x-2.5小时+去追队伍的小时。
7.5(5)C一方面,用队伍的速度计算,从出发到这名学生追上队伍所用时间为
2、对号入座:
11131⨯3+(+)x=甲做三天的工作量为⨯3,甲乙合作x天的工作量为88948
113(+)x,两部分工作量的和等于。
894
(2)75,25设需取浓度为15%的酒精溶液x克,则需取浓度为35%的酒精溶液(100-x)克,根据混合前后纯酒精重量不变,得15%x+35%(100-x)=100⨯20%。
解得x=75,100-x=25。
1010)上班的距离为5t千米,下班的距离为4(t+)千米,根据题(3)5t=4(t+6060
10)。
意,得5t=4(t+60
45⨯(x+20)千米,(4)1320设飞机在无风时的速度为x千米/时,则顺风路程为260
45⨯(x+20)=3(x-20)。
解得x=460,逆风路程为3(x-20)千米,因此260
3(x-20)=1320。
(1)
3、牛刀小试:
(1)设从出发到开车时间一共x小时,根据题目,得
1515)=18(x+)6060
解得,x=130(x-
30(x-15)=27(千米/时)101-60
11x,B做的工作量为(46-x),根据题4050答:
摩托车的速度应该是27千米/时。
(2)设A做了x天,则A做的工作量为
意,得11x+(46-x)=14050
解得x=16
46-x=30
答:
A、B分别做了16天和30天。
(3)设乙种盐水的浓度为x,则甲种盐水的浓度为2x,甲种盐水中含盐120⨯2x克,乙种盐水中含盐240x克,根据题意,得120⨯2x+240x=(120+240+40)⨯12%
解得x=0.1
2x=0.2
答:
甲、乙两种盐水的浓度分别是20%和10%。
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