数学春季教案 五年级14 有趣的数阵图.docx
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数学春季教案五年级14有趣的数阵图
第14讲有趣的数阵图
[教学内容]:
春季五年级精英版,第14讲“有趣的数阵图”。
[教学目标]:
知识与技能:
1、通过对图形的观察,发现图形的规律,进一步发现数的规律;
2、利用容斥原理解决数阵图问题。
数学思考:
1、形成数感,并感受几何直观,帮助发现问题中的规律;
2、通过观察、尝试及验证,进行适当推理,并进行有条理地思考。
问题解决:
1、将问题简单化,找到解决问题的最佳方法;
2、通过合作交流,生生互动,解决问题并表达出自己的想法;
3、经过简单题型的学习,总结解题方法及规律,解决较复杂的问题。
情感与态度:
1、在相互协作,教师引导下,解决较困难的问题,竖立信心;
2、养成乐于思考、勇于质疑、言必有据的良好品质和习惯。
[教学重点和难点]:
教学重点:
观察发现图形规律及数的规律。
教学难点:
利用数形结合、容斥原理解决数阵图问题。
[教学准备]:
动画多媒体语言课件。
第一课时
教学过程:
教学路径
学生活动
方案说明
一、导入
师:
首先让我们一起看这样一张表:
(课件显示上表)
师:
同学们观察一下,这个4×4方格中的数有什么规律呢?
同桌之间可以相互讨论。
生:
我发现每一行、每一列、每条对角线上的四个数之和都相等,都等于34。
生:
我还发现,任意一个2×2的正方形中的4个数的和也都等于34。
(课件可利用红框或颜色闪烁表示出横行、竖列、对角线、2×2正方形的和都是34)
师:
同学们真厉害,一下子就发现了这么多的规律,大家在生活中一定也是仔细认真,善于观察的小能手!
这里我给大家呈现的表格,有一个专门的名字叫作数阵图。
数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形,有时简称数阵。
它是由幻方演变而来。
幻方一般都是正方形,而数阵图的形状则是丰富多样,也特别有趣。
二、新授
今天我们就一起来学习一些简单的数阵图,比比哪个同学学得最好!
首先让我们来看例1
例1:
将1~9这9个自然数填写到下面的九宫格里,使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。
(课件显示例1)
1.学生读题,教师提问。
师:
这个问题,相信有很多同学都遇到过。
我们应该如何解决这个问题呢?
生:
因为第一横行的和都相等,而1~9的和为45,说明每一行的和为15,那么每一竖列和每条对角线上三个数的和也都是15。
同时,1~9这9个数的中间数是5,关于5对称的两个数的和都是10,而10+5=15,所以可以把5填在方阵的正中间。
然后使关于5对称的4组数和为10,最后相办法让正方形四条边上的和为15就行了。
师:
这样同学说得非常好。
同学们可以试着自己填一填。
2.学生填数,师巡视指导
师:
好了,我请一位同学上来把自己的填法给大家看一下。
学生动手自己填一下。
汇报结果。
师:
今天老师给大家介绍一个简单的方法:
解析一:
(课件动画演示以上过程(第一步中九个数要按顺序一个个出现),每动一步,口诀同步显示在旁边)
解析二:
动画按顺序排列,下一步
以5为中心,顺时针旋转一格,下一步
对角互换。
答案:
把最后的结果填到方阵中。
3.教师小结
师:
通过检验,我们发现,结果真的和题目条件一致。
亲爱的同学们,其实不仅仅1~9可以这样填。
所有9个数组成的等差数列都可以这样填,结果也都可以保证使每一行、每一列、每条对角线上的和都相等,通过这个方法,我们来检验一下,结果是否符合题意。
现在大家可以试着把2、4、6、8、10、12、14、16、18这九个数填到3×3的方阵中,使每一行、每一列、每条对角线上的和都相等。
我们看谁填得最快!
(根据课堂时间,适当选择该题)
师:
同学们做得都很好。
这是一个正方形的数阵图,现在让我们继续往下看。
(课件显示例2)
例2:
将12~16这五个数分别填在下图的“○”中,使得每条直线上的三个数字之和都等于43。
1.学生读题,教师引导。
师:
现在要使每条线上的三个数之和都等于43,我们应该怎么思考呢?
2.同桌互相探讨,汇报。
生:
因为总共就只有2条线,每条线上的三个数之和都等于43,两个和相加就是43+43=86。
而12~16这五个数的和为14*5=70,比86小。
这是因为中间的数加了两次,也就是多加了一次。
86-70=16,说明多加了一次的数就是16,所以中间数是16。
43-16=27,说明上下两个数的和与左右两个数的和都是27。
12+15=27,13+14=27。
所以可以在上下两个圆圈里填12和15,左右两个圆圈里填13和14。
或者反过来填也行。
师:
同学们同意他的观点吗?
生:
同意!
师:
说得这么好,怎么能没有掌声呢!
(师声鼓掌)
3.教师点评,总结。
师:
这里关键是要确定什么?
生:
确定中间的数。
师:
是的。
把中间的数确定下来,问题就解决一半了!
现在每位同学把过程写完整,并把5个数填到圆圈中。
我请一位同学到前面来填。
解析:
动画横着和竖着的三个圈分别闪烁,标注43.最后中间的圆圈变色,出示文字:
中间数被重复计算了一次,先确定中间数:
43+43-(12+13+14+15+16)=16
下一步在中间的圆内填上16.
答案:
答案不唯一
师:
看来这些问题都难不住咱们精英班的同学们,下面这道题可有点难度了,大家做好心理准备哦!
(课件出示例3)
例3:
在下面三个圆的空白处分别填入4、5、7、9四个数,使每个圆里的四个数的和都相等。
1.学生获取信息,理解题意。
师:
其实这道题可以理解为,把3、4、5、6、7、8、9这七个数填到图中的七个区域里,使每个圆里的四个数的和都相等。
现在题目中已经帮我们填好了3个数,那么剩下的四个数应该怎么填呢?
这个问题好像挺难解决的。
同学们同桌前后四人为一组进行讨论。
2.小组合作交流,汇报思路。
(讨论约3分钟)
师:
停,坐正。
哪一组可以跟大家分享一下你们的结果?
生:
通过观察,我们发现,中间的数同时在三个圆里,可以先不考虑。
三个圆里分别已经有两个数,每个圆里两个数的和分别是9、11和14,这三个和的差分别是2、3、5。
要使三个圆中四个数的和相等,就必须使最外面三个数的差分别是2、3、5,我们发现,4、5、7、9四个数中,4、7、9符合要求,所以5填在中间。
后面就好做了。
3.学生尝试解答并汇报。
师:
非常好,现在每位同学独立思考,并尝试把所有的数都填到图中。
解析:
闪烁中间部分,出示文字:
公共部分
下一步
下一步
下一步
答案:
填上数字
师:
我看到很多同学都做得非常好,现在同桌之间互相讲解一下自己的解题过程,一会我请两位同学进行讲解。
(约2分钟后,请两位同学讲解)
4.学生总结方法并汇报。
教师适当指导。
师:
两位同学说得都很好。
现在我们继续往下看。
(课件出示例4)
例4:
将1~6六个数分别填入下图的圈内,使三角形每条边上三个数的和都相等。
这个和最大可能是(),最小可能是()。
师:
观察这个数阵图,你有什么发现?
生:
我发现顶点的三个数都要被重复加1次。
师:
是的。
现在要求每条边上的和最大或最小,应该怎么办呢?
生:
因为三角形三个顶点上的数都被重复加了,所以要使和最大,就要把最大的三个数放到顶点上。
然后把1、2、3分别填到边上的三个圆圈中,使三条边上的和都相等就行了。
同样的,要使和最小就把最小的三个数填在顶点上,步骤是一样的。
师:
非常好!
但这道题只是让我们求出和最大或最小是多少,没有让我们把具体的排法写出来。
从这方面来考虑,大家有没有更简便一些的方法呢?
同桌之间可以讨论一下!
生:
如果要使和最大,那么三角形三个顶点上的数就要最大。
那么把三条边上的和相加就可以得到1+2+3+(4+5+6)×2=36,所以每边上和最大就是36÷3=12。
求最小和时,把1、2、3填在顶点上,那么最小的和就是[(1+2+3)×2+4+5+6]÷3=9。
师:
非常好。
现在同学们在书本上把过程书写完整,并跟同桌相互说一说这道题的解题思路。
解析:
三个顶点上的数都被重复计算了。
所以要使和最大,就要把最大的三个数放到顶点上。
下一步
要使和最小,就要把最小的三个数放到顶点上。
答案:
师:
刚才我看到同学们做得都非常好。
现在让我们看最后一个例题。
(课件出示例5)
(选做题)例5:
在下面的九宫格中,每个格子里各有一个数,如果每行、每列、每条对角线的三个数的和都相等,根据已知的三个数求x?
师:
这一题有点像刚才的例1,都是3×3的数阵。
而且每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。
同学们思考一下,我们首先可以确定哪一个格子呢?
生:
可以先确定左下角的格子。
我们可以给每个格子进行编号。
因为a+2+b=a+72+90,所以b=160。
解析:
在“每行、每列、每条对角线的三个数的和都相等”下面划线,然后空格中填上字母
下一步
第一行和第一列同时变色,求出b=160.
下一步
对角线变色、中间的一列变色,求出c=178
下一步
中间一列变色、中间一行变色,求出e=248
下一步
四个角同时变色,出示a+d=90+b=250
下一步
第一行和最后一行变色,
出示72+90+160+178+250=750,
下一步
所以每行的和为375。
师:
很好,接下来呢?
生:
因为90+x+160=72+x+c=2+x+e,所以可以求出c=178,e=248,又因为a+d=90+b=250,所以可以知道上下两行的和为72+90+160+178+250=750,所以每行的和为375。
这样就可以得到x的值了。
师:
几位同学说得都非常好。
其他同学是不是这样想的呢?
生:
我是直接用x表示的,最后解方程。
前面和刚才一样,先求出b、c、e的值。
然后a可以表示成“88+x”,d可以表示成“162-x”。
因为每行、每列、每条对角线的和都相等,所以可以利用上下两行和相等,列出方程:
88+x+72+90=160+178+162-x
解出这个方程就可以直接得到x等于125了。
师:
非常好,这位同学的方法也很正确。
现在每位同学运用自己喜欢的方法把这个问题解答完整。
做完之后,同样要与同桌相互说一说这道题的解题思路。
三、小结
师:
好了。
同学们,这节课我们学习了数阵图。
通过观察发现图形之间的规律,然后再发现数的规律进而解决问题。
这里,观察是最重要的一步,我们一定要发现数阵的特点,这样才能解决问题。
休息一下,一会我们去解决拓展问题。
第二课时
教学过程:
教学路径
学生活动
方案说明
一、过渡语
师:
同学们,大家觉得数阵图问题有趣吗?
针对一些看上去很难的问题,我们可以通过观察发现它们的规律,然后用简单的方法进行破解。
下面就让我们一起试试解决一些数阵问题。
二、拓展问题
课件显示拓展问题。
1.在下图的空格中填上适当的数字(可以重复),使任意三个相邻的格子中的数字之和等于10。
师:
因为3加第3、4格中的数等于10,而第3、4、5格的数相加也等于10,所以说明第5格中的数就等于3。
同样的道理,第8格中的数也等于3。
因为第7、8、9格中的数字之和为10,而第8格中的数是3,第9格中的数是5,所以第7格中的数应该是10-3-5=2。
然后一步步往前推算就可以了。
解析:
在题干“任意三个相邻的格子中的数字之和等于10”下面画横线,然后动画用大括号依次括住相邻的三个格,上面标上10.
下一步
大括号标注第2、3、4格和第3、4、5格,在第5格填3,大括号标注第5、6、7格和第6、7、8格,在第8格填3.
下一步
大括号标注最后三个格,在倒数第3格填2.
2.将2、5、8、11、14、17、20、23、26这9个自然数填写到下面的九宫格里,使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。
师:
可以通过例2的简便方法来操作。
引导学生一起说:
1.菱形排列
2.对边互换
3.四边外伸
教师根据学生所说一步一步展示动画。
解析一:
(动画参考例2)
师:
还可以怎么做呢?
生:
正常排列、顺时旋转、对角互换
教师根据学生所说一步一步展示动画。
解析二:
(动画参考例2)
3.将2~16中的八个偶数分别填入圈内;使正方形每条边上的三个数的和都相等。
师:
我们给每个圆标上字母。
师:
通过分析可以知道,a+d=g+h,由和不变的性质可以知道,a与h的差等于d与g的差。
同样的,b与e的差等于a与h的差,也就是说a和h、b和e、d和g这三组数的差都相等,且在每组中,如果a大,那么d和b就小,如果a小,哪么b和d就大。
这样我们可以尝试在这四个圆里填数如下:
这时还剩下14和16,但我们发现,2和6相差4,那么c和f也应该相差4,看来这样填不行,但我们发现,如果把10和12分别换为12和14,这时剩下的就是10和16,它们相差6,那么我们就再把2和4调整到顶点上,把12和14放到边上,可以填了。
这样还剩下的10和16就可以分别填在f和c处。
4.将1~7这七个数分别填在下图的“○”中,使得每条直线上的三个数字之和都等于12。
师:
我们可以利用例2的方法来思考。
这里一共有三组数,每组数的和都相等,我们把3个和加起来就是36,而1~7这七个数的和为28,比36少8,这是因为中间的数被重复加了三次,也就是多加了两次。
那么这里的8就是中间数的两倍。
所以中间应该填4。
后面就很简单了。
可以把1和7、2和6、3和5分别看成一组中的两个数。
分别填到对称的两个圆圈中就可以了。
填法不唯一哦!
(选做题)5.将1~16这16个自然数填入下面的方框中,使每行、每列、每条对角线上4个数的和都相等。
(提示:
将16个数先按顺序逐行填入方框,然后互换上、下、左、右四个边上的8个数的位置就可以了哦!
)
师:
这一题可以用计算的方法进行解答,但这样比较复杂,这里介绍一个简单的方法。
解析:
动画演示。
师:
通过上面的示意图,我们可以很轻松地把所以数填到数阵图中。
这个方法与3×3的数阵图一样,适用于所以16个数的等差数列哟!
三、小结
师:
同学们,数阵图是非常奇妙的,我们今天只是学习了其中的一小部分,未来我们还会学习到更多更有趣的数阵图问题。
大家有没有信心解决这些问题呢?
生:
有!
师:
大家真棒!
今天的课就要结束了。
同学们是否收获了很多呢?
回家记得要跟爸爸妈妈们分享你的收获!
解答数阵图的一般步骤:
1、仔细审题,发现规律
2、观察图形,寻找突破
3、尝试填数,验证答案
本讲内容参考答案:
呈现问题
例1:
答案不唯一
例2:
答案不唯一
例3:
例4:
最大是12,最小是9
填图方法不唯一最大:
最小:
例5:
x是125
拓展问题
1:
2:
答案不唯一
3:
答案不唯一
4:
答案不唯一
5:
答案不唯一
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