高考第二轮复习理数专题十三 直线与圆的方程.docx
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高考第二轮复习理数专题十三直线与圆的方程
2017年高考第二轮复习(理数)
专题十三直线与圆的方程
1.(2015·广东,5,易)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( )
A.2x+y+5=0或2x+y-5=0
B.2x+y+=0或2x+y-=0
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0
D.2x-y+=0或2x-y-=0
1.A 由题意,可设切线方程为2x+y+b=0,则=,解得b=±5,故选A.
2.(2012·浙江,3,易)设a∈R,则“a=1”是“直线l1:
ax+2y-1=0与直线l2:
x+(a+1)y+4=0平行”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.A 由l1∥l2,得-=-,解得a=1或a=-2,代入检验均符合,即“a=1”是“l1∥l2”的充分不必要条件,故选A.
3.(2013·辽宁,9,中)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则必有( )
A.b=a3
B.b=a3+
C.(b-a3)=0
D.|b-a3|+=0
3.C 若△OAB为直角三角形,则∠A=90°或∠B=90°.
当∠A=90°时,有b=a3;
当∠B=90°时,有·=-1,得b=a3+.
故(b-a3)=0,选C.
4.(2013·湖南,8,难)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( )
A.2B.1C.D.
4.D 以AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立如图所示的坐标系,由题意可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),则直线BC方程为x+y-4=0,
设P(t,0)(0<t<4),由对称知识可得点P关于BC所在直线的对称点P1的坐标为(4,4-t),点P关于y轴的对称点P2的坐标为(-t,0),根据反射定律可知P1P2所在直线就是光线RQ所在直线.由P1,P2两点坐标可得P1P2所在直线的方程为y=·(x+t),设△ABC的重心为G,易知G.因为重心G在光线RQ上,所以=,即3t2-4t=0.
所以t=0或t=.因为0<t<4,所以t=,即AP=,故选D.
5.(2013·课标Ⅱ,12,难)已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( )
A.(0,1)B.
C.D.
5.B ①当直线y=ax+b与AB,BC相交时(如图1),由得yE=.又易知xD=-,∴|BD|=1+,由S△DBE=××=得b=∈.
图1
②当直线y=ax+b与AC,BC相交时(如图2),由S△FCG=(xG-xF)·|CM|=得b=1-∈(0<a<1).
图2
∵对于任意的a>0恒成立,
∴b∈∩,
即b∈,故选B.
6.(2014·广东,10,易)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为________.
6.【解析】 y′=-5e-5x,曲线在点(0,3)处的切线斜率k=y′|x=0=-5,故切线方程为y-3=-5(x-0),即5x+y-3=0.
【答案】 5x+y-3=0
直线及其方程在高考中单独考查的较少,通常与其他知识结合起来进行考查,有两种常见方式:
一是与导数结合,求曲线的斜率、倾斜角和切线方程等;二是与圆、圆锥曲线结合,考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系等.求直线方程的一种重要方法是待定系数法,选择恰当的直线方程的形式对解题很重要.
1(2015·山东,9)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )
A.-或- B.-或-
C.-或-D.-或-
【解析】 由题知,反射光线所在直线过点(2,-3),设反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.
∵圆(x+3)2+(y-2)2=1的圆心为(-3,2),半径为1,且反射光线与该圆相切,
∴=1,化简得12k2+25k+12=0,解得k=-或k=-.
【答案】 D
直线的倾斜角与斜率问题的解决方法
(1)掌握斜率与倾斜角的关系,即k=tanα.
(2)已知斜率范围求倾斜角范围时,借助正切函数图象确定即可.
求直线方程的两种方法
(1)直接法:
根据已知条件,求出直线方程的确定条件,选择适当的直线方程的形式,直接写出直线方程.
(2)待定系数法:
其具体步骤为:
①设出直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式);②根据题设条件列出关于待定系数的方程或方程组;③解方程或方程组得到待定系数;④写出直线方程;⑤验证所得直线方程是否即为所求直线方程,如果有遗漏需要补加.
1.(2015·河南开封调研,6)设A(-1,2),B(3,1),若直线y=kx与线段AB没有公共点,则k的取值范围是( )
A.(-∞,-2)∪B.∪(2,+∞)
C.D.
1.C 如图所示,直线y=kx过定点O(0,0),kOA=-2,kOB=.
若直线y=kx与线段AB没有公共点,则直线OA逆时针旋转(斜率增大)到OB都是满足条件的直线(不包含直线OA与OB).数形结合得k∈.故选C.
2.(2016·浙江台州质检,4)过点P(3,0)有一条直线l,它夹在两条直线l1:
2x-y-2=0与l2:
x+y+3=0之间的线段恰被点P平分,则直线l的方程为( )
A.6x-y-18=0B.8x-y-24=0
C.5x-2y-15=0D.8x-3y-24=0
2.B 如果所求直线斜率不存在,则此直线方程为x=3,不合题意.
∴设所求的直线l方程为y=k(x-3),
∴分别联立直线l与l1,l2的方程得与
解得与
∴直线l与l1,l2的交点分别为,.
∵夹在两条直线l1与l2之间的线段恰被点P平分,
∴+=6,且+=0,
解得k=8,
∴所求的直线方程为y=8x-24,即8x-y-24=0.
两条不同的直线的位置关系有平行、相交(垂直是其中一种特殊情况)两种情况,要求能根据直线方程判断两条直线的位置关系,利用两条直线平行、垂直求其中一条直线的方程或参数的取值范围,多以选择题、填空题的形式出现,难度较小.
2
(1)(2016·河南郑州一模,4)命题p:
“a=-2”是命题q:
“直线ax+3y-1=0与直线6x+4y-3=0垂直”成立的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
(2)(2014·四川,14)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________.
【解析】
(1)直线ax+3y-1=0与直线6x+4y-3=0垂直的充要条件是6a+3×4=0,即a=-2.
(2)由题意可知,动直线x+my=0过定点A(0,0),动直线mx-y-m+3=0,即m(x-1)-y+3=0,过定点B(1,3).又因为动直线x+my=0和动直线mx-y-m+3=0始终垂直,又P是两条动直线的交点,则有PA⊥PB,
所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.
所以|PA|·|PB|≤=5(当且仅当|PA|=|PB|=时取“=”).
【答案】
(1)A
(2)5
(2016·北京顺义区二模,5)设m,n∈R,若直线l:
mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且坐标原点O到直线l的距离为,则△AOB的面积S的最小值为( )
A.B.2C.3D.4
C 由坐标原点O到直线l的距离为,可得=,
化简可得m2+n2=.
令x=0,得y=,令y=0,得x=,
所以△AOB的面积S=·=≥=3,
当且仅当|m|=|n|=时,取等号,故选C.
两直线的位置关系问题的解题策略
(1)求解与两条直线平行或垂直有关的问题:
主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件,即“斜率相等且纵截距不相等”、“互为负倒数”.若出现斜率不存在的情况,可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式判断.
(2)两直线交点的求法:
求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点.
(3)求与直线有关的距离:
利用点到直线的距离公式时,需要先将直线方程化为一般式;利用平行线间的距离公式时,需要先将两条平行线方程化为x,y的系数对应相等的一般式.
1.(2016·重庆南开中学模拟,4)若P(2,1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为( )
A.x-y-1=0B.2x-y-3=0
C.x+y-3=0D.2x+y-5=0
1.C 圆(x-1)2+y2=25的圆心为(1,0),直线AB的斜率等于=-1,由点斜式得直线AB的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0,故选C.
2.(2016·湖北咸宁二模,6)“a=”是“直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0相互垂直”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.A 对于直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0,
当a=0时,分别化为x+1=0,-x+y-3=0,此时两条直线不垂直,不符合题意;
当a=-1时,分别化为-3y+1=0,-2x-3=0,此时两条直线相互垂直,满足条件;
当a≠-1,0时,两条直线的斜率分别为-,.由于两条直线垂直,可得-·=-1,解得a=或-1(舍去).
综上可得,两条直线相互垂直的充要条件为a=或-1.
∴“a=”是“直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0相互垂直”的充分而不必要条件.
3.(2015·安徽合肥期末,8)设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,已知a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,且0≤c≤,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )
A.,B.,
C.,D.,
3.D 由题意,a+b=-1,ab=c,两条直线之间的距离为d===,又0≤c≤,故≤d≤.
4.(2016·四川成都二模,8)已知直线l的方程是y=k(x-1)-2,若点P(-3,0)在直线l上的射影为H,O为坐标原点,则|OH|的最大值是( )
A.5+B.3+2
C.+D.+3
4.C 因为直线l的方程是y=k(x-1)-2,所以直线l过定点M(1,-2).则点P(-3,0)在直线l上的射影H在以PM为直径的圆上.
|PM|==2,
线段PM的中点即圆心C(-1,-1),则|OC|=.
因此当O,C,H三点共线时|OH|取得最大值=+.
5.(2016·辽宁沈阳一模,14)若直线l:
+=1(a>0,b>0)经过点(1,2),则直线l在x轴、y轴上的截距之和的最小值是________.
5.【解析】 ∵直线l:
+=1(a>0,b>0)经过点(1,2),
∴+=1,
∴a+b=(a+b)=3++≥3+2,当且仅当b=a时等号成立.
∴直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值是3+2.
【答案】 3+2
6.(2015·北京东城期末,13)如图所示,已知A(-2,0),B(2,0),C(0,2),E(-1,0),F(1,0),一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后,再经AC反射,落到线段AE上(不含端点),则直线FD的斜率的取值范围是________.
6.【解析】 如图所示,从特殊位置考虑.∵点A(-2,0)关于直线BC:
x+y=2的对称点为A1(2,4),∴直线A1F的斜率kA1F=4.∵点E(-1,0)关于直线AC:
y=x+2的对称点为E1(-2,1),点E1(-2,1)关于直线BC:
x+y=2的对称点为E2(1,4),此时直线E2F的斜率不存在,∴kA1F<kFD,即kFD∈(4,+∞).
【答案】 (4,+∞)
1.(2016·课标Ⅱ,4,易)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )
A.-B.-C.D.2
1.A [考向2]将圆的方程化为(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心为(1,4).由题意知,=1,解得a=-.
2.(2015·课标Ⅱ,7,中)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )
A.2B.8C.4D.10
2.C [考向2]∵kAB==-,kBC==3,∴kAB·kBC=-1.
∴AB⊥BC.
∴△ABC为直角三角形且AC为圆的直径,
∴圆心坐标为(1,-2),半径r=5,
∴圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y2+4y-20=0,
∴y1+y2=-4,y1y2=-20,
∴|MN|=|y1-y2|=
==4.
3.(2012·陕西,4,中)已知圆C:
x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则( )
A.l与C相交
B.l与C相切
C.l与C相离
D.以上三个选项均有可能
3.A [考向2]圆的标准方程为(x-2)2+y2=4,显然点P(3,0)在圆内,故直线l与圆C相交.
4.(2013·山东,9,中)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( )
A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0
C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0
4.A [考向3]方法一:
如图,
圆心坐标为C(1,0),易知A(1,1).
又kAB·kPC=-1,且kPC==,
∴kAB=-2.
故直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,故选A.
方法二:
直线AB是以PC为直径的圆(x-2)2+=与圆(x-1)2+y2=1的公共弦所在直线,
∴直线AB的方程为2x+y-3=0.
方法三:
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则直线PA的方程为(x1-1)(x-1)+y1·y=1,
直线PB的方程为(x2-1)(x-1)+y2y=1.
又PA,PB都经过P(3,1),
∴(x1-1)(3-1)+y1×1=1, ①
(x2-1)(3-1)+y2×1=1, ②
由①,②知(x-1)(3-1)+y×1=1经过A(x1,y1),B(x2,y2),而过两点的直线唯一,∴直线AB的方程为2x+y-3=0.
5.(2014·江西,9,难)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为( )
A.πB.π
C.(6-2)πD.π
5.A [考向1]由题意易知∠AOB=90°,
∴点O在圆C上.
设直线2x+y-4=0与圆C相切于点D,则点C与点O间的距离等于它到直线2x+y-4=0的距离,
∴当且仅当O,C,D共线时,圆的直径最小为|OD|.
又|OD|==,
∴圆C的最小半径为,
∴圆C面积的最小值为π=π.
6.(2014·陕西,12,易)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为________.
6.[考向1]【解析】 两圆关于直线对称,则圆心关于直线对称,半径相等.
圆C的圆心为(0,1),半径为1,故标准方程为x2+(y-1)2=1.
【答案】 x2+(y-1)2=1
7.(2014·课标Ⅱ,16,中)设点M(x0,1),若在圆O:
x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是________.
7.[考向3]【解析】 方法一:
如图①,当x0=0时,M(0,1),由圆的几何性质得在圆上存在点N(-1,0)或N(1,0),使∠OMN=45°.当x0≠0时,过M作圆的两条切线,切点为A,B.
若在圆上存在N,使得∠OMN=45°,
应有∠OMB≥∠OMN=45°,
∴∠AMB≥90°,
∴-1≤x0<0或0<x0≤1.
综上,-1≤x0≤1.
图①
方法二:
如图②,过O作OP⊥MN,P为垂足,OP=OM·sin45°≤1,
∴OM≤,∴OM2≤2,∴x+1≤2,
∴x≤1,∴-1≤x0≤1.
图②
【答案】 [-1,1]
8.(2015·湖北,14,难)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.
(1)圆C的标准方程为________________;
(2)过点A任作一条直线与圆O:
x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:
①=;②-=2;
③+=2.
其中正确结论的序号是________.(写出所有正确结论的序号)
8.[考向1,2]【解析】
(1)设圆心C(a,b),半径为r.
∵圆C与x轴相切于点T(1,0),
∴a=1,r=|b|.
又圆C与y轴正半轴交于两点,
∴b>0,则b=r.
∵|AB|=2,∴2=2,∴r=,
故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-)2=2.
(2)设N(x,y),而A(0,-1),B(0,+1),
则=
=.
又x2+y2=1,
∴==·=(+1)2,
∴=+1,
同理,=+1.
∴=,且-=+1-=2,
+=+1+=+1+-1=2,故正确结论的序号是①②③.
【答案】
(1)(x-1)2+(y-)2=2
(2)①②③
9.(2013·江苏,17,14分,中)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:
y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.
9.[考向3]解:
(1)由题意知,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.
设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,
由题意得,=1,
解得k=0或-,
故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.
(2)因为圆心在直线y=2x-4上,
所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.
设点M(x,y),因为MA=2MO,
所以=2,
化简得x2+y2+2y-3=0,
即x2+(y+1)2=4,
所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.
由题意,点M(x,y)在圆C上,
所以圆C与圆D有公共点,则2-1≤CD≤2+1,
即1≤≤3.
由5a2-12a+8≥0,得a∈R.
由5a2-12a≤0,得0≤a≤.
所以圆心C的横坐标a的取值范围为
圆的方程在高考中涉及三个方面的应用,一是利用直接法或待定系数法或动点轨迹确定圆的方程;二是利用圆的方程得到圆心和半径;三是圆的方程与其他知识结合起来进行综合考查,常涉及点到直线的最大或最小距离问题.但不管是哪一方面,掌握圆的实质内涵“心定位,径定大”是至关重要的.
1
(1)(2015·课标Ⅰ,14)一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为________.
(2)(2015·江苏,10)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________.
【解析】
(1)方法一:
由题意知a=4,b=2,上、下顶点的坐标分别为(0,2),(0,-2),右顶点的坐标为(4,0).由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2),(0,-2),(4,0)三点.
设圆的标准方程为(x-m)2+y2=r2(0<m<4,r>0),
则解得
所以圆的标准方程为+y2=.
方法二:
由题意设圆的一般方程为x2+y2+Dx+F=0,
由方法一知圆过点(0,±2),(4,0),
则解得
故所求圆的一般方程为x2+y2-3x-4=0,
即圆的标准方程为+y2=.
(2)由mx-y-2m-1=0可得m(x-2)=y+1,由m∈R知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线的距离的最大值为=,
故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.
【答案】
(1)+y2=
(2)(x-1)2+y2=2
用待定系数法求圆的方程的一般步骤
(1)选用圆的方程两种形式中的一种,若已知圆上三个点的坐标,通常选用一般方程;若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系,通常选用标准方程;
(2)根据所给条件,列出关于D,E,F或a,b,r的方程组;
(3)解方程组,求出D,E,F或a,b,r的值,并把它们代入所设的方程中,得到所求圆的方程.
确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;
(2)圆心在任一弦的中垂线上;
(3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.
与圆上点(x,y)有关的最值问题的常见类型及解法
(1)形如t=形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题,即转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值;
(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;
(3)形如t=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离平方的最值问题.
(2013·课标Ⅱ,20,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程;
(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.
解:
(1)设P(x,y),圆P的半径为r.
由题设y2+2=r2,x2+3=r2.
从而y2+2=x2+3.
故圆心P的轨迹方程为y2-x2=1.
(2)设P(x0,y0),由已知得
=.
又P在双曲线y2-x2=1上,
从而得
由得
此时,圆P的半径r=.
由得
此时,圆P的半径r=.
故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.,
直线与圆的位置关系主要通过数形结合思想,考查直线和圆的几何性质,常涉及切线长和弦长,主要以圆心、半径、勾股定理、点到直线的距离、弦心距公式等为基础,所涉及的题目在高考中属于中等难度.
圆与圆位置关系的应用主要题型有给出两圆的方程判断位置关系、公切线的条数、参数的范围、公共弦长等,以选择题、填空题为主,属中档题.
2
(1)(2015·重庆,8)已知直线l:
x+ay-1=0(a∈R)是圆C:
x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=( )
A.2B.4C.6D.2
(2)(2013·重庆,7)已知圆C1:
(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:
(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )
A.5-4B.-1
C.6-2D.
【解析】
(1)方法一:
由题设,得圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,知圆C的圆心为(2,1),半径为2.
因为直线l为圆C的对称轴,
所以圆心在直线l上,则2+a-1=0,解得a=-1,
所以|AB|2=|AC|2-|BC|2=[(-4-2)2+(-1-1)2]-4=36,所以|AB|=6.
方法二:
(优解)由题意知直线x+ay-1=0过
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- 高考第二轮复习理数专题十三 直线与圆的方程 高考 二轮 复习 专题 十三 直线 方程
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