第三部分 第三章二维随机变量的联合概率分布双份.docx
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第三部分第三章二维随机变量的联合概率分布双份
第三部分第三章:
二维随机变量的联合概率分布双份
第三部分概率论与数理统计 第三章二维随机变量的联合概率分布 [考试内容] 随机变量的联合分布函数,离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布和条件分布,连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度,随机变量的独立性和相关性,常见二维随机变量的联合分布,两个及两个以上随机变量简单函数的概率分布。
[考试要求] 1.理解随机变量的联合分布函数的概念和基本性质; 2.理解随机变量的联合分布的概念、性质及两种基本形式:
离散型联合概率分布和连续型联合概率密度,掌握两个随机变量的联合分布的边缘分布和条件分布; 3.理解随机变量的独立性及不相关的概念,掌握离散型和连续性随机变量独立的条件,理解随机变量的不相关与独立性的关系; 4.掌握二维均匀分布和二维正态分布,理解其中参数的概率意义。
5.会根据两个随机变量的联合概率分布求其函数的概率分布,会根据多个独立随机变量的概率分布求其函数的概率分布。
[命题特点] 本章一般出计算题,近年来二元函数的分布比一元的分布考得更多一些。
1 [内容综述] 一、多维随机变量的概念 二维随机变量:
随机试验E的样本空间为?
?
{?
},设X?
X(?
)和Y?
Y(?
)是定义在?
上的随机变量,它们构成的一个向量(X,Y),叫做二维随机向量或二维随机变量. 二、二维随机变量的联合分布函数、联合概率密度的概念与性质1.联合分布函数:
F(x,y)?
P{?
X?
x?
?
?
Y?
y?
}?
P{X?
x,Y?
y}. 分布函数的基本性质:
1)F(x,y)是关于x或y的非减函数,即 对于固定的y,若x1<x2,则F≤F;对于固定的x,若y1<y2,则F≤F.2)0≤F(x,y)≤1. F(x,y)?
1;F(?
?
y)?
limF(x,y)?
0;且F(?
?
?
?
)?
xlim?
?
?
y?
?
?
x?
?
?
F(x,?
?
)?
limF(x,y)?
0;F(?
?
?
?
)?
limF(x,y)?
0. y?
?
?
x?
?
?
y?
?
?
3)F(x,y)对每个变量右连续,即 F(x,y)?
F(x?
0,y),F(x,y)?
F(x,y?
0). 2 4)根据概率可加性,对于如图任意 (x1,y1),(x2,y2) P{x1?
X?
x2,y1?
Y?
y2} ?
P{X?
x2,Y?
y2}?
P{X?
x1,Y?
y2} ?
P{X?
x2,Y?
y1}?
P{X?
x1,Y?
y1} ?
F(x2,y2)?
F(x1,y2)?
F(x2,y1)?
F(x1,y1)?
0. 2.二维离散型和连续型随机变量的分布:
1)二维离散型随机变量:
如果二维随机变量(X,Y)的所有可能的值是有限对或可列无限多对,则称(X,Y)是离散型的随机变量.其分布律为 P{X?
xi,Y?
yj}?
Pij,i,j?
1,2,?
,满足:
①Pij?
0;② ?
?
Pij?
1; i?
1j?
1?
?
③ F(x,y)?
xi?
xyi?
y?
Pij. ?
2)二维连续型随机变量:
如果对于二维随机变量(X,Y)的分布函数 F(x,y)F(x,y)?
?
,存在非负函数f(x,y),使对于任意实数 yxx,y有 f(u,v)dudv,则称(X,Y)为连续型的随机变量,函数f(x,y)?
?
?
?
?
称为(X,Y)的概率密度.满足:
①f(x,y)?
0;②?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
f(x,y)dxdy?
F(?
?
?
?
)?
1; ?
2F(x,y)?
f(x,y;)) ③在f(x,y的连续点处有 ?
x?
y④ 随机点(X,Y)落在平面区域G内的概率为 P{(X,Y)?
G}?
?
?
f(x,y)dxdy. G 3 三、二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系1.边缘分布函数 FX(x)?
P?
X?
x?
?
P{X?
x,Y?
?
?
}?
F(x,?
?
),FY(y)?
P?
Y?
y?
?
P{X?
?
?
Y?
y}?
F(?
?
y);2.二维离散型随机变量的边缘律及分布函数?
?
P{X?
xi}?
?
Pij?
pi?
i?
1,2,?
P{Y?
yj}?
j?
1,2,?
j?
1?
Pij?
P?
j,i?
1?
FX(x)?
F(x,?
?
)?
ij?
?
y)?
?
?
pijx?
?
p,FY(y)?
F(i?
xj?
1i?
1y?
j?
y; 3.二维连续型随机变量的边缘概率密度 fX(x)?
?
?
?
?
?
f(x,y)dy,fY(y)?
?
?
?
?
?
f(x,y)dx. (联合分布可唯一确定边缘分布,反之未必成立!
!
!
) 四、了解二维随机变量的条件分布 (这几年考试内容明显增多)1.条件分布函数 FX|Y(x|y)?
P{X?
x|Y?
y} 称为在条件Y?
y下X的条件分布函数; FY|X(y|x)?
P{Y?
y|X?
x} 称为在条件 X?
x下Y的条件分布函数. 2.离散型随机变量的条件分布律 4 P{X?
xi,Y?
yj}Pij P{X?
xi|Y?
yj}?
P{Y?
y,i?
1,2,?
j}?
p?
j称为在条件 Y?
yj下X的条件分布函数; P{Y?
yi}j|X?
xP{Y?
yj,X?
xi}?
P{X?
x?
pij?
i}p,j?
1,2,i?
称为在条件 X?
xi下Y的条件分布函数. 3.连续型随机变量的条件概率密度 ff(x,y)X|Y(x|y)?
f)称为在条件Y?
y下X的Y(y条件概率密度; ff(x,y)Y|X(y|x)?
fx)称为在条件X?
x下Y的 X(条件概率密度. (注意与第一章中条件概率的计算作比较) 五、理解随机变量独立性的概念(相关性) 若对于所有x,y,有 P{X?
x,Y?
y}?
P{X?
x}?
P{Y?
y}, 即 F(x,y)?
FX(x)?
FY(y), 则称随机变量X和Y是相互独立的. 相对离散型,X和Y相互独立的充分必要条件是:
P{X?
xi,Y?
yj}?
P{X?
xi}?
P{Y?
yj}, 即 pij?
pi?
?
p?
j; 相对连续型,X和Y相互独立的充分必要条件是:
5
f(x,y)?
fX(x)?
fY(y). 应熟练应用随机变量的独立性进行概率计算. (注意独立与相关的联系与区别) 六、掌握求两个随机变量的函数的分布 (离散的仍是表上作业法,连续的熟悉下面的几种类型)1.两个随机变量和的分布,即ZfZ(z)?
?
?
?
?
?
?
X?
Y的分布 ?
?
?
?
f(x,z?
x)dx?
?
f(z?
y,y)dy; 当X和Y相互独立时, fZ(z)?
?
?
?
?
?
fX(x)fY(z?
x)dx?
?
?
?
?
?
fX(z?
y)fY(y)dy?
?
fX?
fY ?
2.M?
max(X,Y)及N?
min(X,Y)的分布 X和Y相互独立时, 1)M?
max(X,Y)的分布:
?
min(X,Y)的分布:
Fmax(z)?
P{M?
z}?
FX(z)FY(z); 2)NFmin(z)?
P{N?
z}?
1?
[1?
FX(z)][1?
FY(z)]. 七、重点与难点1. 重点:
二维随机变量的概念,二维随机变量的联合分布函数、分布律、 概率密度、独立性、条件概率和边缘分布,二维随机变量的函数的分布及概率密度,特别是Z ?
X?
Y、M?
max(X,Y)、N?
min(X,Y)的 6 分布.2. 难点:
已知联合概率密度求联合分布函数、条件概率;已知的 分布求Z?
X?
Y、M?
max(X,Y)、N?
min(X,Y)的分布. 3.一些说明:
联合分布函数F(x,y)与联合概率密度f(x,y)中的常数常 F(x,y)及f(x,y)的各个性质来确定. 求联合分布函数时,首先要定出联合概率密度f(x,y),再根据 f(x,y)?
0的条件及随机变量所满足的不等式等,正确的画出二重积分区 域,将二重积分化为累次积分去计算. 题型一:
求二维随机变量的概率分布题型二:
有关条件分布问题题型三:
随机变量的独立性题型四:
二维随机变量函数的分布及概率的计算 题型一:
求二维随机变量的概率分布 F(x,y)?
P{?
X?
x?
?
?
Y?
y?
}?
P{X?
x,Y?
y} 离散的情形:
pij?
P{X?
xi,Y?
yj}?
P{?
X?
xi?
?
Y?
yj} 例1.一个箱子里装有12只开关,其中2只是次品,现随机地抽取两次,每次只取一只,考虑两种试验:
有放回抽样;不放回抽样,以X、Y分别表示第1次和第2次取出的次品数,试分别就、两种情况,写出X和Y的联合分布律. 解:
因为X和Y的取值都是0和1,故(X,Y)的取值为(0,0)、、、.而取这些值的概率要按放回、不放回抽样两种情况考虑. 7 ?
?
有放回抽样,乘法定理得 101025P{X?
0,Y?
0}?
P{X?
0}P{Y?
0|X?
0}?
?
?
, 121236P{X?
0,Y?
1}?
P{X?
0}P{Y?
1|X?
0}?
1025?
?
,12123651,P{X?
1,Y?
1}?
类似可得:
P{X?
1,Y?
0}?
;3636不放回抽样,乘法定理得 P{X?
0,Y?
0}?
P{X?
0}P{Y?
0|X?
0}?
10915?
?
,1211221025P{X?
0,Y?
1}?
P{X?
0}P{Y?
1|X?
0}?
?
?
, 12113351,P{X?
1,Y?
1}?
类似可得:
P{X?
1,Y?
0}?
3366X和Y的联合分布律为 XY010 125/365/365/361/36 XY010 1; 15/225/335/33 1/66 例2.[2001年]设某班车起点站上客人数服从参数为?
(?
?
0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0?
p?
1),且中途下车与否相互独立,以Y表示在中途下车的人数,求:
在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率;二维随机变量(X,Y)的概率分布. 解:
是一个条件概率,即当X=n时,Y=m的概率:
P{Y?
m|X?
n}, 8 于下车与否相互独立,Y服从二项分布。
mm?
nmP{Y?
m|X?
n}?
Cp(1?
p),(?
0m?
nn,?
?
0,;1, 所以n P{X?
n,Y?
m}?
P{X?
n}?
P{Y?
m|X?
n} ?
ne?
?
mm?
Cnp(1?
p)n?
m,(0?
m?
n,n?
0,1,2,?
)。
n!
111P(A)?
P(B|A)?
P(A|B)?
例3.[2004年]设A,B为随机事件,且, 432?
1A发生,?
1B发生,Y?
?
令:
X?
?
求:
0A不发生;0B不发生;?
?
二维随机变量(X,Y)的概率分布;X与Y的相关系数. 解:
易见(X,Y)的取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),相应概率为 1P{X?
1,Y?
1}?
P(AB)?
P(A)P(B|A)?
12, 111P{X?
1,Y?
0}?
P(AB)?
P(A)?
P(AB)?
?
?
, 4126P(AB)P{X?
0,Y?
1}?
P(AB)?
P(B)?
P(AB)?
?
P(AB) P(A|B)1?
2P(AB)?
P(AB)?
P(AB)?
, 121112P{X?
0,Y?
0}?
1?
?
?
?
,(联合分布列表略…) 126123 联合分布可得边缘分布:
1?
1?
?
0?
0 X?
?
?
Y?
?
?
, 34145616?
?
?
?
9 于是可得:
113315E(X)?
D(X)?
?
?
E(Y)?
D(Y)?
, 44416636E(XY)?
P{X?
1,Y?
1}?
P(AB)?
1,121111cov(X,Y)?
E(XY)?
E(X)E(Y)?
?
?
?
, 124624 所以?
XY= 例4.[2009年,三]袋中有1个红球,2个黑球与3个白球,现有放回地从袋中取两次,每次取一个球.以X,Y,Z分别表示两次取球所得的红球、黑球与白球的个数. 求P{X=1|Z=0}; 求二维随机变量的概率分布. 11C1C22?
P{X?
1,Z?
0}46?
6P{X?
1|Z?
0}?
?
?
11解:
C3C3P{Z?
0}9; 6?
6cov(X,Y)?
D(X)DY()1。
15X可取0,1,2;Y可取0,1,2,共有九种可能性:
其联合分布为 1111C3C392C2C312P{X?
0,Y?
0}?
?
?
,P{X?
0,Y?
1}?
, 6?
6366?
63611112C1C3C2C246P{X?
0,Y?
2}?
?
?
,P{X?
1,Y?
0}?
, 6?
6366?
636112C1C24P{X?
1,Y?
1}?
?
,P{X?
1,Y?
2}?
0 6?
63611C1C11P{X?
2,Y?
0}?
?
,P{X?
2,Y?
1}?
P{X?
2,Y?
2}?
0 6?
636 10
X012Y09/366/361/36 112/364/360 24/3600 如果是有放回呢,应如何考虑?
C111C2P{X?
1|Z?
0}?
P{X?
1,Z?
0}P{Z?
0}?
C262C2?
33; C26X只可取0,1;Y可取0,1,2,共有六种可能性:
P{X?
0,Y?
0}?
C23C1132C36C2?
,P{X?
0,Y?
1}?
C2?
,6156151P{X?
0,Y?
2}?
C221CC1133C2?
,P{X?
1,Y?
0}?
2?
,615C61511P{X?
1,Y?
1}?
C1C22C2?
,P{X?
1,Y?
2}?
0,…… 615 例5.设二维随机变量的概率密度为 f(x,y)?
?
?
cx2y,x2?
y?
1?
0,其他 求系数c;求边缘概率密度. 11 解:
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
f(x,y)dxdy21214?
?
?
cxydxdy?
c?
xdx?
2ydy?
c?
?
1x212x?
y?
121所以有c?
4; fX(x)?
?
?
?
?
?
f(x,y)dy, ?
212?
12124x(1?
x),|x|?
1xydy,|x|?
1?
?
x2?
?
?
?
?
84?
?
0,|x|?
1?
0,|x|?
1?
fY(y)?
?
?
?
?
?
f(x,y)dx?
75?
y212?
?
?
yxydx,0?
y?
1?
y2,0?
y?
1.?
?
?
?
24?
?
0,其他其他?
?
0, 12例6.[1998年]设平面区域D曲线y?
及直线y?
0,x?
1,x?
e所围成, x二维随机变量在区域D上服从均匀分布,则关于X的边缘概率密度在 x?
2处的值为 。
解:
首先求联合概率密度。
于区域D的面积为:
SD?
?
e211e2dx?
lnx|1?
2,x21 (区域D为:
{(x,y)|1?
x?
e,0?
y?
}) x12 ?
f(x,y)?
?
1?
(x,y)?
D,所以联合密度为:
?
2x,y)?
D. ?
0,(再求边缘概率密度.1fX(x)?
?
?
?
?
?
f(x,y)dy?
?
x102dy?
122x,(1?
x?
e)所以f1X
(2)?
2?
2?
14。
题型二:
有关条件分布问题 FX|Y(x|y)?
P{X?
x|Y?
y} 称为在条件Y?
y下X的条件分布函数; FY|X(y|x)?
P{Y?
y|X?
x} 称为在条件 X?
x下Y的条件分布函数. x离散型:
P{X?
xi,Y?
yj}i|Y?
yj}?
P{X?
P{Y?
y?
Pijj}p,i?
1,2,?
?
jP{Y?
y P{Y?
yj,X?
xi}Pijj|X?
xi}?
P{X?
x?
p,j?
1,2,?
i}i?
连续型:
ff(x,y)X|Y(x|y)?
f(y)fY|X(y|x)?
f(x,y)f(x) YX 例1.已知的联合分布律为 Y012X 13 0121/401/61/81/30001/8试求在Y=1的条件下,X的条件分布律. 解:
第一步,先求Y的边缘分布律:
所以:
p?
1YP05/12111/2421/8?
P{Y?
1}?
11/24; 第二步,再求各条件概率:
P{X?
0,Y?
1}p011/83P{X?
0|Y?
1}?
?
?
?
, P{Y?
1}p?
111/2411 P{X?
1|Y?
1}?
P{X?
1,Y?
1}p111/38?
?
?
, P{Y?
1}p?
111/2411P{X?
2,Y?
1}p210P{X?
2|Y?
1}?
?
?
?
0 P{Y?
1}p?
111/24于是在条件Y=1下,X的分布律是:
例2.设维随机变量X在区间上服从均匀分布,在X件下,随机变量Y在区间 X03/1118/1120pX|Y(xi|1)?
x(0?
x?
1)条 (0,x)上服从均匀分布,求:
随机变量X,Y的联合概率密度; 14 Y的概率密度;概率P(X?
Y?
1). ?
1,0?
x?
1解:
X的概率密度为:
fX(x)?
?
?
0,其他, 在条件X?
x(0?
x?
1)下,Y在区间(0,x)上服从均匀分布, ?
?
?
1?
0?
y?
x所以条件密度为:
fY|X(y|x)?
x?
0,其他当0?
y?
x?
1时,联合分布密度为:
f(x,y)?
f?
x)1Y|X(y|Xf(?
xx),而在其它点(x,y)处,f(x,y)?
0, ?
?
?
1?
0?
y?
x?
1所以 f(x,y)?
x;?
0,其他Y的概率密度为:
?
fy)?
?
?
?
f(x,y)dx?
?
Y(?
?
11ydx0?
y?
1?
?
?
?
?
x?
?
lny,0?
y?
1?
0,其他?
0,其他;概率 P(X?
Y?
1)?
1x1dx1X?
?
?
f(x,y)dxdy?
Y?
1?
2?
1?
xxdy?
?
1(2x?
1)11112xdx?
?
1(2?
)dx?
1?
ln2. 2x 例3.[2009年,三]设二维随机变量的概率密度为 15
?
e?
x,0?
y?
xf(x,y)?
?
?
0,其他, 求条件概率密度fY|X(y|x).求条件概率P{X?
1|Y?
1}. 解:
定义知:
Y|XfX(x),先求边缘密度:
?
?
f?
?
?
x?
x0edyx?
0 fX(x)?
?
(x,y)dy?
?
?
?
xe?
x,x?
?
?
?
?
0,x?
0?
0?
0,x?
0. fy|x)?
f(x,y)?
?
1,0?
y?
x,从而 Y|X(fx)?
?
?
xX(?
0,其他;P{X?
11?
?
?
?
?
f(x,y)dx P{X?
1|Y?
1}?
?
1,Y?
1}P{Y?
1}?
?
1?
?
fY(y)dy,而Y的边缘密度为:
f?
?
?
?
f(x,y)dx?
?
?
?
?
?
ye?
xdxy?
0?
?
e?
y,y?
0Y(y)?
?
?
?
?
0,y?
0?
?
0,y?
0,11f(x,y所以:
P{X?
1|Y?
1}?
?
?
?
?
?
?
)dx?
1(y)dy ?
?
fY?
?
10dx?
x0e?
xdy?
1?
2e?
1e?
2?
1?
y1?
e?
1?
e?
1。
0edy 16 例4.[2010年]设二维随机变量的概率密度为 f(x,y)?
Ae?
2x2?
2xy?
y2,(?
?
?
x?
?
?
?
?
?
y?
?
?
), 求常数A及条件概率密度fY|X(y|x). 解:
利用正态分布的概率密度积分为1计算A。
(凑)?
?
)2 即 1?
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?
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1?
(t2?
2?
?
2?
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edt, 1?
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y)dxdy=A?
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2x2?
2xy?
y2?
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f(x,?
?
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edxdy ?
A?
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e?
(x?
y)2?
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dy(y?
x)2?
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A?
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?
x2dx?
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?
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2(12)2dy?
A?
?
?
?
?
x2?
?
e?
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1e2?
?
?
edx 2?
x2?
A?
?
?
?
?
e2
(1)22?
?
dx?
A?
2?
1, 21 所以 A?
?
; ?
?
1又 fX(x)?
?
?
?
?
?
f(x,y)dy?
?
?
?
?
e?
x2?
e?
(y?
x)2dy (y?
x)2?
1?
x2?
?
?
?
e2(12)2?
e?
?
?
1dy?
1e?
x22?
?
;217 1f(x,y)?
e?
2x2?
2xy?
y2f 所以 Y|X(y|x)?
f)?
X(x1x2 ?
e?
?
1e?
x2?
2xy?
y2 ?
?
1?
e?
(y?
x)2. 题型三:
随机变量的独立性 P{X?
x,Y?
y}?
P{X?
x}?
P{Y?
y}, F(x,y)?
FX(x)?
FY(y), 离散:
P{X?
xi,Y?
yj}?
P{X?
xi}?
P{Y?
yj},pij?
pi?
?
p?
j; 连续:
f(x,y)?
fX(x)?
fY(y). 例1.设随机变量X与Y相互独立且有相同分布, P{X?
?
1}?
P{Y?
?
1}?
12,P{X?
1}?
P{Y?
1}?
12, 则下列各式成立的是 AP{X?
Y}?
12; BP{X?
Y}?
1; CP{X?
Y?
0}?
14; DP{X?
Y?
1}?
14. 解:
考察:
18 P{X?
Y}?
P{X?
?
1,Y?
?
1}?
P{X?
1,Y?
1}?
P{X?
?
1}P{Y?
?
1}?
P{X?
1}P{Y?
1}11111?
?
?
?
?
22222所以选. 例2.[2005,一]设随机变量X与Y的 概率分布如表,已知随机事件{X?
0}, X01 Y 0b1a{X?
Y?
1}独立,则 Aa?
b?
;Ba?
b?
; Ca?
b?
;Da?
b?
解:
联合分布律性质:
?
a?
b?
?
1,?
a?
b?
; 再利用独立性讨论:
P(X?
0,X?
Y?
1)?
P(X?
0)?
P(X?
Y?
1) 所以:
P(X?
0,Y?
1)?
P(X?
0)?
?
P(X?
0,Y?
1)?
P(X?
1,Y?
0)?
所以:
a?
(?
a)?
(a?
b)?
(?
a)?
?
?
a?
b?
,所以选. 例3.[2007,一]设随机变量服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示X,Y的分布密度,则在Y?
y条件下,X的概率密度fX|Y(x|y)为 fX(x)AfX(x);BfY(y); CfX(x)?
fY(y);D. fY(y)解:
注意不相关与独立的关系;独立一定不相关;但在一般情况下,不相关未 19 必独立;例外:
在二维正态分布下,不相关?
独立。
f(x,y)fX(x)?
fY(y)?
?
fX(x)所以本题中:
fX|Y(x|y)?
fY(y)fY(y)答案选A。
例4.[2003,四]设随机变量X和Y都服从正态分布,且X与Y不相关,则 AX与Y一定独立;B服从二维正态分布; CX与Y未必独立;DX+Y服从一维正态分布. 解:
于不知的联合分布是否为二维正态分布,所以不能从X与Y不相关来判定X与Y是否独立!
!
!
!
!
!
相反,如果X与Y独立,则B,D均成立。
答案选C。
例5.二维随机变量的分布密度 ?
3x,f(x,y)?
?
?
0,0?
x?
1,0?
y?
x, 其他.求X与Y边缘概率密度;X,Y是否独立.解:
如图,当0?
x?
1时,0?
y?
x,故有 x2f(x)?
f(x,y)dy?
3xdy?
3x X,?
?
?
?
0?
?
当0?
?
?
y?
1时,y?
x?
1,有 1 fY(y)?
?
?
?
f(x,y)dx?
?
y3xdx?
显然 3(1?
y2); fX(x)?
fY(y)?
f(x,y),所以X和Y不是相互独立的. 20
例5.[2008年,三]设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为 ?
1,0?
y?
11P{X?
xi}?
,(i?
?
1,0,1),Y的概率密度为fY(y)?
?
,记 0,其它3?
Z?
X?
Y, 求P{Z?
12|X?
0};求Z的概率密度fZ(z). P{Z?
1,X?
0}P{0?
Y?
1,解:
P{Z?
122X?
0}2|X
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- 第三部分 第三章二维随机变量的联合概率分布 双份 第三 部分 二维 随机变量 联合 概率 分布