初中九年级数学 一元二次方程解法.docx
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初中九年级数学一元二次方程解法
一般解法 1..配方法(可解所有一元二次方程)
2.公式法(可解所有一元二次方程)
3.因式分解法(可解部分一元二次方程)
4.开方法(可解部分一元二次方程)一元二次方程的解法实在不行(你买个卡西欧的fx-500或991的计算器有解方程的,不过要一般形式)
一、知识要点:
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基
础,应引起同学们的重视.
一元二次方程的一般形式为:
ax2+bx+c=0,(a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2
的整式方程.
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程.一元二次方程有四种解
法:
1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法.
二、方法、例题精讲:
1、直接开平方法:
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的
方程,其解为x=m±.
例1.解方程
(1)(3x+1)2=7
(2)9x2-24x+16=11
分析:
(1)此方程显然用直接开平方法好做,
(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以
此方程也可用直接开平方法解.
(1)(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
(2)9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2.配方法:
用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)
先将常数c移到方程右边:
ax2+bx=-c
将二次项系数化为1:
x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:
x2+x+()2=-+()2
方程左边成为一个完全平方式:
(x+)2=
当b2-4ac≥0时,x+=±
∴x=(这就是求根公式)
例2.用配方法解方程3x2-4x-2=0
将常数项移到方程右边3x2-4x=2
将二次项系数化为1:
x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方:
x2-x+()2=+()2
配方:
(x-)2=
直接开平方得:
x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=.
3.公式法:
把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b^2-4ac的值,当b^2-4ac≥0时,把各项
系数a,b,c的值代入求根公式x=(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根.
例3.用公式法解方程2x2-8x=-5
将方程化为一般形式:
2x2-8x+5=0
∴a=2,b=-8,c=5
b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x===
∴原方程的解为x1=,x2=.
4.因式分解法:
把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让
两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个
根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
例4.用因式分解法解下列方程:
(1)(x+3)(x-6)=-8
(2)2x2+3x=0
(3)6x2+5x-50=0(选学)(4)x2-2(+)x+4=0(选学)
(1)(x+3)(x-6)=-8化简整理得
x2-3x-10=0(方程左边为二次三项式,右边为零)
(x-5)(x+2)=0(方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0(转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解.
(2)2x2+3x=0
x(2x+3)=0(用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0(转化成两个一元一次方程)
∴x1=0,x2=-是原方程的解.
注意:
有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解.
(3)6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=,x2=-是原方程的解.
(4)x2-2(+)x+4=0(∵4可分解为2·2,∴此题可用因式分解法)
(x-2)(x-2)=0
∴x1=2,x2=2是原方程的解.
小结:
一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般
形式,同时应使二次项系数化为正数.
直接开平方法是最基本的方法.
公式法和配方法是最重要的方法.公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式
法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程
是否有解.
配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法
解一元二次方程.但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方
法之一,一定要掌握好.(三种重要的数学方法:
换元法,配方法,待定系数法).
例5.用适当的方法解下列方程.(选学)
(1)4(x+2)2-9(x-3)2=0
(2)x2+(2-)x+-3=0
(3)x2-2x=-(4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析:
(1)首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算.观察后发现,方程左边可用平方差
公式分解因式,化成两个一次因式的乘积.
(2)可用十字相乘法将方程左边因式分解.
(3)化成一般形式后利用公式法解.
(4)把方程变形为4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解.
(1)4(x+2)2-9(x-3)2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
(2)x2+(2-)x+-3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3,x2=1
(3)x2-2x=-
x2-2x+=0(先化成一般形式)
△=(-2)2-4×=12-8=4>0
∴x=
∴x1=,x2=
(4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1=,x2=
例6.求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根.(选学)
分析:
此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我
们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式(实际上是运用换元的方
法)
[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即(5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解.
例7.用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0
x2+px+q=0可变形为
x2+px=-q(常数项移到方程右边)
x2+px+()2=-q+()2(方程两边都加上一次项系数一半的平方)
(x+)2=(配方)
当p2-4q≥0时,≥0(必须对p2-4q进行分类讨论)
∴x=-±=
∴x1=,x2=
当p2-4q<0时,<0此时原方程无实根.
说明:
本题是含有字母系数的方程,题目中对p,q没有附加条件,因此在解题过程中应随时注意对字母
取值的要求,必要时进行分类讨论.
练习:
(一)用适当的方法解下列方程:
1.6x2-x-2=02.(x+5)(x-5)=3
3.x2-x=04.x2-4x+4=0
5.3x2+1=2x6.(2x+3)2+5(2x+3)-6=0
(二)解下列关于x的方程
1.x2-ax+-b2=02.x2-(+)ax+a2=0
练习参考答案:
(一)1.x1=-,x2=2.x1=2,x2=-2
3.x1=0,x2=4.x1=x2=25.x1=x2=
6.(把2x+3看作一个整体,将方程左边分解因式)
[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
即(2x+9)(2x+2)=0
∴2x+9=0或2x+2=0
∴x1=-,x2=-1是原方程的解.
(二)1.x2-ax+(+b)(-b)=02、x2-(+)ax+a·a=0
[x-(+b)][x-(-b)]=0(x-a)(x-a)=0
∴x-(+b)=0或x-(-b)=0x-a=0或x-a=0
∴x1=+b,x2=-b是∴x1=a,x2=a是
原方程的解.原方程的解.
测试(有答案在下面)
选择题
1.方程x(x-5)=5(x-5)的根是()
A、x=5B、x=-5C、x1=x2=5D、x1=x2=-5
2.多项式a2+4a-10的值等于11,则a的值为().
A、3或7B、-3或7C、3或-7D、-3或-7
3.若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数,一次项系数和常数项之和等于零,那么方程必有一个
根是().
A、0B、1C、-1D、±1
4.一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为().
A、b≠0且c=0B、b=0且c≠0
C、b=0且c=0D、c=0
5.方程x2-3x=10的两个根是().
A、-2,5B、2,-5C、2,5D、-2,-5
6.方程x2-3x+3=0的解是().
A、B、C、D、无实根
7.方程2x2-0.15=0的解是().
A、x=B、x=-
C、x1=0.27,x2=-0.27D、x1=,x2=-
8.方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是().
A、(x-)2=B、(x-)2=-
C、(x-)2=D、以上答案都不对
9.已知一元二次方程x2-2x-m=0,用配方法解该方程配方后的方程是().
A、(x-1)2=m2+1B、(x-1)2=m-1C、(x-1)2=1-mD、(x-1)2=m+1
答案与解析
答案:
1.C2.C3.B4.D5.A6.D7.D8.C9.D
解析:
1.分析:
移项得:
(x-5)2=0,则x1=x2=5,
注意:
方程两边不要轻易除以一个整式,另外一元二次方程有实数根,一定是两个.
2.分析:
依题意得:
a2+4a-10=11,解得a=3或a=-7.
3.分析:
依题意:
有a+b+c=0,方程左侧为a+b+c,且具仅有x=1时,ax2+bx+c=a+b+c,意味着当x=1
时,方程成立,则必有根为x=1.
4.分析:
一元二次方程ax2+bx+c=0若有一个根为零,
则ax2+bx+c必存在因式x,则有且仅有c=0时,存在公因式x,所以c=0.
另外,还可以将x=0代入,得c=0,更简单!
5.分析:
原方程变为x2-3x-10=0,
则(x-5)(x+2)=0
x-5=0或x+2=0
x1=5,x2=-2.
6.分析:
Δ=9-4×3=-3<0,则原方程无实根.
7.分析:
2x2=0.15
x2=
x=±
注意根式的化简,并注意直接开平方时,不要丢根.
8.分析:
两边乘以3得:
x2-3x-12=0,然后按照一次项系数配方,x2-3x+(-)2=12+(-)2,
整理为:
(x-)2=
方程可以利用等式性质变形,并且x2-bx配方时,配方项为一次项系数-b的一半的平方.
9.分析:
x2-2x=m,则x2-2x+1=m+1
则(x-1)2=m+1.
中考解析
考题评析
1.(甘肃省)方程的根是()
(A)(B)(C)或(D)或
评析:
因一元二次方程有两个根,所以用排除法,排除A、B选项,再用验证法在C、D选项中选出正确
选项.也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以.选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元
二次方程是两个根,所以是错误的,而选项D中x=-1,不能使方程左右相等,所以也是错误的.正确选项为
C.
另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式,使得方程丢根,这种错误要避免.
2.(吉林省)一元二次方程的根是__________.
评析:
思路,根据方程的特点运用因式分解法,或公式法求解即可.
3.(辽宁省)方程的根为()
(A)0(B)–1(C)0,–1(D)0,1
评析:
思路:
因方程为一元二次方程,所以有两个实根,用排除法和验证法可选出正确选项为C,而A、
B两选项只有一个根.D选项一个数不是方程的根.另外可以用直接求方程根的方法.
4.(河南省)已知x的二次方程的一个根是–2,那么k=__________.
评析:
k=4.将x=-2代入到原方程中去,构造成关于k的一元二次方程,然后求解.
5.(西安市)用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为()
(A)x=3+2(B)x=3-2
(C)x1=3+2,x2=3-2(D)x1=3+2,x2=3-2
评析:
用解方程的方法直接求解即可,也可不计算,利用一元二次方程有解,则必有两解及8的平方
根,即可选出答案.
中考数学真题分类汇编:
09一元二次方程及其应用
(1)
一.选择题(共26小题)
1.(2015•随州)用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0,下列变形正确的是( )
A.(x﹣6)2=﹣4+36B.(x﹣6)2=4+36C.(x﹣3)2=﹣4+9D.(x﹣3)2=4+9
2.(2015•安顺)三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根,则该三角形的周长为( )
A.14B.12C.12或14D.以上都不对
3.(2015•广安)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根,则该等腰三角形的周长是( )
A.12B.9C.13D.12或9
4.(2015•广州)已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则三角形ABC的周长为( )
A.10B.14C.10或14D.8或10
5.(2015•烟台)如果x2﹣x﹣1=(x+1)0,那么x的值为( )
A.2或﹣1B.0或1C.2D.﹣1
6.(2015•山西)我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时,可以运用因式分解法,将此方程化为3x(x﹣2)=0,从而得到两个一元一次方程:
3x=0或x﹣2=0,进而得到原方程的解为x1=0,x2=2.这种解法体现的数学思想是( )
A.转化思想B.函数思想C.数形结合思想D.公理化思想
7.(2015•贵港)若关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+2=0有实数根,则整数a的最大值为( )
A.﹣1B.0C.1D.2
8.(2015•河北)若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根,则a的取值范围是( )
A.a<1B.a>1C.a≤1D.a≥1
9.(2015•张家界)若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根,则k的非负整数值是( )
A.1B.0,1C.1,2D.1,2,3
10.(2015•达州)方程(m﹣2)x2﹣
x+
=0有两个实数根,则m的取值范围( )
A.m>
B.m≤
且m≠2C.m≥3D.m≤3且m≠2
11.(2015•攀枝花)关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+(2m+1)x+m﹣2﹣0有两个不相等的正实数根,则m的取值范围是( )
A.m>
B.m>
且m≠2C.﹣
<m<2D.
<m<2
12.(2015•安顺)若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根,则一次函数y=(m+1)x+m﹣1的图象不经过第( )象限.
A.四B.三C.二D.一
13.(2015•株洲)有两个一元二次方程M:
ax2+bx+c=0;N:
cx2+bx+a=0,其中a•c≠0,a≠c.下列四个结论中,错误的是( )
A.如果方程M有两个相等的实数根,那么方程N也有两个相等的实数根
B.如果方程M的两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同
C.如果5是方程M的一个根,那么
是方程N的一个根
D.如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是x=1
14.(2015•烟台)等腰直角三角形边长分别为a,b,2,且a,b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根,则n的值为
( )
A.9B.10C.9或10D.8或10
15.(2015•南充)关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正,关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正,给出三个结论:
①这两个方程的根都负根;②(m﹣1)2+(n﹣1)2≥2;③﹣1≤2m﹣2n≤1,其中正确结论的个数是( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
16.(2015•广西)已知实数x1,x2满足x1+x2=7,x1x2=12,则以x1,x2为根的一元二次方程是( )
A.x2﹣7x+12=0B.x2+7x+12=0C.x2+7x﹣12=0D.x2﹣7x﹣12=0
17.(2015•怀化)设x1,x2是方程x2+5x﹣3=0的两个根,则x12+x22的值是( )
A.19B.25C.31D.30
18.(2015•酒泉)今年来某县加大了对教育经费的投入,2013年投入2500万元,2015年投入3500万元.假设该县投入教育经费的年平均增长率为x,根据题意列方程,则下列方程正确的是( )
A.2500x2=3500B.2500(1+x)2=3500
C.2500(1+x%)2=3500D.2500(1+x)+2500(1+x)2=3500
19.(2015•衡阳)绿苑小区在规划设计时,准备在两幢楼房之间,设置一块面积为900平方米的矩形绿地,并且长比宽多10米.设绿地的宽为x米,根据题意,可列方程为( )
A.x(x﹣10)=900B.x(x+10)=900C.10(x+10)=900D.2[x+(x+10)]=900
20.(2015•兰州)股票每天的涨、跌幅均不能超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再涨,叫做涨停;当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫做跌停.已知一只股票某天跌停,之后两天时间又涨回到原价.若这两天此股票股价的平均增长率为x,则x满足的方程是( )
A.(1+x)2=
B.(1+x)2=
C.1+2x=
D.1+2x=
21.(2015•益阳)沅江市近年来大力发展芦笋产业,某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元.设这两年的销售额的年平均增长率为x,根据题意可列方程为( )
A.20(1+2x)=80B.2×20(1+x)=80C.20(1+x2)=80D.20(1+x)2=80
22.(2015•巴中)某种品牌运动服经过两次降价,每件件零售价由560元降为315元,已知两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率.设每次降价的百分率为x,下面所列的方程中正确的是( )
A.560(1+x)2=315B.560(1﹣x)2=315C.560(1﹣2x)2=315D.560(1﹣x2)=315
23.(2015•宁夏)如图,某小区有一块长为18米,宽为6米的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为60米2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.若设人行道的宽度为x米,则可以列出关于x的方程是( )
A.x2+9x﹣8=0B.x2﹣9x﹣8=0C.x2﹣9x+8=0D.2x2﹣9x+8=0
24.(2015•哈尔滨)今年我市计划扩大城区绿地面积,现有一块长方形绿地,它的短边长为60m,若将短边增大到与长边相等(长边不变),使扩大后的绿地的形状是正方形,则扩大后的绿地面积比原来增加1600m2.设扩大后的正方形绿地边长为xm,下面所列方程正确的是( )
A.x(x﹣60)=1600B.x(x+60)=1600C.60(x+60)=1600D.60(x﹣60)=1600
25.(2015•日照)某县大力推进义务教育均衡发展,加强学校标准化建设,计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造,2014年县政府已投资5亿元人民币,若每年投资的增长率相同,预计2016年投资7.2亿元人民币,那么每年投资的增长率为( )
A.20%B.40%C.﹣220%D.30%
26.(2014•菏泽)已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b,则a﹣b的值为( )
A.1B.﹣1C.0D.﹣2
2015中考数学真题分类汇编:
09一元二次方程及其应用
(1)
参考答案与试题解析
一.选择题(共26小题)
1.(2015•随州)用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0,下列变形正确的是( )
A.(x﹣6)2=﹣4+36B.(x﹣6)2=4+36C.(x﹣3)2=﹣4+9D.(x﹣3)2=4+9
考点:
解一元二次方程-配方法.
分析:
根据配方法,可得方程的解.
解答:
解:
x2﹣6x﹣4=0,
移项,得x2﹣6x=4,
配方,得(x﹣3)2=4+9.
故选:
D.
点评:
本题考查了解一元一次方程,利用配方法解一元一次方程:
移
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