二次函数教学案.docx
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二次函数教学案
第1课时二次函数的概念
学习目标:
1、根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围。
学习重点、难点:
1、重点:
根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求自变量的取值范围。
2、难点:
根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求自变量的取值范围。
教法、学法:
自主学习、合作学习、边讲边练、注重基础、因材施教、因人施教。
导学过程设计:
一、自主学习:
1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm,先取x的一些值,算出矩形的另一边BC的长,进而得出矩形的面积ym2.试将计算结果填写在下表的空格中,
AB长x(m)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
BC长(m)
12
面积y(m2)
48
2.x的值是否可以任意取?
有限定范围吗?
3.当AB的长(x)确定后,矩形的面积(y)也随之确定,y是x的函数,试写出函数的关系式,
二、合作与探究、展示:
提出问题:
某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天可销出约100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润,经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加10件。
将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大?
1.商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?
2.如果不降低售价,该商品每件利润是多少元?
一天总的利润是多少元?
3.若每件商品降价x元,则每件商品的利润是多少元?
一天可销售约多少件商品?
4.x的值是否可以任意取?
如果不能任意取,请求出它的范围,
5.若设该商品每天的利润为y元,求y与x的函数关系式。
观察;概括
1.教师引导学生观察函数关系式
(1)和
(2)学生思考回答;
(1)函数关系式
(1)和
(2)的自变量各有几个?
(2)多项式-2x2+20和-100x2+100x+200分别是几次多项式?
(3)函数关系式
(1)和
(2)有什么共同特点?
(4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点?
2.二次函数定义:
形如y=ax2+bx+c(a、b、、c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数,a叫做二次函数的系数,b叫做一次项的系数,c叫作常数项.
三、检测与反馈:
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1)y=5x+1
(2)y=4x2-1
(3)y=2x3-3x2(4)y=5x4-3x+1
2.P3练习第1,2题。
四、课堂小结:
1.请叙述二次函数的定义.
2.请你联系生活实际,编一道二次函数应用题,并写出函数关系式。
五、布置作业:
五、教学反思:
第2课时y=ax2的图象
学习目标:
1、会用描点法画出y=ax2的图象,理解抛物线的有关概念
2、经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程
学习重点、难点:
1、重点:
抛物线的有关概念,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象
2、难点:
画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质
教法、学法:
自主学习、合作学习、边讲边练、数形结合、注重基础、培养能力。
导学过程设计:
一、自主学习:
1,一次函数的性质是如何研究的?
2.我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?
3.一次函数的图象是什么?
二次函数的图象是什么?
二、合作与探究、展示:
例1、画二次函数y=ax2的图象。
做一做
1.在同一直角坐标系中,画出函数y=x2与y=-x2的图象,观察并比较两个图象,你发现有什么共同点?
又有什么区别?
2.在同一直角坐标系中,画出函数y=2x2与y=-2x2的图象,观察并比较这两个函数的图象,你能发现什么?
3.将所画的四个函数的图象作比较,你又能发现什么?
归纳、概括
函数y=ax2的图象是一条________,它关于______对称,它的顶点坐标是______。
当a>0时,抛物线y=ax2开口______,在对称轴的左边,曲线自左向右______;在对称轴的右边,曲线自左向右______,______是抛物线上位置最低的点。
图象的这些特点反映了函数的什么性质?
当X<0时,函数值y随着x的增大而______,当X>O时,函数值y随X的增大而______;当X=______时,函数值y=ax2(a>0)取得最小值,最小值y=______
观察函数y=-x2、y=-2x2的图象,试作出类似的概括,当a 它反映了当a 三、检测与反馈: 练习1、2、3、4。 四、课堂小结: 1.如何画出函数y=ax2的图象? 2.函数y=ax2具有哪些性质? 五、布置作业: 画二次函数y=3x2的图象 6、师生反思: 第3课时函数y=ax2+b的图象 学习目标: 1、能利用描点法正确作出函数y=ax2+b的图象 2、理解二次函数y=ax2+b的性质及它与函数y=ax2的关系 学习重点、难点: 1、重点: y=ax2+b与函数y=ax2的相互关系 2、难点: 理解二次函数y=ax2+b的性质,理解抛物线y=ax2+b与抛物线y=ax2的关系 教法、学法: 自主学习、合作学习、边讲边练、数形结合、注重基础、培养能力。 导学过程设计: 一、自主学习: 1.二次函数y=2x2的图象是____,它的开口向_____,顶点坐标是_____;对称轴是______,在对称轴的左侧,y随x的增大而______,在对称轴的右侧,y随x的增大而______,函数y=ax2与x=______时,取最______值,其最______值是______。 2.二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同? 二、合作与探究、展示: 问题1: 对于前面提出的第2个问题,你将采取什么方法加以研究? 问题2,你能在同一直角坐标系中,画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象吗? 问题3: 当自变量x取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系? 问题4: 函数y=2x2+1和y=2x2的图象有什么联系? 问题5: 现在你能回答前面提出的第2个问题了吗? 问题6: 你能由函数y=2x2的性质,得到函数y=2x2+1的一些性质吗? 问题7: 先在同一直角坐标系中画出函数y=2x2-2与函数y=2x2的图象,再作比较,说说它们有什么联系和区别? 问题8: 你能说出函数y=2x2-2的图象的开口方向,对称轴和顶点坐标,以及这个函数的性质吗? 问题9: 在同一直角坐标系中。 函数y=- x2+2图象与函数y=- x2的图象有什么关系? 问题10: 你能说出函数y=- x2+2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? 三、检测与反馈: 练习1、2、3。 四、课堂小结: 1.在同一直角坐标系中,函数y=ax2+k的图象与函数y=ax2的图象具有什么关系? 2.你能说出函数y=ax2+k具有哪些性质? 五、布置作业: 1.分别在同一直角坐标系中,画出下列各组两个二次函数的图象。 (1)y=-2x2与y=-2x2-2; (2)y=3x2+1与y=3x2-1。 2.在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象, y= x2,y= x2+2,y= x2-2 五、教学反思: 第4课时函数y=a(x—h)2的图象 学习目标: 1、能利用描点法画出二次函数y=a(x—h)2的图象 2、经历y=a(x-h)2性质探究,理解y=a(x-h)2的图象与y=ax2的图象的关系 学习重点、难点: 1、重点: 描点法画y=a(x-h)2的图象,理解性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系 2、难点: 理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系 教法、学法: 自主学习、合作学习、边讲边练、数形结合、注重基础、因材施教、。 导学过程设计: 一、自主学习: 1.在同一直角坐标系内,画出二次函数y=- x2,y=- x2-1的图象,并回答: (1)两条抛物线的位置关系。 (2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。 (3)说出它们所具有的公共性质。 2.二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗? 这两个函数的图象之间有什么关系? 二、合作与探究、展示: 问题1: 你将用什么方法来研究上面提出的问题? 问题2: 你能在同一直角坐标系中,画出二次函数y=2x2与y=2(x-1)2的图象吗? 问题3: 现在你能回答前面提出的问题吗? 问题4: 你可以由函数y=2x2的性质,得到函数y=2(x-1)2的性质吗? 问题5: 你能在同一直角坐标系中画出函数y=2(x+1)2与函数y=2x2的图象,并比较它们的联系和区别吗? 问题6;你能由函数y=2x2的性质,得到函数y=2(x+1)2的性质吗? 问题7: 在同一直角坐标系中,函数y=- (x+2)2图象与函数y=- x2的图象有何关系? 问题8: 你能说出函数y=- (x+2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? 问题9: 你能得到函数y= (x+2)2的性质吗? 三、检测与反馈: 练习1、2、3。 四、课堂小结: 1.在同一直角坐标系中,函数y=a(x-h)2的图象与函数y=ax2的图象有什么联系和区别? 2.你能说出函数y=a(x-h)2图象的性质吗? 五、布置作业: 已知函数y=4x2,y=4(x+1)2和y=4(x-1)2。 (1)在同一直角坐标系中画出它们的图象; (2)分别说出各个函数图象的开口方向,对称轴、顶点坐标; (3)试说明: 分别通过怎样的平移,可以由函数y=4x2的图象得到函数y=4(x-1)2。 六、教学反思: 第5课时函数y=a(x-h)2+k的图象 学习目标: 1、会确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 2、经历函数y=a(x-h)2+k性质的探索过程,理解函数y=a(x-h)2+k的性质 学习重点、难点: 1、重点: 理解函数y=a(x-h)2+k的性质 2、难点: 函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系 教法、学法: 自主学习、合作学习、边讲边练、数形结合、注重基础、因材施教。 导学过程设计: 一、自主学习: 1.函数y=2x2+1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系? 2.函数y=2(x-1)2的图象与函数y=2x2的.图象有什么关系? 3.函数y=2(x-1)2+1图象与函数y=2(x-1)2图象有什么关系? y=2(x-1)2+1有哪些性质? 二、合作与探究、展示: 问题1找到函数y=2(x-1)2+1与函数y=2(x-1)2、y=2x2图象的关系 问题2: 你能发现函数y=2(x-1)2+1有哪些性质? 做一做 问题3你能再画出函数y=2(x-1)2-2的图象,并将它与函数y=2(x-1)2的图象作比较吗? 问题4你能说出函数y=- (x-1)2+2的图象与函数y=- x2的图象的关系,由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? 三、检测与反馈: 练习1、2、3、4 四、课堂小结: 1.你学到了哪些知识? 还存在什么困惑? 2.谈谈你的学习体会。 五、布置作业: 1.已知函数y=6x2、y=6(x-3)2+3和y=6(x+3)2-3。 (1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象; (2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; (3)试说明,分别通过怎样的平移,可以由抛物线y=6x2得到抛物线y=6(x-3)2+3和抛物线y=6(x+3)2-3; (4)试讨沦函数y=6(x+3)2-3的性质; 2.不画图象,直接说出函数y=-2x2-5x+7的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 六、教学反思: 第6课时函数y=ax2+bx+c的图象 学习目标: 1、描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象 2、用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 学习重点、难点: 1、重点: 用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 2、难点: 理解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质以及它的对称轴 教法、学法: 自主学习、合作学习、边讲边练、数形结合、注重基础、培养能力、。 导学过程设计: 一、自主学习: 1.你能说出函数y=-4(x-2)2+1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? 2.函数y=-4(x-2)2+1图象与函数y=-4x2的图象有什么关系? 3.函数y=-4(x-2)2+1具有哪些性质? 二、合作与探究、展示: 1.你能画出函数y=- x2+x- 的图象,并说明这个函数具有哪些性质吗? 2.请你按照上面的方法,画出函数y= x2-4x+10的图象,由图象你能发现这个函数具有哪些性质吗? 3.通过配方变形,说出函数y=-2x2+8x-8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,这个函数有最大值还是最小值? 这个值是多少? 三、检测与反馈: 练习第1、2、3题 四、课堂小结: 通过本节课的学习,你学到了什么知识? 有何体会? 五、布置作业: 1.填空: (1)抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标是_______; (2)抛物线y=2x2-2x- 的开口_______,对称轴是_______; (3)抛物线y=-2x2-4x+8的开口_______,顶点坐标是_______; (4)抛物线y=- x2+2x+4的对称轴是_______; (5)二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3,则a=_______. 2.画出函数y=2x2-3x的图象,说明这个函数具有哪些性质。 3.通过配方,写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 (1)y=3x2+2x; (2)y=-x2-2x (3)y=-2x2+8x-8(4)y= x2-4x+3 4.求二次函数y=mx2+2mx+3(m>0)的图象的对称轴,并说出该函数具有哪些性质 六、教学反思: 第7课时用待定系数法求二次函数的解析式 【学习目标】 1.能根据已知条件选择合适的二次函数解析式; 2.会用待定系数法求二次函数的解析式。 【学习重点】 用待定系数法求二次函数的解析式。 【学习难点】 根据已知条件选择合适的二次函数解析式; 教法、学法: 自主学习、合作学习、边讲边练、数注重基础、培养能力、。 【学习过程】 一、复习巩固: 1.一次函数 经过点A(-1,2)和点B(2,5),求该一次函数的解析式。 分析: 要求出函数解析式,需求出 的值,因为有两个待定系数,所以需要知道两个点的坐标,列出关于 的二元一次方程组即可。 解: 二、自主学习 1、已知抛物线的顶点坐标为(-1,2),且经过点(0,4)求该函数的解析式. 解: 2.已知一个二次函数的图象过(1,5)、( )、(2,11)三点,求这个二次函数的解析式。 分析: 如何设函数解析式? 顶点式还是一般式? 答: ;所设解析式中有个待定系数,它们分别是,所以一般需要个点的坐标;请你写出完整的解题过程。 解: 三、合作交流 用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下2种方法: 设顶点式 和一般式 。 1.已知抛物线过三点,通常设函数解析式为; 2.已知抛物线顶点坐标及其余一点,通常设函数解析式为。 四、练习: 1.已知二次函数的图象的顶点坐标为(-2,-3),且图像过点(-3,-1),求这个二次函数的解析式. 2.已知二次函数 的图象过点(1,2),则 的值为________________. 3.一个二次函数的图象过(0,1)、(1,0)、(2,3)三点,求这个二次函数的解析式。 4.已知双曲线 与抛物线 交于A(2,3)、B( 2)、c(-3, )三点. (1)求双曲线与抛物线的解析式; (2)在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C,并求出△ABC的面积, 5.如图,直线 交 轴于点A,交 轴于点B,过A,B两点的抛物线交 轴于另一点C(3,0), (1)求该抛物线的解析式; ⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q, 使△ABQ是等腰三角形? 若存在, 求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由. 六、教学反思: 第8课时建立二次函数的数学模型解决实际问题 学习目标: 1、能根据实际问题列出函数关系式,确定函数自变量x的取值范围 2、建立二次函数的数学模型解决实际问题,培养学生分析问题、解决问题的能力 学习重点、难点: 1、重点: 根据实际问题建立二次函数的数学模型,并确定二次函数自变量的范围 2、难点: 根据实际问题建立二次函数的数学模型,并确定二次函数自变量的范围 教法、学法: 自主学习、合作学习、边讲边练、数形结合、注重基础、培养能力、因材施教、因人施教。 导学过程设计: 一、自主学习: 1.通过配方,写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 (1)y=6x2+12x; (2)y=-4x2+8x-10 2.以上两个函数,哪个函数有最大值,哪个函数有最小值? 说出两个函数的最大值、最小值分别是多少? 二、合作与探究、展示: 例1、要用总长为20m的铁栏杆,一面靠墙,围成一个矩形的花圃,怎样围法才能使围成的花圃的面积最大? 例2.某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售,一天可销出约100件,该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润,经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加约10件。 将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大? 例3.用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。 应做成长、宽各为多少时,才能使做成的窗框的透光面积最大? 最大透光面积是多少? 三、检测与反馈: 练习第1、2、3题 四、课堂小结: 1.通过本节课的学习,你学到了什么知识? 存在哪些困惑? 2.谈谈你的收获和体会。 五、布置作业: 1.如图 (1)所示,要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙,如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场,没靠墙的篱笆长度为xm。 (1)要使鸡场的面积最大,鸡场的长应为多少米? (2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙,要使鸡场面积最大,鸡场的长应为多少米? (3)比较 (1)、 (2)的结果,你能得到什么结论? 2.如图 (2),已知平行四边形ABCD的周长为8cm,∠B=30°,若边长AB=x(cm)。 (1)写出□ABCD的面积y(cm2)与x的函数关系式,并求自变量x的取值范围。 (2)当x取什么值时,y的值最大? 并求最大值。 (3).求二次函数的函数关系式 六、教学反思: 第9课时用函数的观点看一元二次方程 学习目标: 1、理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系 2、运用二次函数及其图象、性质解决实际问题,提高学生用数学的意识 学习重点、难点: 1、重点: 运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题 2、难点: 培养学生综合解题能力,渗透数形结合的思想是教学的难点 教法、学法: 自主学习、合作学习、边讲边练、数形结合、注重基础、培养能力、因人施教。 导学过程设计: 一、自主学习: 求二次函数y=mx2+2mx+3(m>0)的图象的对称轴,并说出该函数具有哪些性质 二、合作与探究、展示: 问题1: 某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的A处安装一个喷头向外喷水。 连喷头在内,柱高为0.8m。 水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,如图 (1)所示。 (1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少? (2)如果不计其他的因素,那么水池至少为多少时,才能使喷出的水流都落在水池内? 问题2: 一个涵洞成抛物线形,它的截面如图(3)所示,现测得,当水面宽AB=1.6m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4m。 这时,离开水面1.5m处,涵洞宽ED是多少? 是否会超过1m? 问题3: 画出函数y=x2-x-3/4的图象,根据图象回答下列问题。 (1)图象与x轴交点的坐标是什么; (2)当x取何值时,y=0? 这里x的取值与方程x2-x- =0有什么关系? (3)你能从中得到什么启发? 三、检测与反馈 练习1、2 四、课堂小结: 1.通过本节课的学习,你有什么收获? 有什么困惑? 2.若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴无交点,试说明一元二次方程ax2+bx+c=0解的情况。 五、布置作业: 一位篮球运动员跳起投篮,球沿抛物线y=- x2+3.5运行,然后准确落人篮框内。 已知篮框的中心离地面的距离为3.05米。 (1)球在空中运行的最大高度为多少米? (2)如果该运动员跳投时,球出手离地面的高度为2.25米,请问他距离篮框中心的水平距离是多少? 六、教学反思: 第10课时用函数的观点看一元二次方程 学习目标: 1、巩固用函数y=ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c=0的解 2、体验函数y=x2和y=bx+c的交点的横坐标是方程x2=bx+c的解的探索过程,掌握用函数y=x2和y=bx+c图象交点的方法求方程ax2=bx+c的解。 学习重点、难点: 1、重点: 用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力 2、难点: 提高学生综合解题能力,渗透数形结合的思想 教法、学法: 自主学习、合作学习、边讲边练、数形结合、注重基础、培养能力、因人施教。 导学过程设计: 一、自主学习: 1.如何运用函数y=ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c的解? 2. (1)画出函数y=x2+x-1的图象,求方程x2+x-1=0的解。 (精确到0.1) (2)画出函数y=2x2-3x-2的图象,求方程2x2-3x-2=0的解。 二、合作与探究、展示: 问题1: 初三(3)班学生在上节课的作业中出现了争论: 求方程x2= x十3的解时,几乎所有学生都是将方程化为x2- x-3=0,画出函数y=x2- x-3的图象,观察它与x轴的交点,得出方程的解。 唯独小刘没有将方程移项,而是分别画出了函数y=x2和y= x+2的图象,如图(3)所示,认为它们的交点A、B的横坐标- 和2就是原方程的解. 1.这两种解法的结果一样吗? 2.小刘解法的理由是什么? 3.函数y=x2和y=bx+c的图象一定相交于两点吗? 你能否举出例子加以说明? 4,函数y=x2和y=bx+c的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x2=bx+c的解吗? 5.如果函数y=x2和y=bx+c图象没有交点,一元二次方程x2=bx+c的解怎样? 做一做 运用小刘方法求下列方程的解,并检验小刘的方法是否合理。 (1)x2+x-1=0(精确到0.1); (2)2x2-3x-2=0。 综合运用 已知抛物线y1=2x2-8x+k+8和直线y2=mx+1相交于点P(3,4m)。 (1)求这两个函数的关系式; (2)当x取何值时,抛物线与直线相交,并求交点坐标。 三、课堂小结: 1.如何用画函数图象的方法求方程韵解? 2.你能根据方程组: 的解的情况,来判定函数y=x2与y=bx
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