现代信号处理仿真作业一（3.18谐波恢复）.docx

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现代信号处理仿真作业一（3.18谐波恢复）

班级：

自研42 姓名：

李琳琳 学号：

2004211068

一一谐波恢复的基本理论与方法：

1.Pisarenko谐波分解理论

谐波过程可用差分方程描述，首先利用Pisarenko谐波分解理论推导谐波过程所对应的差分方程。

对单个正弦波x（n）=sin（2pfn+q）利用三角函数恒等式，有：

x（n）-2cos（2pf）x（n-1）+x（n-2）=0

对上式作z变换，得：

[1-2cos（2pf）z-1+z-2]X（z）=0

得到特征多项式：

1-2cos（2pf）z-1+z-2=0。

由此可见，正弦波的频率可以

由相应特征方程的一对共轭根来决定：

fi=|arctan[Im（zi）/Re（zi）]|/2p

将单个正弦波推广到多个正弦波的情形，得：

如果p个实的正弦波信号没有重复频率的话，则这p个频率应该由特征多项式

1 2p-1

1+az-1+K+a z-（2p-1）+z-2p=0

（1）

的根决定。

由此可得到p个实正弦波所组成的谐波过程可以用以下的差分方程进行描述：

å

2p

x（n）+ aix（n-i）=0

i=1

这是一个无激励的AR过程。

2.谐波恢复的ARMA建模法

å

2p

在无激励的AR模型差分方程x（n）+ aix（n-i）=0两边同乘x（n-k），

i=1

并取数学期望，则有：

å

2p

Rx（k）+ aiRx（k-i）=0,"k

（2）

i=1

正弦波过程一般是在加性白噪声中被观测的，设加性白噪声为w（n），

即观测过程为：



p

y（n）=x（n）+w（n）=åAisin（2pfin+qi）+w（n），其中

i=1

w（n）为0均值的高斯白噪声。

由于谐波过程与加性白噪声统计独立，所以有：

R（k）=R（k）+R（k）=R（k）+s2d（k） （3）

y x w x w

将（3）式代入

（2）式得：

å

2p

Ry（k）+ aiRy（k-i）=0,k>2p （4）

i=1

这就是加性白噪声中观测到的p个正弦信号所组成的谐波信号的ARMA

过程的所服从的法方程。

3.谐波恢复方法

利用以上两种理论所推导的结果，可以通过以下方法进行本题的仿真实验（程序见附页）：

（1.） 根据题目要求给出仿真数据

x（n）=

20sin（2p0.2n）+

2sin（2p0.213n）+w（n）

其中w（n）为0均值，单位方差的高斯白噪声。

（2.） 求x（n）的自相关矩阵Rxx

（3.） 利用上面推导出来的（4）式给出该谐波过程的ARMA过程所服从的法方程。

其中公式中的y对应题目中的x。

（4.）若用最小二乘方法，则根据题目要求，可直接取AR阶数2p分别为4和6，然后用最小二乘法求解法方程，得出AR参数的估计值a1,a2,K,ap；

若用总体最小二乘方法，则取较大的M和Pe，列出法方程的增广矩阵，求出该矩阵的有效秩（即AR阶数的估计值）后，再用课本66页的总体最小二乘方法求得AR参数的估计值a1,a2,K,ap。

（5.）将所求得的AR参数a1,a2,K,ap代入

（1）中，得该谐波过程的特征方

程，求解该特征方程得其模为1的共轭复根。

（6.）由式fi=|arctan[Im（zi）/Re（zi）]|/2p即可求得正弦波频率的估计值。

一一 AR参数和正弦波频率估计值的统计结果

根据以上理论及方法分别编写最小二乘和总体最小二乘的matlab

程序，各独立运行20次，其结果及统计结果如下：

1.最小二乘

（1．）AR阶数为4arMatrix=

Columns1through12

-0.4598

-0.3507

-0.1278

-0.0943

-0.3434

-

0.0737

-0.2146

-0.2919

-0.3176

-0.2331

-0.7039

-

0.3275

0.8806

0.7543

0.8032

0.6490 0.9086

0.8011

0.6412

0.9384

0.6871

1.0946 1.0373

0.7350

0.1693

0.3133

0.4179

0.5340 0.2238

0.4562

0.4686

0.2366

0.3776

0.1731 -0.0778

0.3412

-0.0202

-0.0758

0.1129

-0.0202 0.0842

0.1405

-0.1023

0.1457

-0.1219

0.3371 -0.0110 -

0.0785

Columns13through20

-0.1600 -0.2792 -0.2207 -0.1843 -0.7587 -

0.2687 -0.2143 -0.4826

0.8284 0.7197 0.7327 0.6541 0.8180

1.0069 0.7344 0.8866

0.3846 0.3781 0.4042 0.4778 0.0283

0.2056 0.4112 0.1485

0.1174 -0.0642 -0.0133 -0.0708 -0.2617

0.2302 -0.0082 -0.0244

ar_mean=

-0.3053

0.8156

0.3036

0.0148

ar_var=

0.0326

0.0174

0.0257

0.0186

fvMatrix=

Columns1through12

0 0 0.1200 0 0.1709

0.1207 0 0.1793 0 0.1963 0

0

0.2000 0.1999 0.1997 0.1998 0.1997

0.1999 0.1997 0.1997 0.1997 0.1998 0.1998

0.1997

Columns13through20

0.1333

0

0

0

0

0.1905

0

0

0.1997

0.1998

0.1997

0.1997

0.1995

0.1996 0.1996 0.2000

fv_mean=

0.0556

0.1997

fv_var=

0.0064

0.0000

其中，arMatrix为4*20的矩阵，用来存储20次独立运行的AR参数估计值，每一列为对应该次运行时所得的AR参数估计值；ar_mean和ar_var为AR参数估计值的统计结果，ar_mean为运行20次后AR参数的平均值，ar_var为20次AR参数的方差。

fvMatrix为2*20的矩阵，用来存储20次独立运行的正弦波频率估计值，每一列为对应该次运行时所得的正弦波频率估计值；fv_mean和fv_var为正弦波频率估计值的统计结果，fv_mean为运行20次后正弦波频率的平均值，fv_var为20次正弦波频率的方差。

（2．）AR阶数为6arMatrix=

Columns1through12

-0.4147

-0.4369

-0.1121

-0.3637

-0.3285

-

0.0468 -0.0936

-0.4142

0.0050

-0.3699

-0.0977

-

0.3209

1.0172

0.9038

0.6183

1.0506

0.9355

0.7342

0.7958

0.9177

1.0123

1.0642

0.8917

1.0613

0.3353

0.2528

0.3925

0.1859

0.2256

0.5002

0.2227

-0.1215

0.9125

0.3570

0.2892

0.1089

0.0778 -0.1941 0.1282 0.1866 0.1771

0.2078 0.0980 -0.1177 0.2724 -0.0708 0.1956

0.3256

0.1812 0.1873 -0.2136 0.0527 -0.0309 -

0.0761 -0.1245 -0.0807 0.4104 0.3344 -0.0451 -

0.0671

0.0662 -0.1642 0.0924 0.0129 0.0618

0.1047 -0.1642 -0.3487 0.2038 -0.1395 -0.0823

0.0513

Columns13through20

-0.0709 -0.2426 -0.5091 -0.2368 -0.3134 -

0.4907 -0.4922 -0.3410

0.6266 0.8746 0.8122 0.7509 1.0563

0.9303 0.8535 0.6779

0.5671 0.4125 0.2955 0.2549 0.2981 -

0.1295 0.3570 0.1475

0.1128 0.0871 -0.2398 -0.0526 0.2745

0.0993 -0.5182 -0.2037

-0.0834 0.0801 0.1475 -0.0549 0.0759 -

0.2053 0.3977 -0.0969

0.1406 0.0408 -0.0559 -0.1252 0.1133 -

0.0711 -0.3375 -0.1985

ar_mean=

-0.2845

0.8792

0.2932

0.0423

0.0394

-0.0400

ar_var=

0.0266

0.0208

0.0508

0.0451

0.0344

0.0239

fvMatrix=

Columns1through12

0.0522 0 0.1030 0.1256 0.1242

0.1006 0 0 0.0338 0 0

0.1550

0.1789

0.1996

0.1033

0.1997

0.1575

0.1527

0.1813

0.1998

0.1997

0.1997

0.1850

0.1691

0.1996

0.2488

0.1995

0.2285

0.1996

0.1996

0.1999

0.2137

0.1998

0.2345

0.1997

0.1995

Columns13through20

0.0864

0.0704

0

0

0.1165

0

0

0

0.1416

0.1838

0.1996

0.1