版高中数学人教B版必修一学案第二单元 213 函数的单调性 Word版含答案.docx
- 文档编号:11977372
- 上传时间:2023-04-16
- 格式:DOCX
- 页数:13
- 大小:94.51KB
版高中数学人教B版必修一学案第二单元 213 函数的单调性 Word版含答案.docx
《版高中数学人教B版必修一学案第二单元 213 函数的单调性 Word版含答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《版高中数学人教B版必修一学案第二单元 213 函数的单调性 Word版含答案.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
版高中数学人教B版必修一学案第二单元213函数的单调性Word版含答案
2.1.3 函数的单调性
学习目标
1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间,判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性.
知识点一 函数的单调性
思考 画出函数f(x)=x、f(x)=x2的图象,并指出f(x)=x、f(x)=x2的图象的升降情况如何?
梳理 1.设函数y=f(x)的定义域为A,区间M⊆A,如果取区间M中的________两个值x1,x2,改变量________________,则当________________时,就称函数y=f(x)在区间M上是增函数,如图
(1);当______________时,就称函数y=f(x)在区间M上是减函数,如图
(2).
2.如果函数y=f(x)在某个区间M上是增函数或是减函数,就说y=f(x)在这个区间M上具有________(区间M称为单调区间).
特别提醒:
函数单调性定义的理解
(1)任意性,即“任意取x1,x2”,不能取两个特殊值.
(2)x1,x2有大小,通常规定Δx=x2-x1>0.
(3)x1,x2同属于定义域的某个子区间.
知识点二 函数的单调区间
思考 我们已经知道f(x)=x2的减区间为(-∞,0],f(x)=
的减区间为(-∞,0),这两个减区间能不能交换?
梳理 一般地,有下列常识:
(1)函数单调性是对于定义域内的某个区间而言的,即单调区间是定义域内的某个子区间.
(2)函数单调性关注的是整个区间上的性质,单独一点不存在单调性问题,所以单调区间的端点若属于定义域,则该点处区间可开可闭,若区间端点不属于定义域,则只能开.
(3)单调区间D⊆定义域I.
(4)遵循最简原则,单调区间应尽可能大.
类型一 求单调区间并判断单调性
例1 如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?
反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,单调区间是定义域的子集;当函数出现两个以上单调区间时,单调区间之间可用“,”分开,不能用“∪”,可以用“和”来表示;在单调区间D上函数要么是增函数,要么是减函数,不能二者兼有.
跟踪训练1 写出函数y=|x2-2x-3|的单调区间,并指出单调性.
类型二 证明单调性
例2 证明f(x)=
在其定义域上是增函数.
反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时,应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1,x2且x1 取值→作差→变形→定号→小结. 跟踪训练2 求证: 函数f(x)=x+ 在[1,+∞)上是增函数. 例3 已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x>0时,f(x)>1.求证: 函数f(x)在R上是增函数. 反思与感悟 因为抽象函数不知道解析式,所以不能代入求f(x1)-f(x2),但可以借助题目提供的函数性质来确定f(x1)-f(x2)的大小,这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值. 跟踪训练3 已知函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)·f(n),且当x>0时,0 f(x)在R上是减函数. 类型三 单调性的应用 例4 若函数f(x)= 是定义在R上的减函数,则a的取值范围为( ) A.[ , )B.(0, ) C.[ ,+∞)D.(-∞, ]∪[ ,+∞) 反思与感悟 分段函数在定义域上单调,除了要保证各段上单调外,还要保证在接口处不能反超.另外,函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的. 跟踪训练4 已知函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上单调,则实数a的取值范围为________________. 例5 已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a) 反思与感悟 若已知函数f(x)的单调性,则由x1,x2的大小,可得f(x1),f(x2)的大小;由f(x1),f(x2)的大小,可得x1,x2的大小. 跟踪训练5 在例5中若函数y=f(x)的定义域为R,且为增函数,f(1-a) 1.函数y=f(x)在区间[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的增区间是( ) A.[-2,0]B.[0,1] C.[-2,1]D.[-1,1] 2.函数y= 的减区间是( ) A.[0,+∞)B.(-∞,0] C.(-∞,0),(0,+∞)D.(-∞,0)∪(0,+∞) 3.在下列函数f(x)中,满足对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1 A.f(x)=x2B.f(x)= C.f(x)=|x|D.f(x)=2x+1 4.已知函数y=f(x)满足: f(-2)>f(-1),f(-1) A.函数y=f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,在区间[-1,0]上单调递增 B.函数y=f(x)在区间[-2,-1]上单调递增,在区间[-1,0]上单调递减 C.函数y=f(x)在区间[-2,0]上的最小值是f(-1) D.以上的三个结论都不正确 5.若函数f(x)在R上是减函数,且f(|x|)>f (1),则x的取值范围是( ) A.x<1B.x>-1 C.-1 1.若f(x)的定义域为D,A⊆D,B⊆D,f(x)在A和B上都单调递减,未必有f(x)在A∪B上单调递减. 2.对增函数的判断,当Δx=x2-x1>0时,都有Δy=f(x2)-f(x1)>0,也可以用一个不等式来替代: (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或 >0.对减函数的判断,当Δx=x2-x1>0时,都有Δy=f(x2)-f(x1)<0,相应地也可用一个不等式来替代: (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或 <0. 3.熟悉常见的一些单调性结论,包括一次函数,二次函数,反比例函数等. 4.若f(x),g(x)都是增函数,h(x)是减函数,则: ①在定义域的交集(非空)上,f(x)+g(x)单调递增,f(x)-h(x)单调递增,②-f(x)单调递减,③ 单调递减(f(x)≠0). 5.对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x),证明单调性时,也可以作商 与1比较. 答案精析 问题导学 知识点一 思考 两函数的图象如下: 函数f(x)=x的图象由左到右是上升的;函数f(x)=x2的图象在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的. 梳理 1.任意 Δx=x2-x1>0 Δy=f(x2)-f(x1)>0 Δy=f(x2)-f(x1)<0 2.单调性 知识点二 思考 f(x)=x2的减区间可以写成(-∞,0),而f(x)= 的减区间(-∞,0)不能写成(-∞,0],因为0不属于f(x)= 的定义域. 题型探究 例1 解 y=f(x)的单调区间有[-5,-2],[-2,1],[1,3],[3,5],其中y=f(x)在区间[-5,-2],[1,3]上是减函数,在区间[-2,1],[3,5]上是增函数. 跟踪训练1 解 先画出f(x)= 的图象,如图. 所以y=|x2-2x-3|的单调区间有(-∞,-1],[-1,1],[1,3],[3,+∞),其中单调减区间是(-∞,-1],[1,3];单调增区间是[-1,1],[3,+∞). 例2 证明 f(x)= 的定义域为[0,+∞). 设x1,x2是定义域[0,+∞)上的任意两个实数,且x1 Δy=f(x1)-f(x2)= - = = . ∵0≤x1 ∴x1-x2=-Δx<0, + >0, ∴Δy=f(x1)-f(x2)<0, ∴f(x)= 在它的定义域[0,+∞)上是增函数. 跟踪训练2 证明 设x1,x2是[1,+∞)上的任意实数,且x1 Δy=f(x1)-f(x2) =x1+ -(x2+ ) =(x1-x2)+( - ) =(x1-x2)+ =(x1-x2)(1- ) =(x1-x2)( ). ∵1≤x1 ∴ >0, 故(x1-x2)( )<0, 即Δy=f(x1)-f(x2)<0, ∴f(x)=x+ 在区间[1,+∞)上是增函数. 例3 证明 方法一 设x1,x2是实数集R上的任意两个实数,且x1>x2.令x+y=x1,y=x2,则x=x1-x2>0. Δy=f(x1)-f(x2)=f(x+y)-f(y)=f(x)+f(y)-1-f(y)=f(x)-1. ∵x>0,∴f(x)>1,f(x)-1>0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). ∴函数f(x)在R上是增函数. 方法二 设x1>x2,则x1-x2>0, 从而f(x1-x2)>1, 即f(x1-x2)-1>0. f(x1)=f[x2+(x1-x2)]=f(x2)+f(x1-x2)-1>f(x2), 故f(x)在R上是增函数. 跟踪训练3 证明 ∵对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)·f(n),令m=1,n=0,可得f (1)=f (1)·f(0), ∵当x>0时,0<f(x)<1,∴f (1)≠0,∴f(0)=1. 令m=x<0,n=-x>0, 则f(m+n)=f(0)=f(-x)·f(x)=1,∴f(x)f(-x)=1, 又∵-x>0时,0<f(-x)<1, ∴f(x)= >1. ∴对任意实数x,f(x)恒大于0. 设任意x1 ∴0 ∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]<0, ∴f(x)在R上是减函数. 例4 A 跟踪训练4 a≤1或a≥2 例5 解 f(1-a) 解得0 , 即所求a的取值范围是0 . 跟踪训练5 解 ∵y=f(x)的定义域为R,且为增函数, f(1-a) , ∴所求a的取值范围是( ,+∞). 当堂训练 1.C 2.C 3.B 4.D 5.C
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 版高中数学人教B版必修一学案第二单元 213 函数的单调性 Word版含答案 高中 学人 必修 一学案 第二 单元 函数 调性 Word 答案