数学三公式.docx
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数学三公式
一、三角函数公式
1、和角公式
tan(α±β)=
cot(α±β)=
2、和差化积公式
sinα+sinβ=
sinα-sinβ=
cosα+cosβ=
cosα-cosβ=
3、积化和差公式
sinαsinβ=
cosαcosβ=
sinαcosβ=
cosαsinβ=
4、倍角公式
tan2α=
cot2α=
5、半角公式
sinα=
2
cosα=
2
tanα=
2
cotα=
2
6、诱导公式
sin(π±α)=
cos(π±α)
sin(π±α)=
2
cos(π±α)2
二、极限公式
1、重要极限
limnn=
n→∞
limxx=
n→0+
2、等价无穷小
x~
1-cosx~
(1+x)a-1~
ax-1~
x-sinx~
tanx-x~
tanx-sinx~
x-arctanx~
x-arcsinx~
三、麦克劳林公式
ex=
sinx=
cosx=
ln(1+x)=
1=
1-x
1=
1+x
(1+x)a=
tanx=
arcsinx=
arctanx=
四、导数公式
1、基本公式
(x)'=
'
(logax)=
(tanx)'=
(cotx)'=
(secx)'=
(cscx)'=
(lncosx)'=
(lnsinx)'=
(lnsecx+tanx)'=
(lncscx-cotx)'=
(arctanx)'=
(arccotx)'=
(arcsinx)'=
(arccosx)'=
⎡ln(x+⎤'=
⎣x2+a2)⎦
⎡ln(x+⎤'=
⎣x2-a2)⎦
2、高阶导数
(ax)(n)=
(eax+b)(n)=
[sin(ax+b)](n)=
[cos(ax+b)](n)=
(lnx)(n)=
[ln(ax+b)](n)=
⎛1⎫(n)
çax+b⎪=
⎝⎭
(⎡⎣x+x)m⎤⎦(n)=
0
3、莱布尼茨公式
(uv)(n)=
五、一元函数积分公式
1、基本公式
1
定积分定义:
⎰0f(x)dx=
⎰1dx=
x
⎰axdx=
⎰1dx=
x
⎰tanxdx=
⎰cotxdx=
⎰secxdx=
⎰cscxdx=
⎰sec2xdx
⎰csc2xdx=
⎰secxtanxdx=
⎰cscxcotxdx=
⎰1dx
1+x2
⎰1dx=
a2+x2
⎰1dx=
1-x2
⎰1dx=
a2-x2
⎰1dx=
x2+a2
⎰1dx=
x2-a2
⎰1dx=
x2-a2
⎰1dx=
a2-x2
⎰a2-x2dx=
⎰sin2xdx=
⎰cos2xdx=
⎰tan2xdx=
⎰cot2xdx=
2、定积分重要公式
ππ
⎰xf(sinx)dx=⎰xf(sinx)dx
00
ππ
⎰xf(sinx)dx=⎰2xf(sinx)dx
00
π
⎰2f(sinx)dx=⎰f(cosx)dx
00
π⎧,n=m
⎰-πsinnxsinmxdx=⎰sinnxsinmxdx=⎨⎩,n≠m
π
⎰-πsinnxcosmxdx=⎰sinnxcosmxdx=
π⎧,n=m
⎰-πcosnxcosmxdx=⎰cosnxcosmxdx=⎨
⎩,n≠m
区间再现公式:
bb
⎰f(x)dx=⎰f()dx
aa
积分中值定理:
b
⎰f(x)dx=
a
柯西不等式:
(⎰bf(x)g(x)dx)≤
2
a
3、定积分应用公式
(1)面积
极坐标系:
S=
(2)体积
绕x轴:
绕y轴:
Vx=
Vy=
(3)平均值
f=
六、多元函数微分学
1、概念
偏导数连续、可微、连续、极限存在、偏导数存在、方向导数存在之间的关系:
2、方程组求导公式:
已知:
⎧F(x,y,z)=0dy
⎨G(x,y,z)=0,则=
⎩dx
dz=
dx
3、多元函数求极值
①求驻点:
②函数取极值的充分条件:
七、二重积分
1、二重积分概念和式公式
⎰⎰f(x,y)dσ=lim
n→∞
D
2、二重积分性质
(1)二重积分中值定理
⎰⎰f(x,y)dσ=
D
(2)二重积分对称性
关于x轴对称:
⎰⎰f(x,y)
D
关于y轴对称:
⎰⎰f(x,y)
D
关于原点轴对称:
⎰⎰f(x,
D
关于y=x对称:
⎰⎰f(x,y)
D
关于y=a对称:
⎰⎰f(x,y)
D
关于x=a对称:
⎰⎰f(x,y)
D
轮换对称性:
⎰⎰f(x,y)dσ
dσ=
dσ=
y)dσ=
dσ=
dσ=
dσ=
=
D
八、微分方程
1、一阶微分方程
(1)一阶线性型
y'+p(x)y=0⇒y=
y'+p(x)y=q(x)⇒y=
2、二阶可降阶微分方程
(1)能写成y’’=f(x,y’),令y’=
(2)能写成y’’=f(y,y’),令y’=
3、二阶常系数线性微分方程
(1)二阶常系数齐次线性微分方程
y''+py'+qy=0
求解步骤:
(1)特征方程:
(2)通解:
①不等实根:
②相等实根:
③共轭复数根:
九、无穷级数
1、级数性质
(1)级数收敛的必要条件:
2、正项级数审敛法
(1)比较审敛法
(2)比较审敛法极限形式
(3)比值审敛法(达朗贝尔准则)
(4)根值审敛法
(5)等比级数
P—级数
3、交错级数审敛法(莱布尼茨准则)
十、初等数学预备公式
1、乘法公式因式分解
(a±b)3=
a3±b3=
an-bn=
2、基本不等式
(1)算术平均值大于等于几何平均值:
(2)绝对值不等式
a±b≤
a-b≥
(3)韦达定理
3、平面解析公式
(1)平面外任意一点到该平面的距离
d=
一、行列式公式及性质
1、代数余子式和余子式的关系
Mij=Aij
2、行列式重要公式
(1)拉普拉斯展开式
A
O=AB=
BCOC
OAm⨯m=
Bn⨯nO
(2)范德蒙行列式
111
D=x1x2x4=
x4x4x4
124
(3)A为n阶方阵:
kA=A
AT=A
A-1=A
(4)设矩阵A为n阶方阵,λi是矩阵A的n个特征值:
则A=
二、矩阵
1、矩阵转置、可逆矩阵、伴随矩阵的关系
(1)矩阵转置
(AT)T=
(AB)T=
(kA)T=
(A±B)T=
(2)可逆矩阵
(A-1)-1=
(AB)-1=
(kA)-1=
(3)伴随矩阵及重要结论
(A*)*=
(AB)*=
(kA)*=
AA*=
=
A*=A
(n≥2)
(A*)-1=
r(A*)=
⎧,r(A)
⎪,r(A)
⎨
⎪,r(A)
⎩
(4)矩阵转置、可逆矩阵、伴随矩阵综合
(A-1)T=
(A-1)*=
(A*)T=
(5)分块求逆矩阵公式
⎡AO⎤-1
⎢OB⎥=
⎣⎦
⎡AC⎤-1
⎢OB⎥=
⎣⎦
⎡AO⎤-1
⎢CB⎥=
⎣⎦
⎡OA⎤-1
⎢BO⎥=
⎣⎦
三、向量
1、向量组的线性相关性
n个n维向量线性无关⇔[α1,α2,,αn]0
n个n维向量线性相关⇔[α1,α2,,αn]0
2、向量与线性相关、线性表出的方程组含义
①向量组的线性相关:
②向量组的线性标出
③向量组互相线性表出:
3、n维向量线性相关几何意义:
①α线性相关:
②α、β线性相关:
③α、β、γ线性相关:
4、秩的结论
0≤r(Am⨯n)≤
r(AT)=
r(A+B)≤
r(AB)≤
若AB=O,则r(A)+r(B)
若A、B可逆,则r(AB)=
四、特质值及特征向量
1、施密特正交化:
2、求下列矩阵特征值
A
kA
A+kE
AT
A-1
A*
An
λ
3、特征值的性质
若λ1,λ1,,λn为A的n个特征值,则
n
∑λi=
i=1
n
∏λi=
i=1
4、相似的四个等式
五、二次型
1、正交矩阵的定义
2、A正定的几个充分必要条件:
一、随机事件和概率
1、运算律
①结合律:
A⋃(B⋃C)=
A⋂(B⋂C)=
②分配律:
(A⋃B)⋂C=
③德·摩根率
A⋃B=
A⋂B=
2、运算公式
加法:
P(A+B)=
P(A+B+C)=
减法:
P(A-B)=
乘法:
P(AB)=
3、重要公式及结论
P(AB)+P(AB)=
P(AB)+P(AB)+P(AB)=
二、一维随机变量及其概率分布
1、分布函数计算
P(a 2、概率密度、概率分布及其数学期望、方差 (1)离散型随机变量 ①0-1分布 ②二项分布B(n,p) ③泊松分布P(λ) ④几何分布 (2)连续型随机变量 ⑤均匀分布 ⑥指数分布 ⑦正态分布及标准正态分布 三、二维随机变量及其概率分布 1、联合概率密度f(x,y) +∞ ①F(x,y)=⎰-∞ f(x,y)dxdy= ②边缘概率密度与边缘分布函数 fX(x)= FX(x)= fY(y)= FY(y)= ③条件概率密度 FX|Y(x|y)= FY|X(y|x)= 2、二维随机变量联合分布 ①二维均匀分布 ②二维正态分布,X服从? Y服从? 四、随机变量数字特征 1、数学期望定义及性质 (1)定义 连续型数学期望: (2)性质 E(C)= E(C1X+C2Y)= 若X、Y独立,E(XY)= [E(XY)]2≤ (3)随机变量函数的数学期望 ①Y=g(X),X~f(x) E(Y)= ②Z=g(X,Y),(X,Y)~f(x,y) E(Z)= 2、方差定义及性质 (1)定义 D(X)= 连续型: D(X)= (2)性质 D(C)= D[E(X)]= D(X±Y)= X、Y独立,D(X±Y)= D(C1X+C2)= 3、协方差及相关系数 (1)定义 ①协方差: Cov(X,Y)= ②相关系数: ρXY= (2)性质 ①Cov(aX,bY)= ②Cov(X1+X2,Y)= ③ ρXY=1⇔ ρXY=-1⇔ (3)若ρXY=0,几个充要条件: 五、大数定律 ①切比雪夫不等式 ②切比雪夫大数定律 ③伯努利大数定律 ④辛钦大数定律 六、数理统计 1、概念 ①样本均值: X= ②样本方差: S2= ③K阶原点矩: Ak= ④K阶中心矩: Ak= 2、几个分布 ①χ2= ②T= ③F= 3、重要公式 1 1n2n2 设X1,X2, Xn来自正态总体N(μ,σ2)的样本,X=∑Xi,S n i=1 =∑(Xi-X) n-1 i=1 ①X~ (n-1)S2 ②= σ2 1n(X -μ)2~ ③2∑i i=1 X-μ ④~ Sn 4、重要结论 ①对于χ2~χ2(n),有: E[χ2(n)]= D[χ2(n)]= ②对于T~t(n),有: E[T]= D[T]= ③对于F~F(m,n),有: 1~ F Fα(m,n)= 2 ④对于任意总体X,有: E(X)= E(S2)= D(X)=
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