一元二次方程应用题导学案重点题型.docx
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一元二次方程应用题导学案重点题型
6、1用一元二次方程解决问题
(一)面积问题
【课前预习】
(一)
1.直角三角形的面积公式是__________.一般三角形的面积公式是________.
2.正方形的面积公式是__________长方形的面积公式是__________.
3.梯形的面积公式是______________.
4.平行四边形的面积公式是____________.
5.圆的面积公式是_______________.
(二)
1、列方程解应用题的一般步骤是:
.
2、审题时要用横线、波浪线、圈等符号将题目中的已知量做出标记;
3、列方程解应用题的关键是.
4、若用一根60
长的绳子围成面积为200
的矩形,则该矩形的长=
宽=。
能围成面积更大的矩形吗?
若能,请写出它的长和宽.
【课堂重点】
问题1、一根长
的铁丝.
(1)能否围成面积是
的矩形?
(2)能否围成面积是
的矩形?
并说明理由.
分析:
如果设这根铁丝围成的矩形的长是
,那么矩形的宽是__________.
根据相等关系:
列出方程求解.
【课堂巩固】
1、如图,有长为24米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a为15米),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.如果要围成面积为45平方米的花圃,AB的长是多少米?
2、如图所示,一块长方形铁皮的长是宽的2倍,四角各截去一个正方形,制成高是5cm,容积是500cm3的无盖长方体容器.求这块铁皮的长和宽.
分析:
如果设这块铁皮的宽是xcm,那么制成的长方体容器底面的宽是,长是.从而可以根据相等关系:
,列出方程求解.
3、如图,在宽为20米、长为32米的矩形地面上,修筑同样宽的两条互相垂直的道路,余下部分作为花圃,要使花圃面积为540米2,道路的宽应为多少?
(思考:
花圃的面积有几种算法?
那种算法比较简单?
)
变式:
若修筑如下图所示的道路,应怎样解决问题?
4、在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框,制成一面镜子,镜子的长是宽的2倍.已知镜面玻璃的价格是每平方米120元,边框的价格是每米30元,另外制作这面镜子还需加工费45元.如果制作这面镜子共花了195元,求这面镜子的长和宽.
面积问题知识方法总结
面积问题(中考常考)
例3:
如图12—1,在宽20米,长32米的矩形耕地上,修筑同样宽的三条路(两条纵向,一条横向,并且横向与纵向互相垂直),把这块耕地分成大小相等的六块试验田,要使试验田的面积是570平方米,问道路应该多宽?
剖析:
设路宽为x米,那么两条纵路所占的面积为2·x·20=40x(米2),一条横路所占的面积为32x(米2).
纵路与横路所占的面积都包括两个小正方形ABCD、EFGH的面积,所以三条路所占耕地面积应当是(40x+32x-2x2)米2,根据题意可列出方程32×20-(40x+32x-2x2)=570.
解:
设道路宽为x米,根据题意,得
32×20-(40x+32x-2x2)=570.
整理,得x2-36x+35=0.
解这个方程,得x1=1,x2=35.
x2=35不合题意,所以只能取x1=1.
答:
道路宽为1米.
说明:
本题的分析中,若把所求三条路平移到矩形耕地边上(如图12—2),就更易发现等量关系列出方程.
如前所设,知矩形MNPQ的长MN=(32-2x)米,宽NP=(20-x)米,则矩形MNPQ的面积为:
(32-2x)(20-x).而由题意可知矩形MNPQ的面积为570平方米.进而列出方程(32-2x)(20-x)=570,思路清晰,简单明了.
6、2用一元二次方程解决问题
(二)增长率问题
【课前预习】
1、某工厂一月份生产零件1000个,二月份生产零件1200个,那么二月份比一月份增产个,增长率是。
2、某厂生产彩电,第一个月生产了5000台,第二个月增产了50%,则第二个月比第一个月增加了台,第二个月生产了台。
3、某彩电,第一个月生产了5000台,如果第二个月产量比第一个月增长的百分率为
则第二个月比第一个月增加了台;第二个月生产了台,是第一个月产量的倍。
(增长的量=原量⨯)
4、(引入)第3题中,如果已知第三个月的产量为7200台,并且第二、三个月的增长率相同,你能求出第二、三个月的增长率
吗?
【课堂重点】
问题2、某商店6月份的利润是2500元,要使8月份的利润达到3600元,这两个月的月平均增长率是多少?
【课堂巩固】
1、某钢铁厂去年1月某种钢的产量为50吨,3月上升到72吨,如果2月、3月的增长率相同,求这两个月平均每个月的增长率是多少?
〈分析〉:
设平均每个月的增长率为
,则2月份比1月份增产了吨.2月份的产量是吨,是1月份产量的倍;同理,3月份的产量是2月份产量的倍,3月份的产量是吨。
根据3月份产量的相等关系,列出方程为
2、某种药品,06年原来每盒售价10元,为了搞促销,厂家进行降价活动,到08年每盒售价4.9元,若每年的降价率相同,求平均每年的降价率是多少?
〈分析〉:
设平均每年的降价率为
,则07年比06年降价了元.07年每盒售价是元,是06年每盒售价的倍;同理,08年是07年每盒售价的倍,08年每盒售价是元。
根据08年每盒售价的相等关系,列出方程为
3、某企业2008年盈利1500万元,2010年克服全球金融危机的不利影响,仍实现盈利2160万元.从2008年到2010年,如果该企业每年盈利的年增长率相同.
求:
(1)该企业2009年盈利多少万元?
(2)若该企业盈利的年增长率继续保持不变,预计2011年盈利多少万元?
【知识小结】
1、连续两次增长,则“增长率”公式为;
(其中:
原来的量为
平均增长率是
两次增长后的量为
,
)
2、连续两次降价,则“降价率”公式为;
(其中:
原来的价格为
平均降价率是
两次降价后的价格为
,
)
注意以下几个问题:
(1)为计算简便,可以直接设增长的百分率为x.
(2)弄清“基数、增长了、增长到”等词语.
(3)用直接开平方法解方程简单,不要将括号展开.
增长率问题知识方法总结
1、循环问题(※中考热点考点)
(a)传播问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
解:
设每轮传染中平均一个人传染了x个人
可传染人数共传染人数
第0轮1(传染源)1
第1轮xx+1
第2轮x(x+1)1+x+x(x+1)
列方程1+x+x(x+1)=121
解方程,得
X1=10,X2=-12
X2=-12不符合题意,
所以原方程的解是x=10
答:
每轮传染中平均一个人传染了10个人。
类似问题还有树枝开叉等。
(b)循环问题(又可分为单循环问题,双循环问题和复杂循环问题)
a.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45场比赛,共有多少个队参加比赛?
b.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共比赛90场比赛,共有多少个队参加比赛?
c.一个正八边形,它有多少条对角线?
2、平均率问题(※中考热点考点)
最后产值、基数、平均增长率或降低率、增长或降低次数的基本关系:
M=a(1±x)n
n为增长或降低次数 M为最后产量,a为基数,x为平均增长率 或降低率
平均率和时间相关,必须弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长或降低率。
(a)平均增长率问题
某电脑公司2000年的各项经营收入中,经营电脑配件的收入为600万元,占全年经营总收入的40%,该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元,且计划从2000年到2002年,每年经营总收入的年增长率相同,问2001年预计经营总收入为多少万元?
解:
设每年经营总收入的年增长率为a.
列方程,600÷40%×(1+a)2=2160
解方程,a1=0.2a2=-2.2,(不符合题意,舍去)
∴每年经营总收入的年增长率为0.2
则2001年预计经营总收入为:
600÷40%×(1+0.2)=600÷40%×1.2=1800
答:
2001年预计经营总收入为1800万元.
(b)平均下降率问题
从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升,然后用水注满,再倒出同样升数的混合液后,这时容器里剩下纯酒精5升.问每次倒出溶液的升数?
剖析:
第一次倒出的是纯酒精,而第二次倒出的就不是纯酒精了.若设每次倒出x升,则第一次倒出纯酒精x升,第二次倒出纯酒精(
·x)升.根据20升纯酒精减去两次倒出的纯酒精,就等于容器内剩下的纯酒精的升数.
20-x-
·x=5.
6、3用一元二次方程解决问题(三)利润问题
【课前预习】
1、利润=;利润率=。
2、某种产品,原来每件的成本价是500元,若每件售价625元,则每件利润是,每件利润率是.
3、某商场从厂家以每件21元的价格购进一批商品,若每件的售价为a元,则可卖出(350—10a)件,商场计划要赚450元,则每件商品的售价为多少元?
【课堂重点】
问题3、某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,在一定范围内,衬衫的单价每降一元,商场平均每天可多售出2件.如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元,衬衫的单价应降多少元?
分析:
商场不采取降价措施前,销售这批衬衫每天的盈利是多少元?
写出衬衫的单价降1元、2元、…x元时,销售这批衬衫每天的盈利.
【课堂巩固】
1、某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克,现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?
2、某商场礼品柜台购进大量贺年卡,一种贺年卡平均每天可销售500张,每张盈利0.3元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的措施.调查发现,如果这种贺年卡的售价每降低0.1元,那么商场平均每天多售出300张.商场要想平均每天盈利160元,每张贺年卡应降价多少元?
利润问题知识方法总结
商品销售问题(中考常考)
一、常用关系式:
1、售价—进价=利润
2、一件商品的利润×销售量=总利润
3、单价×销售量=销售额
4、利润率=利润:
成本
二、解决问题的方法:
表格法
单价
数量
总额
变化前
变化后
三、题目的两种形式
(a)给出关系式
1.某商店购进一种商品,进价30元.试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系:
P=100-2X销售量P,若商店每天销售这种商品要获得200元的利润,那么每件商品的售价应定为多少元?
每天要售出这种商品多少件?
(b)一个“+”一个“—”
2.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克。
现该商品要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?
单价
数量
总额
变化前
变化后
6.4用一元二次方程解决问题(四)旅游问题
【课前预习】
某旅行社的一则旅游广告如下:
我社组团去上海世博园旅游,收费标准为:
如果人数不超过30人,人均旅游费用为800元;如果人数多于30人,那么每增加1人,人均旅游费用降低10元,但人均费用不得低于500元.
我校打算分批组织学生到上海世博园旅游.现计划用28000元组织第一批学生去旅游,问这次旅游可以安排多少人参加?
①你知道学校组织学生去参观上海世博会,总共花的费用和哪些量有关系呢?
②你知道这道题目中的等量关系是什么吗?
③如果有30位学生去旅游,你知道总共要花费多少钱呢?
④如果这次旅游可以安排的人数为x,结合③,你能判断x与30的大小吗?
为什么?
⑤在④的情况下,你能用x表示此时每位学生的旅游费用吗?
通过以上的分析,你能完整的解决这道题目吗?
(注意规范自己的解题步骤)
【课堂重点】
问题4、某旅行社为吸引市民组团去南京旅游,推出了如下收费标准:
某单位组织员工去南京旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用28000元,请问该单位这次共有多少员工去南京旅游?
【课堂巩固】
1、常州春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如下收费标准:
某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27000元,请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?
2、师苑旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如下收费标准:
如果人数不超过25人,人均旅游费用为1000元,如果人数超过25人,每增加1人,人均旅游费用降低20元,但人均旅游费用不得低于700元,某单
位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给旅行社旅游费用27000元,请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?
6、5用一元二次方程解决问题(五)数字问题
【课前预习】
1、已知两个数和为12,积等于32,求这两个数.
2、一个直角三角形的面积是
两直角边的差是
,求直角边长.
3、一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.
【课堂巩固】
1、三个连续偶数,已知最大数与最小数的平方和比中间一个数的平方大332,求这三个连续偶数.
2、一直角三角形两条直角边的和为7,面积为6,求斜边的长.
3、一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数是多少?
6.6用一元二次方程解决问题(六)动点问题
【课前预习】
1、如图,在矩形ABCD中,AB=16cm,BC=8cm.点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动,点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤8).那么。
(1)2秒后AP=,DQ=,AQ=。
△QAP的面积=。
(2)t秒后AP=,DQ=,AQ=。
△QAP的面积=。
(3)当t为何值时,△QAP的面积等于16cm2?
2、如图,某海关缉私艇在A处发现正南方向30海里的C处有一艘船形迹可疑,测得它正以60海里/小时的速度向正东航行.缉私队随即调整方向,以75海里/小时的速度准备在B处迎头拦截,问经过多少时间赶上?
【课堂重点】
3、如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动;同时,点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动,问几秒后△DPQ的面积等于28cm2?
【课后巩固】
4、如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,BC=6m,AC=8m,点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC,BC方向向点C匀速运动,已知点P移动的速度是20cm/s,点Q移动的速度是10cm/s,几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的
?
5、已知:
如图所示,在△ABC中,AB=5cm,BC=7cm,∠ABC90︒。
.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
(1)如果Q、P分别从B、A,同时出发,那么几秒后,△PBQ的面积等于4cm2?
(2)如果Q、P分别从B、A,同时出发,△PQB的面积能否等于7cm2?
说明理由.
6、已知如图,甲乙两人分别从广场ABCD顶点B,C同时出发,甲由B点向点C点运动,乙由C点向D点运动,甲的速度为2
,乙的速度为1
,若正方形广场的周长为40
,问多长时间后,两个人相距
?
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