相遇与追及.docx
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相遇与追及.docx
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相遇与追及
相遇与追及
例1.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发,相向而行,出发时他们的速度比是3:
2,他们相遇后,甲的速度提高了20%,乙的速度提高了30%,这样,当甲到达B地时,乙离A地还有14千米,那么,A、B两地间的距离是多少千米?
[答疑编号0518400101]
【答案】45
【解答】
图示:
设出发时甲的速度为“3”,则乙的速度为“2”.相遇后,甲的速度为3×(1+20%)=
,乙的速度为2×(1+30%)=
.此时甲乙的速度比为
:
=18:
13.那么,当甲由相遇点到达B时,走了如图所示的2段路程,相同时间内,乙走2×
=
,还剩下3-
=
段,由此知,图上的每一小段长为14÷
=9(千米).则全程为9×5=45(千米).
基础知识:
1)相遇问题:
两人在同一直线上行进,且行进的方向正对着对方(相向而行),则两人在中间某个地点相遇。
常用关系:
相遇路程=速度和′相遇时间
前提条件:
时间相同(同时出发)
2)追及问题:
两人在同一直线上行进,且行进的方向相同(同向而行),如果后面的人速度更快一些,则他会在某个地点追上前面的人。
常用关系:
追及路程=速度差′追及时间
前提条件:
时间相同(同时出发)
例2.从A城到B城,甲要走2小时,乙要走1小时40分钟,若甲比乙先行10分钟,那么乙出发后多少分钟追上甲?
[答疑编号0518400102]
【答案】50
【解答】甲走完全程用2小时,即120分钟,
乙走完全程需1小时40分钟,即100分钟。
将A城到B城的路程设为单位“1”,则甲、乙的速度分别为
和
。
追及路程即为甲10分钟所走的路程:
,
追及时间为:
分钟。
例3.自行车队出发12分钟后,小张骑摩托车开始追,在距离出发点9千米处追上.小张立刻返回到出发点并且再次追赶自行车队,在距离出发点18千米处再次追上,那么自行车队每分钟前进多少米?
[答疑编号0518400103]
【答案】500
【解答】因为两次追上的地点分别距离出发点为9千米和18千米,
所以小张在两次相遇之间一共走了9+18=27千米.
同时自行车队前进了18-9=9千米,
因此小张的速度是自行车队的27÷9=3倍.
于是小张骑摩托车开始追自行车队的时候,
自行车队应该距离出发点9-9÷3=6千米,
而这时车队已经出发了12分钟,
所以车队的速度是6000÷12=500米/分钟.
总结:
在多人或多段行程问题中,我们要善于根据图示,发现可作为突破口的行程路段。
这类行程路段要么有同一个人的三量(路程、速度、时间)之二是已知的,要么有两个人的对应量是已知的。
例4.从甲市到乙市有一条公路,它分成三段.在第一段上,汽车速度是每小时40千米;在第二段上,汽车速度是每小时90千米;在第三段上,汽车速度是每小时50千米.已知第一段公路的长恰好是第三段的2倍.现在两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发,相向而行,1小时20分后,在第二段的三分之一处相遇,那么甲乙两市相距多少千米?
[答疑编号0518400104]
【答案】185
【解答】
图示:
如图1,记两辆汽车在B点相遇,
并设汽车走完第三段公路(即从乙到C)所用时间为单位1.
由于在第一段和第三段公路上汽车的速度比是40:
50,
而第一段公路的长是第三段的2倍,所以走完第一段公路的时间是
个单位.
那么当从甲市出发的汽车走完第一段公路到达A时,
另一辆汽车已经在第二段公路上行驶了1.5个时间单位.
因为两辆汽车在第二段公路上的速度相等,
所以这时那辆汽车必然已经走了第二段公路的
,
因此从这时到两车相遇又经过了1.5个时间单位.
这样从两车出发到相遇,一共是2.5+1.5=4个时间单位,
所以每个时间单位是
小时,
那么甲乙两市之间的距离是
千米.
例5.小明从家去学校,出门一段时间后,爸爸发现小明未带铅笔盒,便骑车去追他.两人相遇之后爸爸立即回家,小明继续向学校走.爸爸到家后又发现小明未带作业本,拿着本再骑车去追他,而小明到校后也发现未带作业本,于是跑步回家去拿,与爸爸在途中相遇.已知两次的相遇点重合,相遇之间相差8分钟,且爸爸骑车的速度和小明跑步的速度分别是小明步行速度的4倍和3倍.那么小明步行从家到学校需要多少分钟?
[答疑编号0518400105]
【答案】22
【解答】依题意,小明跑步从学校到相遇点的速度是他步行从相遇点到学校速度的3倍,
所以在这段路程上,步行所用的时间是跑步的3倍,即步行了
分钟.爸爸在相遇点与家之间往返一次需要8分钟,单程要
分钟,因此从家到相遇点小明步行要
分钟.从而小明步行去学校的时间为
分钟.
总结:
图示法是分析复杂行程问题的重要方法。
例6.甲、乙两辆小汽车分别以每小时90千米和每小时60千米的速度从A地、B地出发相向而行,在此之前有一辆货车从A地出发向B地方向行驶.乙车在途中先与货车相遇,此时甲车距离它们有100千米;之后乙车与甲车相遇,此时货车与它们相距70千米.而当甲车追上货车时,它们已经经过B地又行驶了20千米.
(1)货车每小时行驶多少千米?
(2)甲、乙两地相距多少千米?
[答疑编号0518400106]
【答案】
(1)45
(2)300
【解答】
(1)从第一次相遇到第二次相遇所用的时间是:
小时,
在这一过程中,乙车行驶的路程为:
千米,
这说明货车在这一过程中行驶的路程为:
千米,
因此货车的速度是:
千米/小时。
(2)从第二次相遇到甲车追上货车的时间为:
小时,
这说明第二次相遇点到B地的距离是:
千米,
这也是甲乙两车出发到相遇时,乙车所走的路程,
由两车的速度之比可得两车的总路程(即A、B两地的距离):
千米。
例1.A、B两地相距4800米,甲住A地,乙和丙住在B地.有一天他们同时出发,乙、丙向A地前进,而甲向B地前进.甲和乙相遇后,乙立刻反身行进,10分钟后又与丙相遇.第二天他们又是同时出发,只是甲行进的方向与第一天相反,但三人的速度没有改变,乙追上甲后又立刻返身行进,结果20分钟后与丙相遇.已知甲每分钟走40米,求丙的速度.
[答疑编号0518400201]
【答案】60米/分
【解答】由已知,第一天甲、乙相遇时乙、丙的距离是两人每分钟所走路程和的10倍,而第二天甲、乙追及时乙、丙的距离是两人每分钟所走路程和的20倍,因此第二天甲、乙追及时,乙、丙的距离是第一天的2倍.由于乙、丙的距离是乙、丙的速度差与甲、乙相遇所需时间的乘积,所以第二天甲、乙相遇所需时间是第一天的2倍.
由于第二天甲、乙追及所需的时间=AB的距离÷甲和乙的速度差,而第一天甲、乙相遇所需的时间=AB的距离÷甲和乙的速度和,因此甲、乙的速度和是甲、乙的速度差的2倍.
由于甲、乙的速度和是甲的速度的2倍加上两人速度差,因此甲速度的2倍等于甲、乙速度差,由此知乙的速度是甲的3倍,即乙每分钟走40×3=120米.
在第一天中,甲、乙相遇用了4800÷(120+40)=30分钟,又乙返回10分钟后与丙相遇,因此乙、丙速度和是乙丙速度差的3倍,从而丙的速度为每分钟120×(3-1)÷(3+1)=60米.即丙每分钟走60米.
例2.A、B、C、O四个小镇之间的道路分布如图所示,其中A、O两镇相距20千米,B、O两镇相距30千米.某天甲、乙二人同时从B出发,甲到达O镇后再向A镇走,到达A镇后又立刻返回,而乙到达O镇后直接向C镇行进.丙从C镇与甲、乙两人同时出发,在距离O镇15千米处与乙相遇.当丙到达O镇后又向A镇前行,在与O镇相距6千米的地方与甲相遇.已知甲、乙的速度比为8:
9,求O、C两镇之间的距离.
[答疑编号0518400202]
【答案】50千米
【解答】当乙和丙相遇时,乙已经走了30+15=45千米.由于甲乙两人的速度比是8∶9,因此这时甲已经走了45×8÷9=40千米.
当甲和丙相遇时,甲已经走了30+20×2-6=64千米,因此两次相遇之间的时间是全部时间的
.
而丙在两次相遇之间走的路程是15+6=21千米,说明在与甲相遇前他一共走了
千米,所以OC之间的距离是56-6=50千米.
例3.在商场里并排安装有两个速度、长度都一样的自动扶梯,一个向上开,另一个向下开.小明和小强分别同时登上向上的和向下的扶梯.若小明还以一定的速度向上走,则两人经过60秒相遇;若小强也用同样的速度向下走,则两人只需要40秒即可相遇.现在如果他们都站在扶梯上不动,那么两人相遇需要多少秒?
[答疑编号0518400203]
【答案】120
【解答】设电梯的长度为“1”,则有电梯速度的2倍加一人的速度为
,
电梯速度的2倍加两人的速度为
,
则人的速度为
,
因此电梯速度的2倍为
,
若两人都不动,则最后相遇时间为
秒.
例4.江上有甲、乙两码头,相距15千米,甲码头在乙码头的上游.一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙码头出发向下游行驶,5小时后货船追上游船;又行驶了1小时,货船上有一物品落入江中(该物品可以浮在水面上),6分钟后被货船上的人发现了,便掉转船头去找,找到时恰好又和游船相遇.问游船在静水中的速度为每小时多少千米?
[答疑编号0518400204]
【答案】15
【解答】此题可以分为几个阶段来考虑.
第一个阶段是一个追及问题.在货船追上游船的过程中,两者的追及距离是15千米,共用了5小时,故两者的速度差是15÷5=3千米.由于两者都是顺水航行,故在静水中两者的速度差也是3千米.
在紧接着的1个小时中,货船开始领先游船,两者最后相距3×1=3千米.这时货船上的东西落入水中,6分钟后货船上的人才发现.此时货轮离落在水中的东西的距离已经是货轮的静水速度×
(千米)。
从此时算起,到货轮和落入水中的物体相遇,又是一个相遇问题,两者的速度之和刚好等于货轮的静水速度,
所以这段时间是货轮的静水速度×
÷货轮的静水速度=
小时.
按题意,此时也刚好遇上追上来的游船.货船开始回追物体开始时,货船和游船刚好相距3+3×
=
千米,两者到相遇共用了
小时。
故两者的速度和是每小时
÷
=33千米,这与它们两在静水中的速度和相等.
又已知在静水中货船比游船每小时快3千米,故游船的速度为每小时(33-3)÷2=15千米.
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