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光电子学与光子学2223翻译资料
2.2平面波导中的模间色散和波导色散
A.波导色散图和群速度
一个平板波导中存在的传输模式是由波导条件确定的。
从0导最大值的每一个m对应于一个不同的解和一个可能的传播常数βm。
可以看到,即使是单色光波入射,每种模式都以一个不同的传播常数传播。
图2.7的实验给人们留下的印象是,轴线光波的反射次数最少,因此到达端面的速度更快(更短)于高阶模式光波。
高阶模式光波沿着波导方向z字形曲折传播,传播路径更长。
然而,这种观点有两个严重的误解。
第一,波导中最重要的是能量或者信息传播的群速度vg。
第二,高阶模式渗透进入包层较多,包层折射率较低,因此光波传播较快。
从第一章可以知道,群速度vg由dω/dβ决定,其中ω是频率,β是传播常数。
对每一个模式m,模式角θ可以明显由式(2.1.3)的波导条件求取,即取决于光波波长(也是频率ω)和波导特性(n1,n2,a)。
因此,θm=θm(ω),βm=k1sinθm=βm(ω)是关于ω的函数,给定模式的群速度是关于光的频率和波导性能的函数。
可以看到,即使折射率为常数(与频率或波长无关),一个给定的模式群速度vg仍然依赖于与波导结构的波导特性参数相关的频率。
根据式(2.1.3)的波导条件,在给定折射率(n1和n2)和波导尺寸(a)的条件下,可以计算出每个m和ω的βm值,并可以得到波导的ω与βm的关系图,即色散图,如图2.10所示。
在任何频率ω处的切线dω/dβm就是群速度vg。
所有允许的传输模式都被包含在斜率c/n1和c/n2的两条线之间。
截止频率ωcutoff对应于当V=π/2时的截止条件(λ=λc)。
当ω>ωcutoff时,波导中不只存在一个模式。
从图2.10的实验可以直接看出两点:
首先,相同频率的不同模式的群速度不同;其次,一个给定模式的群速度随着光波波长而变化。
因此,群速度不仅与频率有关,还与波导特性参数有关。
其实,可以把V值和群速度联系起来,下面会讨论。
可以用斜率dω/dβ作为ω的一个函数来计算三个不同模式的群速度vg,如图2.11所示。
注意,当模式尚未被激发时,vg刚开始很大,数值接近于c/n2(包层中的相速度);当模式被激发时,vg降低并小于c/n1(纤芯层相速度),并最终在更高的频率下到达c/n1。
图2.10平板波导中不同Tem模式的ω相对于β的色散示意图。
ωcutoff对应于V=π/2。
在任何频率ω处的群速度vg等于ω相对于β的曲线在该频率点的斜率
图2.11平面介质波导中三个模式的群速度vg与角频率的关系图。
该平面介质波导中,n1=1.455,n2=1.440,a=10μm。
m=0对应着TE0模式等。
B.模间色散
多模传播过程中,即光波频率大于ωcutoff,在最低模式(m=0时)具有最慢的群速度,接近c/n1,而在最高模式具有最快的群速度。
其原因是,高阶模的一部分电场在折射率较小的包层中传播。
最低模式基本上包含在纤芯层内。
因此,各模式在整个光纤中传输的时间不同,这种现象被称为模态色散或模间色散。
模间色散的一个直接后果就是:
如果一个短持续时间的光脉冲信号被耦合到电介质波导中,该脉冲将激发分解为各种模式并沿波导传输。
这些模式将以不同的群速度传输。
在接收端对不同模式的光脉冲的重构将导致脉冲信号展宽,如图2.7所示。
很显然,只允许一种模式(m=0的模式)传播的单模波导中不存在模间色散。
为了评估沿着波导传播信号的模间色散,需要考虑信号通过波导的最短时间和最长时间,这无异于识别波导中由群速度决定的最低和最高模式。
如果Δτ表示最高与最低模式通过距离L的传播时间差值,则模间色散定义为Δτ=
(模间色散)(2.2.1)式中,vgmin是最低模式对应的最慢群速度,vgmax是最高模式对应的最快群速度。
从图2.10和图2.11可以明显看出,当ω>ωcutoff时,最低模式(m=0)的群速度为vgmin=c/n1。
最快的传输对应着最高模式,它的群速度大约为c/n2。
因此,近似有Δτ/L≈
(2.2.2)仅考虑两种极端的模式(最低模式和最高模式),而没有考虑是否存在某些中间模式的群速度超出c/n1~c/n2范围之外。
另外,式子中也没有考虑不同模式的光能量如何分布。
取n1=1.480(纤芯层)和n2=1.460(包层),可以发现Δτ/L≈6.7×10-11s·m-1或者6.7ns.km-1。
一般情况下,由于“模间耦合”,即不同传播模式能量交换,模间色散没有预计的那么高。
式子(2.2.2中展宽)分布Δτ是指展宽输出光脉冲两个极值的时间差值。
在光电子学中,通常对小于全宽度的半高强度点的分布Δτ1/2感兴趣。
Δτ1/2的大小取决于输出光脉冲的瞬间形状。
但当存在许多模式时,可以取一阶近似,有Δτ1/2≈Δτ。
C.模内色散
图2.10和图2.11显示了最低模式(m=0)时的群速度取决于频率ω或波长λ。
因此,即使在波导处于单模工作的情况下,只需要激发源具有有限的光谱,光波就含有不同的频率(即事实上没有完美的单色光波源)。
由图2.11可以明显看出,这些频率光波以不同的群速度传播,其到达波导输出端面的时间不同。
光波波长越大(频率越低),电场渗入包层越多,如图2.12所示。
因此,光波的相速度越大,其渗入包层的能量越多。
即便对于相同模式,光波波长越大,传播越快。
这种现象称为波导色散,这是因为它来源于介电结构的波导特性,而和与折射率相关的频率(或者光波波长)无关。
由于光波波长增大时,V值减小是波导的一个特性,故色散也可以描述为是光波波长对V值的依赖关系。
由于需要结合输入光谱并由图2.10所示的色散图来计算群色散,因此没有计算波导色散的简便方法。
图2.12当波长增加时,更多TE0模式的电场扩展进入包层。
由于包层又更多的模场,因此群速度得到增大。
波导材料的折射率也与光波波长相关,因此要对图2.10中ω相对于βm的曲线稍作修改。
由于折射率b随波长λ变化,给定模式的群速度的变化将导致传输脉冲的展宽,这称为材料色散。
因此,波导色散和材料色散共同作用,使得一个给定模式传播的光脉冲发生展宽,这两种色散合称为模内色散。
2.3阶跃折射率分布光纤
A.原理和允许的模式
对平面介质波导中光波导传播的总的思路作出某些修正后,可以很容易地扩展到如图2.13所示的阶跃折射率光纤。
该光纤本质上是一个圆柱形介质波导,并且纤芯层的电解质折射率n1大于外介质层包层的折射率n2。
在实际中,光纤刚拉伸完以后,就会在包层上涂上保护聚合物涂层,这在理解基本光纤工作原理中并不需要提及。
归一化折射率差△定义为
Δ=
(归一化折射率差)(2.3.1)对于所有应用于光通信领域的实际光纤,n1和n2的区别非常小,通常小于百分之几,因此Δ<<1。
图2.13阶跃折射率光纤。
中央区域纤芯层的折射率大于外侧区域包层的折射率。
光纤胃圆柱形对称结构。
坐标可用于表示在光纤中的任意一点P。
包层通常比图示要厚得多
平面波导只在一维有边界,因此光波反射只发生在图2.4中的y方向。
光波的想长干涉要求导致波导中存在几种不同的模式,用m来标志。
如图2.13所示为y轴成任意φ角度的任意径向的平面上。
由于任意径向可以用χ轴和y轴表示,χ轴和y轴方向上的光波反射都涉及光波的相长干涉,因此需要考虑用两个整数来表述,如平面波导中的m,但是二维驻波需要两个整数。
在平面波导的情况下,形象地认为波导中传播的光波在波动中以z字形曲线传播,并且所有光线都需要通过波导的轴线平面。
此外,波导中的光波要么是TE(横向电场)光波,要么是TM(横向磁场)光波。
相比于平面波导,阶跃折射率光纤的最大不同特性在于,光纤Z字形曲线传播的光线不一定通过光纤的轴线,即所谓的斜光线。
进入光纤的子午光线通过光纤轴线,因此在光纤Z字形曲线传播过程中每次反射通过光纤轴线。
该光线在包含光纤轴线的一个平面内传播,如图2.14(a)所示。
另一方面,斜光线进入光纤后,偏离光纤的轴线,并且在光纤Z字形曲线传播过程中不通过轴线。
当对着光纤端面看过去时(即光纤在垂直光纤轴线平面上的投影),斜光线的轨迹是围绕光纤轴线的多边形,如图2.14(b)所示。
因此,斜光线的行进轨迹是围绕光纤轴的螺旋路径。
在阶跃折射率光纤中子午光线和斜光线产生的导模(允许传播的波)都沿光纤传播,每个导模都有一个沿z方向的传播常数β。
子午光线产生的导模类似于平面波导中的情况,是TE型或TM型。
另一方面,斜光线产生的导模同时具有Ez和Bz(或Hz)两个分量,因此不是TE模式或TM模式的波,他们被称为HE模或EH模,因为电场和磁场都沿z方向的分量,它们也被称为混合模式。
很明显,不同于平面波导中,在阶跃折射率光纤中的导模很难描述。
Δ<1的阶跃折射率光纤被称为弱导光纤,该光纤中的导模通常被认为是行波,几乎为平面偏振光波。
光纤中的传播光波具有横向电场和横向磁场(E和B相互垂直并垂直于z轴),这类似于平面光波的场方向,但是平面上的场强大小并非为常数。
这种光波称为线偏振光波,具有横向电场和横向磁场特性。
沿着光纤的波导线偏振模式可以用沿着z轴传播的电场分布E(r,φ)表示。
该电场分布(或者图样)是在垂直于光纤轴线的平面上,因此取决于r和φ的大小,而与z无关。
此外,由于存在两个边界,电场分布由两个整数参数l和m来表征。
因此,线偏振模式的传播电场分布表示为Elm(r,φ),把该模式写为LPlm。
因此,一个LPlm模式可以写成沿着z轴传播的行波ELP=Elm(r,θ)expj(ωt-βlmZ)(2.3.2)式中,ELP是线偏振模式的电场,βlm是沿着z方向的传播常数。
很明显,对于给定的l和m,Elm(r,φ)表示在有效传播常数或者波矢量为βlm的光纤上传播光波在点z处的特定电场图样。
图2.14(a)子午光线及(b)斜光线之间得差异示意图。
数字代表光线得反射
如图2.15(a)所示为阶跃折射率中基模。
纤芯中央(或光纤轴线)上电场强度达到最大,并且伴随倏逝波,有一部分电场渗透包层中,渗透程度取决于光纤的V值(因此与光波波长相关)。
模式的光强正比于E2,这意味着LP01模式中电场强度分布在光纤轴线上达到最大,如图2.15(b)所示,即中心位置最亮且亮度向包层方向逐渐降低。
图2.15(c)和图2.15(d)也显示了在LP11和LP21模式的强度分布。
LPlm模式中整数l和m与强度图样相关。
从轴线开始,沿着r方向有m个最大值,而在圆周方向上有2l个最大值,如图2.15所示。
l通常被称为径向模式数。
在射线图中,l代表螺旋传播的程度,或对模式有贡献的斜光线的数量。
在基模中,l为0。
另外,类似于平面波,m直接与光线的反射角θ相关。
从上面的讨论中可以看到,沿着光纤传播的光波具有不同的传播模式,并且每种模式都有对应的传播常数βlm和电场分布图样Elm(r,φ)。
每种模式都有自己的群速度vg(l,m),群速度大小取决于ω与βlm的色散曲线,。
当光脉冲输入到光纤时光波在光纤中以不同的模式传播。
不同模式的光束以不同的群速度传播,因此到达光纤端面的时间不相同,这意味着输出脉冲相对于输入脉冲已经展宽了。
类似于平面波导中,光脉冲的展宽是一种模间色散现象。
然而,可以设计出一种合适的光纤,从而只允许基模光波传播,这样就不存在模间色散了。
图2.15与光纤Z轴垂直得横向平面内基模的电场分布。
基模的光强在光纤中心中达到最大。
图出分别给出了LP01、LP11和LP21的光强分布
在阶跃折射率光纤中,以类似平面波导的方式定义V值,或归一化的频率,即V=
(V值的定义)(2.3.3)式中,a是光纤纤芯,λ是自由空间波长,n是芯与包层的平均折射率,即n=(n1+n2)/2,Δ是相对于折射率差,即
Δ=
≈
(相对折射率差)(2.3.4)
当V<2.405时,可以看出光纤中只有一种模式,如图2.15(a)和图2.15(b)所示的基模(LP01)可以在光纤纤芯中传播。
减小纤芯尺寸而进一步降低V值时,光纤仍然可以支持LP01模式,但该模式更多地扩展渗透到包层中。
有限尺寸的包层可能会导致光波的一些能量丢失。
设计(由a和△的选择)只允许特定波长的基模传播的光纤纤芯半径和相对折射率△较小。
如果有效减小光源的波长λ,使V值超过2.405,单模光纤将成为多模光纤,这样高阶模式也可以在光纤中传播。
单模光纤的截止波长λc可由下式子推导:
Vcutoff=
(n12-n22)1/2=2.405(单模光纤的截止波长)(2.3.5)
当V值参数增加到2.405以上时,模式的数量急剧上升。
阶跃折射率多模光纤中,模式数目M很好的近似为
M≈
(当V>>2.405时的模式数目)(2.3.6)
阶跃折射率光纤的各种物理参数的变化对传播数量的影响,可以很容易地从式子(2.3.3)的V值推导出来的。
例如,增大纤芯半径(a)或它的折射率n1,模式的数量增加。
另一方面,增大波长或包层的折射率(n2)会减少模式的数量。
包层直径没有在V值方程中出现,所以它对波的传播没有明显的作用。
在多模光纤中,光通过多种模式传播,这些模式主要局限于纤芯。
在阶跃折射率光纤中,当倏逝波沿边界传播时,基模电场渗透包层中。
如果没有足够厚的包层,则电场将达到包层的外端并逃脱,从而导致光强损失。
例如,通常情况下,单模阶跃折射率光纤的包层直径至少是纤芯直径的10倍。
B.模场直径
从图2.15中可以看出,基模电场渗透包层中。
模场直径(用2w表示)表示波导中基模的场强分布的程度。
基模电场渗透包层中,所以模场直径不仅仅等于纤芯直径。
需要知道光功率或场强的平方E(r)2,其沿着光纤分布并且是到光纤轴线上径向距离r的函数。
实际上,一般用高斯函数来表示光纤中的场强分布,如图2.16所示。
同时,可以用来定义MFD,即
E(r)2=E(0)2exp[-(r/w)2](基模电场)(2.3.7)式子中,E(0)是中心的场强。
在r=w处,功率降到1/e2。
一个比较有效的用V值来对w的估计是马尔库塞模场直径方程,即
2w=2a(0.65+1.619V-3/2+2.879V-6);0.8 图2.16单模光纤中功率密度(正比于E2)分布。 2w是模场直径 由于V值通常为2,模场直径大约是纤芯直径的1.27倍。 当1.6 2w≈ (1.6 C.传播常数和群速度 由于LP模式的传播常数βlm取决于波导特性和工作波长,可以很方便地用仅与V值相关的归一化传播常数来描述光的传播特性。 给定k=2π/λ(自由空间)及波导折射率n1和n2,归一化传播常数b与β=βlm有如下关系 b= (归一化传播常数)(2.3.10) 根据上面的定义,其下限b=0对应于β=kn2,即光波在包层中传播;上限b=1对应于β=kn1,光波在纤芯层中传播。 多种模式下b与V值的关系已由相关文献计算出如图2.17所示为几个低阶LP模式的关系曲线。 这种b随V变化的曲线十分普遍,适用于所有的跃迁折射率光纤,并且在预测这些光纤中光传播本质方面具有重要意义。 没注意到,所有V值都对应有基模LP01,而LP11的截止条件为V=2.405。 每一个高于基模LP模式都有其截止V值和对应的截止波长。 给定光纤的V值,能从图2.17中轻易得到b,因此得到所允许LP模式的β。 一旦由V值获得b,传播常数可以很容易地计算出来。 图2.17阶跃折射率光纤的各种LP模式的归一化传播常数b与V值的曲线 β/k=[n22+b(n12-n22)]1/2 几乎所有阶跃折射率光纤的相对折射率Δ都非常小,也就是它们的波导作用较弱,所以式子(2.3.10)可以简化为更简单的形式 b≈ (归一化传播常量的近似值) (2.3.12) 单模光纤基模的群速度计算涉及b与光频率的关系,如图2.17所示,b的大小取决于V值。 超过1.5 b≈(1.148- )2 式(2.3.13)实际上能非常有效地计算单模光纤中光的传输特性。 D.多模阶跃折射率光纤的模间色散 由平面波导可知,若光波为多模波导(有V>π/2),则入射到波导的光脉冲分解为不同的模式,并且这些模式以不同的群速度在波导中传播,如图2.7所示。 对应于多模光纤中的同样精确讨论,得出V>2.405,图2.7很好的表示了多模光纤中光波传播过程。 式(2.2.2)给出了长为L的平面波导输出光波的模间色散Δτ的大小,有 Δτ/L≈ = (两极限点的模间色散)(2.3.14) 可以用相同的公式来估算阶跃折射率多模光纤的模间色散,从本质上讲,该模间色散取决于最慢速度(最低模式)和最快速度(最高模式)的速度差,即(n1-n2)/c。 合适的计算过程应当考虑模式传播方式,并找到输出端模式到达时间的差异。 但是多模光纤中具有很多模式,且Δ<<1,因此可以推导出式子(2.3.14),然而式(2.3.14)有一个重要的附加条件。 它适用于从第一个到最后一个出来的模式,因此代表输出脉冲的全部展宽。
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