解排列组合应用题的策略.docx
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解排列组合应用题的策略
解排列组合应用题的策略
排列组合问题是高考的必考题,它联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,不易掌握,实践证明,掌握题型和解题方法,识别模式,熟练运用,是解决排列组合应用题的有效途径;下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.
1.相邻问题捆绑法:
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.
例1.五人并排站成一排,如果必须相邻且在的右边,那么不同的排法种数有
A.60种B.48种C.36种D.24种
【答案】D
【解析】把视为一人,且固定在的右边,则本题相当于4人的全排列,种.
【变式1】7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.
【解析】可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有种不同的排法
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.
【变式2】某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为20
【解析】没命中的4枪有5个空,连续的命中的3枪捆绑到一起,和单独命中的一枪插空,共有种方法.
【解析2】用列举法列举出来
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2.相离问题插空排:
元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是
A.1440种B.3600种C.4820种D.4800种
【解析】除甲乙外,其余5个排列数为种,再用甲乙去插6个空位有种,不同的排法种数是种,选.
【变式1】一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种?
【解析】分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种,第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有种
【变式2】某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为30。
【解析】
3.定序问题缩倍(空位插入)法:
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.
例3.五人并排站成一排,如果必须站在的右边(可以不相邻)那么不同的排法种数是
A.24种B.60种C.90种D.120种
【解析】在的右边与在的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即种,选.
【变式1】7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法?
【解析】(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是:
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法,其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法,则共有种方法。
思考:
可以先让甲乙丙就坐吗?
(插入法)先排甲乙丙三个人,共有种排法,再把其余4四人依次插入共有种方法,所以共有种排法.
定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插
空模型处理
【变式2】10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法?
【答案】(10人中选5人,排到前排,选出来之后身高确定,因此位置确定,后排的5人位置也就确定了)
4.标号排位问题分步法:
把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.
例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有
A.6种B.9种C.11种D.23种
【解析】先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×3×1=9种填法,选.
5.有序分配问题逐分法:
有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法.
例5.有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是
A.1260种B.2025种C.2520种D.5040种
【解析】先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选1人承担乙项任务,第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有种,选.
【解析2】
【变式1】12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有
A.种B.种C.种D.种
【答案】A
6.全员分配问题分组法:
例6.4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种?
【解析】把四名学生分成3组有种方法,再把三组学生分配到三所学校有种,故共有种方法.
说明:
分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
【变式1】5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为
A.480种B.240种C.120种D.96种
【答案】B
【解析】(5人分3组较难,后期有试题加入)
7.名额分配问题隔板法:
例7.10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?
【解析】10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案,故共有不同的分配方案为种.
将n个相同的元素分成m份(n,m为正整数),每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为
8.限制条件的分配问题分类法:
例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?
【解析】因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况:
①若甲乙都不参加,则有派遣方案种;②若甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后安排其余学生有方法,所以共有;③若乙参加而甲不参加同理也有种;④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有7种方法,然后再安排其余8人到另外两个城市有种,共有方法.所以共有不同的派遣方法总数为种.
【分解】①甲乙都不选
②甲乙都选,第一步(其他8人选2人)
第二步甲去西宁:
,甲不去西宁
所以
③甲参加乙不参加
④乙参加甲不参加
所以不同派遣方法总数为1680+392+1008+1008=4088
9.多元问题分类法:
元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数,最后总计.
例9.由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有
A.210种B.300种C.464种D.600种
【解析】按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,分别有个,
个,合并总计300个,选.
【变式1】从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种?
【解析】被取的两个数中至少有一个能被7整除时,他们的乘积就能被7整除,将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做共有86个元素;由此可知,从中任取2个元素的取法有,从中任取一个,又从中任取一个共有,两种情形共符合要求的取法有种.
【变式2】从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种?
【解析】将分成四个不相交的子集,能被4整除的数集;能被4除余1的数集,能被4除余2的数集,能被4除余3的数集,易见这四个集合中每一个有25个元素;从中任取两个数符合要;从中各取一个数也符合要求;从中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合要求;所以符合要求的取法共有种.
10.定位问题优先法:
某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素。
例10.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种?
【解析】老师在中间三个位置上选一个有种,4名同学在其余4个位置上有种方法;所以共有种。
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11.多排问题单排法:
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。
例11.6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是
A.36种B.120种C.720种D.1440种
【解析】前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,共种,选C.
【变式1】8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
【解析】8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有种,再排后4个位置上的特殊元素丙有种,其余的5人在5个位置上任意排列有种,则共有种
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.
【变式2】有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是346
【解析】①两人都在后排:
(空座位10人,11个空,两人坐椅子插入空位)
②都在前排:
都在左或者都在右
一左一右:
③前后两排:
所以不同排法的种数是110+12+32+192=346
12.圆排问题单排法:
把个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列,顺序(例如按顺时钟)不同的排法才算不同的排列,而顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的,它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分,下列个普通排列:
在圆排列中只算一种,因为旋转后可以重合,故认为相同,个元素的圆排列数有种.因此可将某个元素固定展成单排,其它的元素全排列.
例12.8人围桌而坐,共有多少种坐法?
【解析】围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人并从此位置把圆形展成直线其余7人共有(8-1)!
种排法即!
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!
种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有
【变式1】6颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈
【解析】
【变式2】5对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,有多少种不同站法?
【解析】首先可让5位姐姐站成一圈,属圆排列有种,然后在让插入其间,每位均可插入其姐姐的左边和右边,有2种方式,故不同的安排方式种不同站法.
说明:
从个不同元素中取出个元素作圆形排列共有种不同排法.
13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:
例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有
A.140种B.80种C.70种D.35种
【解析1】逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,故不同的取法共有种,选.
【解析2】至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况:
甲型1台乙型2台;甲型2台乙型1台;故不同的取法有台,选.
14.选排问题
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