高中数学人教A版选修12习题第二章推理与证明检测.docx
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高中数学人教A版选修12习题第二章推理与证明检测
第二章检测
(时间:
90分钟 满分:
120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.有一段演绎推理是这样的:
“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内的所有直线;已知直线b⊄平面α,a⊂平面α,直线b∥平面α,则直线b∥直线a”,这个结论显然是错误的,这是因为( )
A.大前提错误B.小前提错误
C.推理形式错误D.非以上错误
解析“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内的所有直线”是错误的,即大前提是错误的.故选A.
答案A
2.已知f(x+1)∈N*),猜想f(x)的表达式为( )
A.f(x)
C.f(x)
解析当x=1时,f
(2)
当x=2时,f(3)
当x=3时,f(4)
故可猜想f(x)B.
答案B
3.如图所示,4只小动物换座位,开始时鼠,猴,兔,猫分别坐1,2,3,4号座位,如果第1次前后排动物互换座位,第2次左右列动物互换座位,第3次前后排动物互换座位……这样交替进行下去,那么第2018次互换座位后,小兔坐在( )号座位上.
A.1B.2C.3D.4
解析由题意得第4次互换座位后,4只小动物又回到了原座位,即每经过4次互换座位后,小动物回到原座位,而2018=4×504+2,所以第2018次互换座位后的结果与第2次互换座位后的结果相同,故小兔坐在2号座位上,应选B.
答案B
4.已知x∈(0,+∞),不等式x≥2,x≥3,x≥4,…,可推广为x≥n+1,则a的值为( )
A.2nB.n2C.22(n-1)D.nn
解析∵第一个不等式中a=11,第二个不等式中a=22,第三个不等式中a=33,∴第n个不等式中a=nn.
答案D
5.若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则( )
A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形
D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形
解析因为正弦值在(0°,180°)内是正值,所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,因此△A1B1C1是锐角三角形.
由于△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,因此△A2B2C2不可能为直角三角形,故假设△A2B2C2也是锐角三角形,并设cosA1=sinA2,
则cosA1=cos(90°-A2),
所以A1=90°-A2.
同理设cosB1=sinB2,cosC1=sinC2,
则有B1=90°-B2,C1=90°-C2.
又A1+B1+C1=180°,
则(90°-A2)+(90°-B2)+(90°-C2)=180°,
即A2+B2+C2=90°.
这与三角形内角和等于180°矛盾,
所以原假设不成立.故选D.
答案D
6.观察下列各式:
a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10等于( )
A.28B.76C.123D.199
解析利用归纳法:
a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.
规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.
答案C
7.对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式:
22=1+3
32=1+3+5
42=1+3+5+7
23=3+5
33=7+9+11
43=13+15+17+19
根据上述分解规律,若m2=1+3+5+…+11,n3的分解中最小的正整数是21,则m+n等于( )
A.10B.11C.12D.13
解析∵m2=1+3+5+…+11
∴m=6.
∵23=3+5,33=7+9+11,
43=13+15+17+19,
∴53=21+23+25+27+29.
又n3的分解中最小的正整数是21,
∴n3=53,n=5,∴m+n=6+5=11.
答案B
8.对于奇数列1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组:
第一组有1个数{1},第二组有2个数{3,5},第三组有3个数{7,9,11},……,依此类推,则每组内奇数之和Sn与其组的编号数n(n∈N*)的关系是( )
A.Sn=n2B.Sn=n3C.Sn=n4D.Sn=n(n+1)
解析当n=1时,S1=1;
当n=2时,S2=8=23;
当n=3时,S3=27=33.
归纳猜想Sn=n3.故选B.
答案B
9.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:
图
(1)
图
(2)
他们研究过图
(1)中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图
(2)中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数,又是正方形数的是( )
A.289B.1024C.1225D.1378
解析根据图形的规律可知,第n个三角形数为ann个正方形数为bn=n2,由此可排除选项D(1378不是平方数),将选项A,B,C代入到三角形数与正方形数的表达式中检验可知,符合题意的是选项C,故选C.
答案C
10.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.如图甲所示,在平行四边形ABCD中,有AC2+BD2=2(AB2+AD2),那么在图乙所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,
A.2(AB2+AD2+
C.4(AB2+AD2+
解析如图,连接A1C1,AC,
则四边形AA1C1C是平行四边形,
故A1C2+
连接BD,B1D1,
则四边形BB1D1D是平行四边形,
又在▱ABCD中,AC2+BD2=2(AB2+AD2),
故选C.
答案C
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,
甲说:
我去过的城市比乙多,但没去过B城市;
乙说:
我没去过C城市;
丙说:
我们三人去过同一城市.
由此可判断乙去过的城市为 .
解析由丙的说法“三人去过同一城市”知乙至少去过一个城市,而甲说去过的城市比乙多,且没去过B城市,因此甲一定去过A城市和C城市.又乙没去过C城市,所以三人共同去过的城市必为A,故乙去过的城市就是A.
答案A
12.已知函数f(x)=x3+x,a,b,c∈R,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,则f(a)+f(b)+f(c)的值一定比零 (填“大”或“小”).
解析∵f(x)=x3+x是R上的奇函数,且是增函数,
又由a+b>0可得a>-b,
∴f(a)>f(-b)=-f(b),∴f(a)+f(b)>0.
同理,得f(b)+f(c)>0,f(c)+f(a)>0.
三式相加,整理得f(a)+f(b)+f(c)>0.
答案大
13.在平面几何中,△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比
解析∵CE平分∠ACB,而平面CDE平分二面角A-CD-B,
答
14.已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:
①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于 .
解析由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况:
(1)当①成立时,则a≠2,b≠2,c=0,此种情况不成立;
(2)当②成立时,则a=2,b=2,c=0,此种情况不成立;
(3)当③成立时,则a=2,b≠2,c≠0,即a=2,b=0,c=1,
所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201.
故答案为201.
答案201
15.把数
1
…
第k行有2k-1个数,第t行的第s个数(从左数起)记为A(t,s),则A(6,10)= .
解析前5行共有20+21+22+23+24=31个数,A(6,10)为数列的第41项.
∵an
答
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(8分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;
②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;
③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;
④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;
⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
(2)根据
(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
解法一
(1)选择②式,计算如下:
sin215°+cos215°-sin15°cos15°=130°=1
(2)三角恒等式为
sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)
证明如下:
sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)
=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα·(cos30°cosα+sin30°sinα)
=sin2ααcosααcosα
解法二
(1)同解法一.
(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinα·cos(30°-α)
证明如下:
sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)α(cos30°cosα+sin30°sinα)
2α60°cos2α+sin60°sin2α)αcosαsin2α
2α2α2α2α2α)
=12α2α
17.(8分)已知函数f(x)=ax
(1)证明函数f(x)在(-1,+∞)内为增函数;
(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.
分析对第
(1)小题,可用定义法证明;对第
(2)小题,可按反证法证明命题的步骤加以证明.
证明
(1)设x1,x2是(-1,+∞)内的任意两个实数,且x1 ∵a>1, 又x1+1>0,x2+1>0, 于是f(x2)-f(x1) 故函数f(x)在(-1,+∞)内为增函数. (2)假设存在x0<0(x0≠-1)满足f(x0)=0, 0 于是0< 这与假设x0<0矛盾,故方程f(x)=0没有负数根. 18.(9分)先解答 (1),再通过结构类比解答 (2): (1)求证: ta (2)设x∈R,a为非零常数,且f(x+a) (1)证明由两角和的正切公式得ta 即ta. (2)解猜想f(x)是以4a为周期的周期函数. 证明过程如下: ∵f(x+2a)=f[(x+a)+a] ∴f(x+4a)=f[(x+2a)+2a] = ∴f(x)是以4a为周期的周期函数. 故f(x)是周期函数,其中一个周期为4a. 19.(10分)已知0 (1)试猜想ab与ba的大小关系; (2)证明你的结论. (1)解取a=2,b=1可知ab>ba, 又当a=1,b,ab>ba, 由此猜测ab>ba对一切0 (2)证明要证ab>ba对一切0 需证lnab>lnba,需证blna>alnb, 需 设函数f(x)∈(0,e), f'(x) 当x∈(0,e)时,f'(x)>0恒成立. 所以f(x)(0,e)内单调递增, 所以f(a)>f(b),ab>ba. 20.(10分)已知数列{an}和{bn}满足: a1=λ,an+1 (1)求证: 对任意实数λ,数列{an}不是等比数列; (2)求证: 当λ≠-18时,数列{bn}是等比数列; (3)设Sn为数列{bn}的前n项和,是否存在实数λ,使得对任意正整数n,都有Sn>-12? 若存在,求实数λ的范围;若不存在,请说明理由. 分析解答本题,需综合运用等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和基本运算技能,并注意分类讨论思想的应用. (1)证明假设存在实数λ,使得数列{an}是等比数列,则 又因为a2 所 则9=0,这是不可能的. 所以假设不成立,原结论成立. 故对任意实数λ,数列{an}不是等比数列. (2)证明因为λ≠-18,所以b1=-(λ+18)≠0. 又bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21] =(-1)n+ = = 所以bn≠0, 所∈N*). 故当λ≠-18时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项,. (3)解当λ≠-18时,由 (2)得 bn=-(λ+18)· 所以Sn= 当λ=-18时,bn=0,从而Sn=0,(*)式仍成立. 要使对任意正整数n,都有Sn>-12, 解得λ 令f(n)=1n为正奇数时,1 故对任意正整数n,f(n)的最大值为f (1) 所以λ<20 综上所述,存在实数λ,使得对任意正整数n,都有Sn>-12,此时实数λ的取值范围是(-∞,-6). 小学语文学习必须了解的59个通假字,你的孩子都知道吗? 1、说(yuè): 通“悦”,愉快。 学而时习之,不亦说乎? (《论语十则》) 2、女: 通“汝”,你。 知: 通“智”,聪明。 诲女知之乎? ……是知也。 (《论语十则》) 3、还: 通“旋”,回转,掉转。 扁鹊望桓侯而还走。 (扁鹊见蔡桓公)) 4、齐: 通“剂”。 在肠胃,火齐之所及也。 (《扁鹊见蔡桓公》) 5、止: 通“只”。 担中肉尽,止有剩骨。 (《狼》) 6、亡: 通“无” 河曲智叟亡以应。 (《愚公移山》) 亡: 通“无”。 日之其所亡。 (《乐羊子妻》) 7、屏: 通“摒”。 屏弃而不用,其与昏与庸无以异也。 (《为学》) 8、帖: 通“贴”。 火: 通“伙”。 对镜帖花黄。 ……火伴皆惊忙。 (《木兰诗》) 9、尔: 通“耳”,相当于“罢了”。 无他,但手熟尔。 (《买油翁》) 10、争: 通“怎”。 争渡,争渡,惊起一滩鸥鹭。 (《如梦令》李清照) 11、见,通“现”。 路转溪头忽见。 (《西江月》辛弃疾) 见: 通“现”。 才美不外见……(《马说》) 见: 通“现”。 何时眼前突兀见此屋。 (《茅屋为秋风所破歌》) 12、(《口技》)坐: 通“座”。 满坐寂然,无敢哗者。 13、扳: 通“攀”,牵,引。 日扳仲永环谒于邑人。 (《伤仲永》) 14、反: 通“返”。 寒暑易节,始一反焉。 (《愚公移山》) 15、惠: 通“慧”,聪明。 甚矣,汝之不惠。 (《愚公移山》) 16、厝: 通“措”,放置。 一厝逆东,一厝雍南。 (《愚公移山》) 17、那: 通“哪”,怎么。 问渠那得清如许。 (《观书有感》) 18、阙: 通“缺”。 两岸连山,略无阙处。 (《三峡》) 19、强: 通“僵”,僵硬。 昂首观之,项为之强。 (《闲情记趣》) 20、道: 通“导”,引导。 傧者更道,从大门入。 (《晏子故事两篇》) 21、曷: 通“何”。 缚者曷为者也? (《晏子故事两篇》) 22、熙: 通“嬉”,开玩笑。 圣人非所与熙也。 (《晏子故事两篇》) 23、辑: 通“缉”,连缀。 饰以玫瑰,辑以翡翠。 (《买椟还珠》) 24、遽: 通“讵”,岂。 此何遽不为福乎? (《塞翁失马》) 25、距: 通“拒”,挡。 ……子墨子九距之。 (《公输》) 26、诎: 通“屈”,折服。 公输盘诎,而曰……(《公输》) 27、有: 通“又”。 舟首尾长约八分有奇。 (《核舟记》) 28、衡: 通“横”。 左手倚一衡木。 (《核舟记》) 衡: 通“横”,梗塞,这里指不顺。 困于心,衡于虑。 (《生于忧患,死于安乐》) 29、甫: 通“父”。 虞山王毅叔远甫刻。 (《核舟记》) 30、简: 通“拣”,挑选。 盖简桃核修狭者为之。 (《核舟记》) 31、错: 通“措”。 以君为长者,故不错意也。 (《唐雎不辱使命》) 32、仓: 通“苍”。 要离之刺庆忌也,仓鹰击于殿上。 (《唐雎不辱使命》) 33、裁: 通“才”,仅仅。 数至八层,裁如星点。 (《山市》) 34、適: 通“谪”。 发闾左適戍渔阳九百人。 (《陈涉世家》) 35、唱: 通“倡”,倡导。 为天下唱,宜多应者。 (《陈涉世家》) 36、以: 通“已”。 得鱼腹中书,固以怪之矣。 (《陈涉世家》) 37、被: 通“披”。 将军身被坚执锐。 (《陈涉世家》) 被: 通“披”。 同舍生皆被绮绣。 (《送东阳马生序》) 38、食: 通“饲”,喂。 食马者不知其能千里而食也。 (《马说》) 39、材: 通“才”。 食之不能尽其材。 (《马说》) 40、邪: 通“耶”,表示疑问,相当于“吗”。 其真无马邪? (《马说》) 41、僇: 通“戮”,遭到贬谪。 自余为僇人,……(《始得西山宴游记》) 42、暴: 通“曝”。 而游者皆暴日中。 (《峡江寺飞泉亭记》) 43、畔: 通“叛”。 寡助之至,亲戚畔之。 (《得道多助,失道寡助》) 44、曾: 通“增”。 曾益其所不能。 (《生于忧患,死于安乐》) 45、拂: 通“弼”,辅佐。 入则无法家拂士。 (《生于忧患,死于安乐》) 46、具: 通“俱”,全,皆。 政通人和,百废具兴。 (《岳阳楼记》) 47、属: 通“嘱”。 属予作文以记之。 (《岳阳楼记》) 48、赀: 通“资”,资财,钱财。 馔酒食,持其赀去。 (《越巫》) 49、不: 通“否”。 客问元方: “尊君在不? ”(《陈太丘与友期》) 50、直: 通“值”。 玉盘珍馐直万钱。 (《行路难》其一) 51、辟: 通“避”,躲避。 故患有所不辟也。 (《鱼我所欲也》) 52、辩: 通“辨”,辨别。 万钟则不辩礼义而受之。 (《鱼我所欲也》) 53、得: 通“德”,恩惠,这里是感激。 与: 通“欤”,语气词。 所识穷乏者得我与? (《鱼我所欲也》) 54、乡: 通“向”,从前。 乡为身死而不受。 (《鱼我所欲也》) 55、信: 通“伸”。 欲信大义于天下。 (《隆中对》) 56、已: 通“以”。 自董卓已来……(《隆中对》) 57、徧: 通“遍”,遍及,普及。 小惠未徧,民弗从也。 (《曹刿论战》) 58、支: 通“肢”。 四支僵硬不能动。 (《送东阳马生序》) 59、埘: 通“橛”,指为栖鸡做的木架。 鸡栖于埘,日之夕矣,牛羊下来(《君子于役》) 小学语文学习必须了解的59个通假字,你的孩子都知道吗? 1、说(yuè): 通“悦”,愉快。 学而时习之,不亦说乎? (《论语十则》) 2、女: 通“汝”,你。 知: 通“智”,聪明。 诲女知之乎? ……是知也。 (《论语十则》) 3、还: 通“旋”,回转,掉转。 扁鹊望桓侯而还走。 (扁鹊见蔡桓公)) 4、齐: 通“剂”。 在肠胃,火齐之所及也。 (《扁鹊见蔡桓公》) 5、止: 通“只”。 担中肉尽,止有剩骨。 (《狼》) 6、亡: 通“无” 河曲智叟亡以应。 (《愚公移山》) 亡: 通“无”。 日之其所亡。 (《乐羊子妻》) 7、屏: 通“摒”。 屏弃而不用,其与昏与庸无以异也。 (《为学》) 8、帖: 通“贴”。 火: 通“伙”。 对镜帖花黄。 ……火伴皆惊忙。 (《木兰诗》) 9、尔: 通“耳”,相当于“罢了”。 无他,但手熟尔。 (《买油翁》) 10、争: 通“怎”。 争渡,争渡,惊起一滩鸥鹭。 (《如梦令》李清照) 11、见,通“现”。 路转溪头忽见。 (《西江月》辛弃疾) 见: 通“现”。 才美不外见……(《马说》) 见: 通“现”。 何时眼前突兀见此屋。 (《茅屋为秋风所破歌》) 12、(《口技》)坐: 通“座”。 满坐寂然,无敢哗者。 13、扳: 通“攀”,牵,引。 日扳仲永环谒于邑人。 (《伤仲永》) 14、反: 通“返”。 寒暑易节,始一反焉。 (《愚公移山》) 15、惠: 通“慧”,聪明。 甚矣,汝之不惠。 (《愚公移山》) 16、厝: 通“措”,放置。 一厝逆东,一厝雍南。 (《愚公移山》) 17、那: 通“哪”,怎么。 问渠那得清如许。 (《观书有感》) 18、阙: 通“缺”。 两岸连山,略无阙处。 (《三峡》) 19、强: 通“僵”,僵硬。 昂首观之,项为之强。 (《闲情记趣》) 20、道: 通“导”,引导。 傧者更道,从大门入。 (《晏子故事两篇》) 21、曷: 通“何”。 缚者曷为者也? (《晏子故事两篇》) 22、熙: 通“嬉”,开玩笑。 圣人非所与熙也。 (《晏子故事两篇》) 23、辑: 通“缉”,连缀。 饰以玫瑰,辑以翡翠。 (《买椟还珠》) 24、遽: 通“讵”,岂。 此何遽不为福乎? (《塞翁失马》) 25、距: 通“拒”,挡。 ……子墨子九距之。 (《公输》) 26、诎: 通“屈”,折服。 公输盘诎,而曰……(《公输》) 27、有: 通“又”。 舟首尾长约八分有奇。 (《核舟记》) 28、衡: 通“横”。 左手倚一衡木。 (《核舟记》) 衡: 通“横”,梗塞,这里指不顺。 困于心,衡于虑。 (《生于忧患,死于安乐》) 29、甫: 通“父”。 虞山王毅叔远甫刻。 (《核舟记》) 30、简: 通“拣”,挑选。 盖简桃核修狭者为之。 (《核舟记》) 31、错: 通“措”。 以君为长者,故不错意也。 (《唐雎不辱使命》) 32、仓: 通“苍”。 要离之刺庆忌也,仓鹰击于殿上。 (《唐雎不辱使命》) 33、裁: 通“才”,仅仅。 数至八层,裁如星点。 (《山市》) 34、適: 通“谪”。 发闾左適戍渔阳九百人。 (《陈涉世家》) 35、唱: 通“倡”,倡导。 为天下唱,宜多应者。 (《陈涉世家》) 36、以: 通“已”。 得鱼腹中书,固以怪之矣。 (《陈涉世家》) 37、被: 通“披”。 将军身被坚执锐。 (《陈涉世家》) 被: 通“披”。 同舍生皆被绮绣。 (《送东阳马生序》) 38、食: 通“饲”,喂。 食马者不知其能千里而食也。 (《马说》) 39、材: 通“才”。 食之不能尽其材。 (《马说》) 40、邪: 通“耶”,表示疑问,相当于“吗”。 其真无马邪? (《马说》) 41、僇: 通“戮”,遭到贬谪。 自余为僇人,……(《始得西山宴游记》) 42、暴: 通“曝”。 而游者皆暴日中。 (《峡江寺飞泉亭记》) 43、畔: 通“叛”。 寡助之至,亲戚畔之。 (《得道多助,失道寡助》) 44、曾: 通“增”。 曾益其所不能。 (《生于忧患,死于安乐》) 45、拂: 通“弼”,辅佐。 入则无法家拂士。 (《生于忧患,死于安乐》) 46、具: 通“俱”,全,皆。 政通人和,百废具兴。 (《岳阳楼记》) 47、属: 通“嘱”。 属予作文以记之。 (《岳阳楼记》) 48、赀: 通“资”,资财,钱财。 馔酒食,持其赀去。 (《越巫》) 49、不: 通“否”。 客问元方: “尊君在不? ”(《陈太丘与友期》) 50、直: 通“值”。 玉盘珍馐直万钱。 (《行路难》其一) 51、辟: 通“避”,躲避。 故患有所不辟也。 (《鱼我所欲也》) 52、辩: 通“辨”,辨别。 万钟则不辩礼义而受之。 (《鱼我所欲也》) 53、得: 通“德”,恩惠,这里是感激。 与: 通“欤”,语气词。 所识穷乏者得我与? (《鱼我所欲也》) 54、乡: 通“向”,从前。 乡为身死而不受。 (《鱼我所欲也》) 55、信: 通“伸”。 欲信大义于天下。 (《隆中对》) 56、已: 通“以”。
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