相交线与平行线常考题目及问题详解绝对经典.docx

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相交线与平行线常考题目及问题详解绝对经典

相交线与平行线

一．选择题（共3小题）

1．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（　　）

A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定

2．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD，则与∠1互为余角的有（　　）

A．3个B．2个C．1个D．0个

3．如图所示，同位角共有（　　）

A．6对B．8对C．10对D．12对

二．填空题（共4小题）

4．一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成　　块．

5．如图，P点坐标为（3，3），l1⊥l2，l1、l2分别交x轴和y轴于A点和B点，则四边形OAPB的面积为　　．

6．如图，直线l1∥l2，∠1=20°，则∠2+∠3=　　．

7．将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若AE∥BC，则∠AFD的度数是　　．

评卷人

得分

三．解答题（共43小题）

8．已知：

直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，EM平∠FED，AB∥CD，H，P分别为直线AB和线段EF上的点．

（1）如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度数．

（2）如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的结论．

9．我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？

一般地，n条直线最多有多少个交点？

说明理由．

10．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．

（1）若∠EOC=70°，求∠BOD的度数．

（2）若∠EOC：

∠EOD=4：

5，求∠BOD的度数．

11．如图，直线EF，CD相交于点0，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，

（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；

（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数；（用含α的代数式表示）

（3）从

（1）

（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？

12．如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN=100°．

（1）若∠ADQ=130°，求∠BED的度数；

（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．

13．如图，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=26°

（1）求∠2的度数

（2）若∠3=19°，试判断直线n和m的位置关系，并说明理由．

14．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．

（1）若点P在图

（1）位置时，求证：

∠3=∠1+∠2；

（2）若点P在图

（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；

（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．

15．如图，已知AB∥PN∥CD．

（1）试探索∠ABC，∠BCP和∠CPN之间的数量关系，并说明理由；

（2）若∠ABC=42°，∠CPN=155°，求∠BCP的度数．

16．如图，AD∥BC，∠EAD=∠C，∠FEC=∠BAE，∠EFC=50°

（1）求证：

AE∥CD；

（2）求∠B的度数．

17．探究题：

（1）如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠E，你能说明理由吗？

（2）反之，若∠B+∠D=∠E，直线AB与直线CD有什么位置关系？

简要说明理由．

（3）若将点E移至图2的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？

直接写出结论．

（4）若将点E移至图3的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？

直接写出结论．

（5）在图4中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？

直接写出结论．

18．如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．

（1）求证：

∠AEP+∠CFP=∠EPF．

（2）如图2，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，试探索∠EPF与∠EQF之间的关系．

（3）如图3，已知∠BEQ=

∠BEP，∠DFQ=

∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系，说明理由．

（4）已知∠BEQ=

∠BEP，∠DFQ=

∠DFP，有∠P与∠Q的关系为　　．（直接写结论）

19．如图所示，L1，L2，L3交于点O，∠1=∠2，∠3：

∠1=8：

1，求∠4的度数．

20．如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．

21．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．

（1）若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；

（2）若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°．

①则∠EOF=　　．（用含x的代数式表示）

②求∠AOC的度数．

22．如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC=75°，OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：

∠EOD=2：

3．

（1）求∠EOB的度数；

（2）若OF平分∠AOE，问：

OA是∠COF的角平分线吗？

试说明理由．

23．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=72°，射线OE在∠BOD的内部，∠DOE=2∠BOE．

（1）求∠BOE和∠AOE的度数；

（2）若射线OF与OE互相垂直，请直接写出∠DOF的度数．

24．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC：

∠EOD=2：

3．

（1）求∠BOD的度数；

（2）如图2，点F在OC上，直线GH经过点F，FM平分∠OFG，且∠MFH﹣∠BOD=90°，求证：

OE∥GH．

25．如图，直线AB．CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF=90°．

（1）若∠BOE=70°，求∠AOF的度数；

（2）若∠BOD：

∠BOE=1：

2，求∠AOF的度数．

26．几何推理，看图填空：

（1）∵∠3=∠4（已知）

∴　　∥　　（　　）

（2）∵∠DBE=∠CAB（已知）

∴　　∥　　（　　）

（3）∵∠ADF+　　=180°（已知）

∴AD∥BF（　　）

27．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．

（1）若∠AOC=68°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．

（2）若OF平分∠COE，∠BOF=30°，求∠AOC的度数．

28．将一副三角板拼成如图所示的图形，∠DCE的平分线CF交DE于点F．

（1）求证：

CF∥AB．

（2）求∠DFC的度数．

29．看图填空，并在括号内注明说理依据．

如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°，AC与BD平行吗？

AE与BF平行吗？

解：

因为∠1=35°，∠2=35°（已知），

所以∠1=∠2．

所以　　∥　　（　　）．

又因为AC⊥AE（已知），

所以∠EAC=90°．（　　）

所以∠EAB=∠EAC+∠1=125°．

同理可得，∠FBG=∠FBD+∠2=　　°．

所以∠EAB=∠FBG（　　）．

所以　　∥　　（同位角相等，两直线平行）．

30．已知如图所示，∠B=∠C，点B、A、E在同一条直线上，∠EAC=∠B+∠C，且AD平分∠EAC，试说明AD∥BC的理由．

31．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分；

（1）直接写出图中∠AOC的对顶角为　　，∠BOE的邻补角为　　；

（2）若∠AOC=70°，且∠BOE：

∠EOD=2：

3，求∠AOE的度数．

32．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F

（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为　　；

（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：

∠PFD﹣∠AEM=90°；

（3）在

（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N的度数．

33．阅读下面的推理过程，在括号内填上推理的依据，如图：

因为∠1+∠2=180°，∠2+∠4=180°（已知）

所以∠1=∠4，（　　）

所以a∥c．（　　）

又因为∠2+∠3=180°（已知）

∠3=∠6（　　）

所以∠2+∠6=180°，（　　）

所以a∥b．（　　）

所以b∥c．（　　）

34．已知：

如图，AB∥CD，FG∥HD，∠B=100°，FE为∠CEB的平分线，求∠EDH的度数．

35．已知：

如图，AB∥CD，FE⊥AB于G，∠EMD=134°，求∠GEM的度数．

36．如图，∠B和∠D的两边分别平行．

（1）在图1中，∠B和∠D的数量关系是　　，在图2中，∠B和∠D的数量关系是　　；

（2）用一句话归纳的命题为：

　　；并请选择图1或图2中一种情况说明理由；

（3）应用：

若两个角的两边分别互相平行，其中一个角是另一个角的2倍，求这两个角的度数．

37．已知AD∥BC，AB∥CD，E为射线BC上一点，AE平分∠BAD．

（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：

∠BAE=∠BEA．

（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，连接DE，若∠ADE=3∠CDE，∠AED=60°．

①求证：

∠ABC=∠ADC；

②求∠CED的度数．

38．如图，已知a∥b，ABCDE是夹在直线a，b之间的一条折线，试研究∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的大小之间有怎样的等量关系？

请说明理由．

39．如图，AB∥DC，增加折线条数，相应角的个数也会增多，∠B，∠E，∠F，∠G，∠D之间又会有何关系？

40．已知直线AB∥CD，

（1）如图1，点E在直线BD上的左侧，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是　　．

（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，直接写出∠BFD和∠BED的数量关系是　　．

（3）如图3，点E在直线BD的右侧BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？

请说明理由．

41．

（1）如图，直线a，b，c两两相交，∠3=2∠1，∠2=155°，求∠4的度数．

（2）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：

∠BOE=4：

1，求∠AOF的度数．

42．如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2．试说明DF∥AE．请你完成下列填空，把解答过程补充完整．

解：

∵CD⊥DA，DA⊥AB，

∴∠CDA=90°，∠DAB=90°．（　　）

∴∠CDA=∠DAB．（等量代换）

又∠1=∠2，

从而∠CDA﹣∠1=∠DAB﹣　　．（等式的性质）

即∠3=　　．

∴DF∥AE．（　　）．

43．如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．

（1）说明：

∠O=∠BEO+∠DFO．

（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足怎样的关系，证明你的结论．

（3）若将折线继续折下去，折三次，折四次…折n次，又会得到怎样的结论？

请写出你的结论．

44．如图，已知∠1=60°，∠2=60°，∠MAE=45°，∠FEG=15°，EG平分∠AEC，∠NCE=75°．求证：

（1）AB∥EF．

（2）AB∥ND．

45．如图，∠E=∠1，∠3+∠ABC=180°，BE是∠ABC的角平分线．

求证：

DF∥AB．

46．已知，直线AB∥CD，E为AB、CD间的一点，连结EA、EC．

（1）如图①，若∠A=30°，∠C=40°，则∠AEC=　　．

（2）如图②，若∠A=100°，∠C=120°，则∠AEC=　　．

（3）如图③，请直接写出∠A，∠C与∠AEC之间关系是　　．

47．如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点G，若∠1=30°，试求∠F的度数．

48．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：

（1）请你计算出图1中的∠ABC的度数．

（2）图2中AE∥BC，请你计算出∠AFD的度数．

49．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF对折，延长DE交BF于点G，若∠EFG=50°，求∠1，∠2的度数．

50．如图所示，在长方体中．

（1）图中和AB平行的线段有哪些？

（2）图中和AB垂直的直线有哪些？

参考答案及解析　

一．选择题（共3小题）

1．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（　　）

A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定

【分析】如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“垂直于同一条直线的两直线平行”，可知L1与L8的位置关系是平行．

【解答】解：

∵l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，l5⊥l6，l6∥l7，l7⊥l8，

∴l2⊥l4，l4⊥l6，l6⊥l8，

∴l2⊥l8．

∵l1⊥l2，

∴l1∥l8．

故选A

【点评】灵活运用“垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．

2．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD，则与∠1互为余角的有（　　）

A．3个B．2个C．1个D．0个

【分析】由OE⊥AB，OF⊥CD可知：

∠AOE=∠DOF=90°，而∠1、∠AOF都与∠EOF互余，可知∠1=∠AOF，因而可以转化为求∠1和∠AOF的余角共有多少个．

【解答】解：

∵OE⊥AB，OF⊥CD，

∴∠AOE=∠DOF=90°，

即∠AOF+∠EOF=∠EOF+∠1，

∴∠1=∠AOF，

∴∠COA+∠1=∠1+∠EOF=∠1+∠BOD=90°．

∴与∠1互为余角的有∠COA、∠EOF、∠BOD三个．

故选A．

【点评】本题解决的关键是由已知联想到可以转化为求∠1和∠AOF的余角．

3．如图所示，同位角共有（　　）

A．6对B．8对C．10对D．12对

【分析】在基本图形“三线八角”中有四对同位角，再看增加射线GM、HN后，增加了多少对同位角，求总和．

【解答】解：

如图，由AB、CD、EF组成的“三线八角”中同位角有四对，

射线GM和直线CD被直线EF所截，形成2对同位角；

射线GM和直线HN被直线EF所截，形成2对同位角；

射线HN和直线AB被直线EF所截，形成2对同位角．

则总共10对．

故选C．

【点评】本题主要考查同位角的概念．即两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．

二．填空题（共4小题）

4．一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成　8　块．

【分析】一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成23=8块．

【解答】解：

长方体橡皮可以想象为立体图形，第一次最多切2块，第二次在第一次的基础上增加2倍，第三次在第二次的基础上又增加2倍，故最多能被分成8块．

【点评】本题考查了学生的空间想象能力，分清如何分得到的块数最多是解决本题的关键．

5．如图，P点坐标为（3，3），l1⊥l2，l1、l2分别交x轴和y轴于A点和B点，则四边形OAPB的面积为　9　．

【分析】过P分别作x轴和y轴的垂线，交x轴和y轴与C和D．构造全等三角形△PDB≌△PCA（ASA）、正方形CODP；所以S四边形OAPB=S正方形ODPC=3×3=9．

【解答】解：

过P分别作x轴和y轴的垂线，交x轴和y轴于点C和D．

∵P点坐标为（3，3），

∴PC=PD；

又∵l1⊥l2，

∴∠BPA=90°；

又∵∠DPC=90°，

∴∠DPB=∠CPA，

在△PDB和△PCA中

∴△PDB≌△PCA（ASA），

∴S△DPB=S△PCA，

S四边形OAPB=S正方形ODPC+S△PCA﹣S△DPB，

即S四边形OAPB=S正方形ODPC=3×3=9．

故答案是：

9．

【点评】本题综合考查了垂线、坐标与图形性质、三角形的面积．解答此题时，利用了“割补法”求四边形OAPB的面积．

6．如图，直线l1∥l2，∠1=20°，则∠2+∠3=　200°　．

【分析】过∠2的顶点作l2的平行线l，则l∥l1∥l2，由平行线的性质得出∠4=∠1=20°，∠BAC+∠3=180°，即可得出∠2+∠3=200°．

【解答】解：

过∠2的顶点作l2的平行线l，如图所示：

则l∥l1∥l2，

∴∠4=∠1=20°，∠BAC+∠3=180°，

∴∠2+∠3=180°+20°=200°；

故答案为：

200°．

【点评】本题考查了平行线性质：

两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．

7．将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若AE∥BC，则∠AFD的度数是　75°　．

【分析】根据平行线的性质得到∠EDC=∠E=45°，根据三角形的外角性质得到∠AFD=∠C+∠EDC，代入即可求出答案．

【解答】解：

∵∠EAD=∠E=45°，

∵AE∥BC，

∴∠EDC=∠E=45°，

∵∠C=30°，

∴∠AFD=∠C+∠EDC=75°，

故答案为：

75°．

【点评】本题主要考查对平行线的性质，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，能利用性质进行推理是解此题的关键，题型较好，难度适中．

三．解答题（共43小题）

8．已知：

直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，EM平∠FED，AB∥CD，H，P分别为直线AB和线段EF上的点．

（1）如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度数．

（2）如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的结论．

【分析】

（1）首先作MQ∥AB，根据平行线的性质，推得∠M=

（∠FHP+∠HFP）；然后根据HP⊥EF，推得∠FHP+∠HFP=90°，据此求出∠M的度数即可．

（2）①首先判断出∠NEQ=∠NEF+∠QEF=

（∠HEF+∠DEF）=

∠HED，然后根据NQ⊥EM，可得∠NEQ+∠ENQ=90°，推得∠ENQ=

（180°﹣∠HED）=

∠CEH，再根据AB∥CD，推得∠FHE=2∠ENQ即可．

②首先判断出∠NEQ=∠QEF﹣∠NEF=

（∠DEF﹣∠HEF）=

∠HED，然后根据NQ⊥EM，可得∠NEQ+∠ENQ=90°，推得∠ENQ=

（180°﹣∠HED）=

∠CEH，再根据AB∥CD，推得∠FHE=180°﹣2∠ENQ即可．

【解答】解：

（1）如图1，作MQ∥AB，

，

∵AB∥CD，MQ∥AB，

∴MQ∥CD，

∴∠1=∠FHM，∠2=∠DEM，

∴∠1+∠2=∠FHM+∠DEM=

（∠FHP+∠FED）=

（∠FHP+∠HFP），

∵HP⊥EF，

∴∠HPF=90°，

∴∠FHP+∠HFP=180°﹣90°=90°，

∵∠1+∠2=∠M，

∴∠M=

．

（2）①如图2，

，

∠FHE=2∠ENQ，理由如下：

∠NEQ=∠NEF+∠QEF=

（∠HEF+∠DEF）=

∠HED，

∵NQ⊥EM，

∴∠NEQ+∠ENQ=90°，

∴∠ENQ=

（180°﹣∠HED）=

∠CEH，

∵AB∥CD，

∴∠FHE=∠CEH=2∠ENQ．

②如图3，

，

∠FHE=180°﹣2∠ENQ，理由如下：

∠NEQ=∠QEF﹣∠NEF=

（∠DEF﹣∠HEF）=

∠HED，

∵NQ⊥EM，

∴∠NEQ+∠ENQ=90°，

∴∠ENQ=

（180°﹣∠HED）=

∠CEH，

∵AB∥CD，

∴∠FHE=180°﹣∠CEH=180°﹣2∠ENQ．

综上，可得

当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，∠FHE=2∠ENQ或∠FHE=180°﹣2∠ENQ．

【点评】此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

①定理1：

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：

两直线平行，同位角相等．定理2：

两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：

两直线平行，同旁内角互补．③定理3：

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：

两直线平行，内错角相等．

9．我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？

一般地，n条直线最多有多少个交点？

说明理由．

【分析】分别求出2条、3条、4条、5条、6条直线相交时最多的交点个数，找出规律即可解答．

【解答】解：

如图：

2条直线相交有1个交点；

3条直线相交有1+2个交点；

4条直线相交有1+2+3个交点；

5条直线相交有1+2+3+4个交点；

6条直线相交有1+2+3+4+5个交点；

…

n条直线相交有1+2+3+4+5+…+（n﹣1）=

个交点．

【点评】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交有

个交点．

10．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．

（1）若∠EOC=70°，求∠BOD的度数．

（2）若∠EOC：

∠EOD=4：

5，求∠BOD的度数．

【分析】

（1）根据角平分线的定义求出∠AOC的度数，根据对顶角相等得到答案；

（2）设∠EOC=4x，根据邻补角的概念列出方程，解方程求出∠EOC=80°，根据角平分线的定义和对顶角相等计算即可得到答案．

【解答】解：

（1）∵∠EOC=70°，OA平分∠EOC，

∴∠AOC=35°，

∴∠BOD=∠AOC=35°；

（2）设∠EOC=4x，则∠EOD=5x，

∴5x+4x=180°，

解得x=20°，

则∠EOC=80°，

又∵OA平分∠EOC，

∴∠AOC=40°，

∴∠BOD=∠AOC=40°．

【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质以及角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键．

11．如图，直线EF，CD相交于点0，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，

（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；

（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数；（用含α的代数式表示）

（3）从

（1）

（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？

【分析】

（1）、

（2）根据平角的性质求得∠AOF，又有角平分线的性质求得∠FOC；然后根据对顶角相等求得∠EOD=∠FOC；∠BOE=∠AOB﹣∠AOE，∠BOD=∠EOD﹣∠BOE；

（3）由

（1）、

（2）的结果找出它们之间的倍数关系．

【解答】解：

（1）∵∠AOE+∠AOF=180°（互为补角），∠AOE=40°，

∴∠AOF=140°；

又∵OC平分∠AOF，

∴∠FOC=

∠AOF=70°，

∴∠EOD=∠FOC=70°（对顶角相等）；

而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=50°，

∴∠BOD=∠EOD