人教版九年级数学上册《二次函数》培优练习含答案.docx
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人教版九年级数学上册《二次函数》培优练习含答案
人教版九年级数学上册《二次函数》培优练习(含答案)
一.选择题
1.下列函数是二次函数的是( )
A.y=x+
B.y=3(x﹣1)2C.y=ax2+bx+cD.y=
+3x
2.抛物线y=x2﹣6x+4的顶点坐标是( )
A.(3,5)B.(﹣3,5)C.(3,﹣5)D.(﹣3,﹣5)
3.抛物线y=(x﹣1)2+2的顶点坐标是( )
A.(1,2)B.(1,﹣2)C.(﹣1,2)D.(﹣1,﹣2)
4.一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c在同一直角坐标系中大致的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
5.二次函数y=2(x﹣3)2+2图象向左平移6个单位,再向下平移2个单位后,所得图象的函数表达式是( )
A.y=2x2﹣12xB.y=﹣2x2+6x+12C.y=2x2+12x+18D.y=﹣2x2﹣6x+18
6.如图是抛物线形拱桥,当拱顶高离水面2m时,水面宽4m,水面下降2.5m,水面宽度增加( )
A.1mB.2mC.3mD.6m
7.二次函数y=﹣3x2+6x变形为y=a(x+m)2+n形式,正确的是( )
A.y=﹣3(x+1)2﹣3B.y=﹣3(x﹣1)2﹣3C.y=﹣3(x+1)2+3D.y=﹣3(x﹣1)2+3
8.二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是( )
A.k<3B.k<3且k≠0C.k≤3D.k≤3且k≠0
9.已知二次函数y=2x2﹣bx+1,当x<1时,y随x的增大而减小,则实数b的取值范围为( )
A.b≤4B.b≥2C.b≤2D.b≥4
10.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如右图所示,则a、b、c满足( )
A.a>0,b>0,c<0B.a>0,b<0,c<0C.a<0,b>0,c>0D.a>0,b<0,c>0
二.填空题
11.若函数y=x2﹣2
x+1图象与直线
有两个交点,则b为 .
12.若二次函数y=ax2+4ax+c的最大值为4,且图象过点(﹣3,0),则二次函数解析式为:
.
13.如果y=(k﹣3)x2+k(x﹣3)是二次函数,那么k需满足的条件是 .
14.如图,抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A,B,把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1,将C1向右平移得C2,C2与x轴交于点B,D,若直线y=x+m与C1,C2共有3个不同的交点,则m的取值范围是 .
15.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:
①b2>4ac;
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3;
③a>
;
④当y>0时,x的取值范围是﹣1<x≤3;
⑤当x>0时,y随x增大而增大.
上述五个结论中正确的有 (填序号)
三.解答题
16.如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(3,0)两点.
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)当0<x<3时,求y的取值范围.
17.某商店经销一种学生用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元,市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系:
y=﹣x+60(30≤x≤60).设这种双肩包每天的销售利润为w元.
(1)求w与x之间的函数解析式;
(2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?
最大利润是多少元?
(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为多少元?
18.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,﹣1)和C(4,5)三点.
(1)求二次函数的解析式,对称轴,顶点坐标;
(2)画二次函数的图象并标出图象与x轴的另一个交点为D,求点D的坐标.
19.小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数:
y=﹣10x+500,在销售过程中销售单价不低于成本价,而每件的利润不高于成本价的60%.
(1)设小明每月获得利润为w(元),求每月获得利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围.
(2)当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
每月的最大利润是多少?
(3)如果小明想要每月获得的利润不低于2000元,那么小明每月的成本最少需要多少元?
(成本=进价×销售量)
20.如图1,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(﹣3,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?
若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在
(1)中抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?
若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)如图2,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.
参考答案
一.选择题
1.解:
A、y=x+
是一次函数,此选项错误;
B、y=3(x﹣1)2是二次函数,此选项正确;
C、y=ax2+bx+c不是二次函数,此选项错误;
D、y=
+3x不是二次函数,此选项错误;
故选:
B.
2.解:
y=x2﹣6x+4=(x﹣3)2﹣5,
故抛物线y=x2﹣6x+4的顶点坐标是:
(3,﹣5).
故选:
C.
3.解:
y=(x﹣1)2+2的顶点坐标为(1,2).
故选:
A.
4.解:
∵一次函数和二次函数都经过y轴上的(0,c),
∴两个函数图象交于y轴上的同一点,排除D;
当a>0时,二次函数开口向上,一次函数经过一、三象限,排除A;
当a<0时,二次函数开口向下,一次函数经过二、四象限,排除B;
故选:
C.
5.解:
二次函数y=2(x﹣3)2+2图象向左平移6个单位,再向下平移2个单位后,所得图象的函数表达式是:
y=2(x﹣3+6)2+2﹣2,即y=2x2+12x+18.
故选:
C.
6.解:
建立平面直角坐标系,设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点O且通过C点,则通过画图可得知O为原点,
抛物线以y轴为对称轴,且经过A,B两点,OA和OB可求出为AB的一半2米,抛物线顶点C坐标为(0,2),
设顶点式y=ax2+2,把A点坐标(﹣2,0)代入得a=﹣0.5,
∴抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2,
当水面下降2.5米,通过抛物线在图上的观察可转化为:
当y=﹣2.5时,对应的抛物线上两点之间的距离,也就是直线y=﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离,
可以通过把y=﹣2.5代入抛物线解析式得出:
﹣2.5=﹣0.5x2+2,
解得:
x=±3,
2×3﹣4=2,
所以水面下降2.5m,水面宽度增加2米.
故选:
B.
7.解:
y=﹣3x2+6x=﹣3(x2﹣2x)=﹣3(x2﹣2x+1﹣1)=﹣3(x﹣1)2+3
故选:
D.
8.解:
∵二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点,
∴方程kx2﹣6x+3=0(k≠0)有实数根,
即△=36﹣12k≥0,k≤3,由于是二次函数,故k≠0,则k的取值范围是k≤3且k≠0.
故选:
D.
9.解:
∵y=2x2﹣bx+1,
∴对称轴为x=
,
∵当x<1时,y随x的增大而减小,
∴
≥1,
∴b≥4,
故选:
D.
10.解:
∵二次函数的图象开口向上,
∴a>0,
∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上,
∴c<0,
∵二次函数的对称轴在y轴的右边,
∴﹣
>0,
∴
<0,
∵a>0,
∴b<0,
故选:
B.
二.填空题(共5小题)
11.解:
将y=x2﹣2
x+1和
组成方程组得,
,
整理得,x2﹣
x+1﹣b=0,
∵
两函数有两个交点,
∴△>0,
∴(﹣
)2﹣4(1﹣b)>0,
解得b>﹣
,
故答案为b>﹣
.
12.解:
抛物线的对称轴为直线x=﹣
=﹣2,
所以抛物线的顶点坐标为(﹣2,4),
设抛物线解析式为y=a(x+2)2+4,
把(﹣3,0)代入得a•(﹣3+2)2+4=0,解得a=﹣4,
所以抛物线解析式为y=﹣4(x+2)2+4.
故答案为y=﹣4(x+2)2+4.
13.解:
∵y=(k﹣3)x2+k(x﹣3)是二次函数,
∴k﹣3≠0,
解得:
k≠3,
∴k需满足的条件是:
k≠3,
故答案为:
k≠3.
14.解:
令y=﹣2x2+8x﹣6=0,
即x2﹣4x+3=0,
解得x=1或3,
则点A(1,0),B(3,0),
由于将C1向右平移2个长度单位得C2,
则C2解析式为y=﹣2(x﹣4)2+2(3≤x≤5),
当y=x+m1与C2相切时,
令y=x+m1=y=﹣2(x﹣4)2+2,
即2x2﹣15x+30+m1=0,
△=﹣8m1﹣15=0,
解得m1=﹣
,
当y=x+m2过点B时,
即0=3+m2,
m2=﹣3,
当﹣3<m<﹣
时直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点,
故答案是:
﹣3<m<﹣
.
15.解:
∵抛物线与x轴有2个交点,
∴b2﹣4ac>0,即b2>4ac,所以①正确;
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
而点(﹣1,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(3,0),
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3,所以②正确;
∵x=﹣
=1,即b=﹣2a,
而x=﹣1时,y=0,即a﹣b+c=0,
∴a+2a+c=0,
∴3a+c=0,即a=﹣
,所以③错误;
∵抛物线与x轴的两点坐标为(﹣1,0),(3,0),
∴当﹣1<x<3时,y>0,所以④错误;
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴当x<1时,y随x增大而增大,所以⑤错误.
故答案为①②.
三.解答题(共5小题)
16.解:
(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(3,0)两点,
∴
,解得
,
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴顶点坐标为(1,﹣4);
(2)∵y=(x﹣1)2﹣4,
∴抛物线开口向上,对称轴为x=1,
∴当x<1时,y随x的增大而减小,当x>1时,y随x的增大而增大,
∴当0<x<1时,当x=0时,y有最大值为﹣3,当x=1时,y有最小值为﹣4,
当1<x<3时,当x=3时,y有最大值为0,当x=1时,y有最小值为﹣4,
∴当0<x<3时,﹣4≤y<0.
17.解:
(1)w=(x﹣30)•y
=(﹣x+60)(x﹣30)
=﹣x2+30x+60x﹣1800
=﹣x2+90x﹣1800,
w与x之间的函数解析式w=﹣x2+90x﹣1800;
(2)根据题意得:
w=﹣x2+90x﹣1800=﹣(x﹣45)2+225,
∵﹣1<0,
当x=45时,w有最大值,最大值是225.
(3)当w=200时,﹣x2+90x﹣1800=200,
解得x1=40,x2=50,
∵50>42,x2=50不符合题意,舍,
答:
该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为40元.
18.解:
(1)把A(2,0),B(0,﹣1),C(4,5)代入得:
,
解得:
,
则二次函数解析式为y=
x2﹣
x﹣1=
(x﹣
)2﹣
,即对称轴为直线x=
,顶点坐标为(
,﹣
);
(2)如图所示:
y=
x2﹣
x﹣1,令y=0,得到
x2﹣
x﹣1=0,
解得:
x=2或x=﹣1,
则D(﹣1,0).
19.解:
(1)由题意,得:
w=(x﹣20)•y=(x﹣20)•(﹣10x+500)=﹣10x2+700x﹣10000,即w=﹣10x2+700x﹣10000(20≤x≤32)
(2)对于函数w=﹣10x2+700x﹣10000的图象的对称轴是直线
.
又∵a=﹣10<0,抛物线开口向下.
∴当20≤x≤32时,W随着x的增大而增大,
∴当x=32时,W=2160
答:
当销售单价定为32元时,每月可获得最大利润,最大利润是2160元.
(3)取W=2000得,﹣10x2+700x﹣10000=2000
解这个方程得:
x1=30,x2=40.
∵a=﹣10<0,抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时,w≥2000.
∵20≤x≤32
∴当30≤x≤32时,w≥2000.
设每月的成本为P(元),由题意,得:
P=20(﹣10x+500)=﹣200x+10000
∵k=﹣200<0,
∴P随x的增大而减小.
∴当x=32时,P的值最小,P最小值=3600.
答:
想要每月获得的利润不低于2000元,小明每月的成本最少为3600元.
20.解:
(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(﹣3,0),
∴
,
解得:
.
∴所求抛物线解析式为:
y=﹣x2﹣2x+3;
(2)如答图1,
∵抛物线解析式为:
y=﹣x2﹣2x+3,
∴其对称轴为x=
=﹣1,
∴设P点坐标为(﹣1,a),当x=0时,y=3,
∴C(0,3),M(﹣1,0)
∴当CP=PM时,(﹣1)2+(3﹣a)2=a2,解得a=
,
∴P点坐标为:
P1(﹣1,
);
∴当CM=PM时,(﹣1)2+32=a2,解得a=±
,
∴P点坐标为:
P2(﹣1,
)或P3(﹣1,﹣
);
∴当CM=CP时,由勾股定理得:
(﹣1)2+32=(﹣1)2+(3﹣a)2,解得a=6,
∴P点坐标为:
P4(﹣1,6).
综上所述存在符合条件的点P,其坐标为P(﹣1,
)或P(﹣1,﹣
)或P(﹣1,6)或P(﹣1,
);
(3)存在,Q(﹣1,2),理由如下:
如答图2,点C(0,3)关于对称轴x=﹣1的对称点C′的坐标是(﹣2,3),连接AC′,直线AC′与对称轴的交点即为点Q.
设直线AC′函数关系式为:
y=kx+t(k≠0).
将点A(1,0),C′(﹣2,3)代入,得
,
解得
,
所以,直线AC′函数关系式为:
y=﹣x+1.
将x=﹣1代入,得y=2,
即:
Q(﹣1,2);
(4)过点E作EF⊥x轴于点F,设E(a,﹣a2﹣2a+3)(﹣3<a<0)
∴EF=﹣a2﹣2a+3,BF=a+3,OF=﹣a
∴S四边形BOCE=
BF•EF+
(OC+EF)•OF
=
(a+3)•(﹣a2﹣2a+3)+
(﹣a2﹣2a+6)•(﹣a)
=﹣
a2﹣
a+
=﹣
(a+
)2+
,
∴当a=﹣
时,S四边形BOCE最大,且最大值为
.
此时,点E坐标为(﹣
).
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