新课标全国卷3高考理科数学试题解析.docx

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新课标全国卷3高考理科数学试题解析

绝密★启用前

2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为

A．3B．2C．1D．0

2．设复数z满足（1+i）z=2i，则∣z∣=

A．B．C．D．2

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：

万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份

D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

4．（+）（2-）5的展开式中33的系数为

A．-80B．-40C．40D．80

5．已知双曲线C：

（a＞0,b＞0）的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为

A．B．C．D．

6．设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是

A．f（x）的一个周期为−2πB．y=f（x）的图像关于直线x=对称

C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（,π）单调递减

7．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为

A．5B．4C．3D．2

8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

A．B．C．D．

9．等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为

A．-24B．-3C．3D．8

10．已知椭圆C：

，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为

A．B．C．D．

11．已知函数有唯一零点，则a=

A．B．C．D．1

12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=+，则+的最大值为

A．3B．2C．D．2

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若，满足约束条件，则的最小值为__________．

14．设等比数列满足a1+a2=–1,a1–a3=–3，则a4=___________．

15．设函数则满足的x的取值范围是_________。

16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；

②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

③直线AB与a所成角的最小值为45°；

④直线AB与a所成角的最小值为60°；

其中正确的是________。

（填写所有正确结论的编号）

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：

共60分。

17．（12分）

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2,b=2．

（1）求c；

（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积．

18．（12分）

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：

℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温

[10，15）

[15，20）

[20，25）

[25，30）

[30，35）

[35，40）

天数

2

16

36

25

7

4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：

瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：

元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：

瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

19．（12分）

如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：

平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．

20．（12分）

已知抛物线C：

y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．

（1）证明：

坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．

21．（12分）

已知函数=x﹣1﹣alnx．

（1）若，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n，﹤m，求m的最小值．

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修44：

坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：

ρ（cosθ+sinθ）-=0，M为l3与C的交点，求M的极径．

23．[选修45：

不等式选讲]（10分）

已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│．

（1）求不等式f（x）≥1的解集；

（2）若不等式f（x）≥x2–x+m的解集非空，求m的取值范围．

绝密★启用前

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题正式答案

一、选择题

1.B2.C3.A4.C5.B6.D

7.D8.B9.A10.A11.C12.A

二、填空题

13.-114.-815.16.②③

三、解答题

17.解：

（1）由已知得tanA=

在△ABC中，由余弦定理得

（2）有题设可得

故△ABD面积与△ACD面积的比值为

又△ABC的面积为

18.解：

（1）由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知

.

因此的分布列为

0.2

0.4

0.4

由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑

当时，

若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n

若最高气温位于区间，则Y=6×300+2（n-300）-4n=1200-2n;

若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n;

因此EY=2n×0.4+（1200-2n）×0.4+（800-2n）×0.2=640-0.4n

当时，

若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n;

若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n;

因此EY=2n×（0.4+0.4）+（800-2n）×0.2=160+1.2n

所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。

19.解：

（1）由题设可得，

又是直角三角形，所以

取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO

又由于

所以

（2）

由题设及

（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则

由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E.故

设是平面DAE的法向量，则

可取

设是平面AEC的法向量，则同理可得

则

所以二面角D-AE-C的余弦值为

20.解

（1）设

由可得

又=4

因此OA的斜率与OB的斜率之积为

所以OA⊥OB

故坐标原点O在圆M上.

（2）由

（1）可得

故圆心M的坐标为，圆M的半径

由于圆M过点P（4，-2），因此,故

即

由

（1）可得，

所以，解得.

当m=1时，直线l的方程为x-y-2=0，圆心M的坐标为（3,1），圆M的半径为，圆M的方程为

当时，直线l的方程为，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为

21.解：

（1）的定义域为.

若，因为，所以不满足题意；

若，由知，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故x=a是在的唯一最小值点.

由于，所以当且仅当a=1时，.

故a=1

（2）由

（1）知当时，

令得，从而

故

而，所以m的最小值为3.

22.解：

（1）消去参数t得l1的普通方程；消去参数m得l2的普通方程

设P（x,y）,由题设得，消去k得.

所以C的普通方程为

（2）C的极坐标方程为

联立得.

故，从而

代入得，所以交点M的极径为.

23.解：

（1）

当时，无解；

当时，由得，，解得

当时，由解得.

所以的解集为.

（2）由得，而

且当时，.

故m的取值范围为