二次函数解决利润问题题目类型与解法.docx

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二次函数解决利润问题题目类型与解法

二次函数解决利润问题题目类型与解法

二次函数与利润

1.同步学习5页到52页例九

（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表：

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元

（1）求出y与x的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？

请直接写出结果．

答案解析

解：

（1）当1≤x＜50时，y=（200-2x）（x+40-30）=-2x2+180x+2000，

当50≤x≤90时，

y=（200-2x）（90-30）=-120x+12000，

综上所述：

y=

；

（2）当1≤x＜50时，

y=-2x2+180x+2000，

y=-2（x-45）2+6050．

∴a=-2＜0，

∴二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，

当x=45时，y最大=6050，

当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，

当x=50时，y最大=6000，

综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；

（3）①当1≤x＜50时，y=-2x2+180x+2000≥4800，

解得：

20≤x＜70，

因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；

②当50≤x≤90时，y=-120x+12000≥4800，

解得：

x≤60，

因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，

所以该商品在整个销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元

2.同步学习51页课堂过关第3题，某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：

x（元）152530…

y（件）252015

.

（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式:

（2）要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?

此时每日销售利润是多少元?

要过程.​​

（1）设经过点（15,25）（20,20）的函数关系式为y=kx+b．

∴15k+b=2520k+b=20,

解得：

k=-1b=40．

∴y=-x+40．

∴y与x的函数关系式是y=-x+40；

（2）设每日的销售利润为m元．

则m=y（x-10）

=（-x+40）（x-10）

=-x2+50x-400

=-（x-25）2+225,

∴当x=25时,m最大=225．

答：

每件产品的销售价定为25元时,每日销售利润最大是225元．

3第51页1.

某旅社有100张普通客床，每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张床租出，再提高2元，再减少10张床租出，依次变化下去，为了投资少而获利最大，每床每夜应提高租金______元．

设获利为y元，每床提高2x元

则有y=（10+2x）（100-10x）

=-20x2+100x+1000

∴x=2或3时，即提高租金为4或6元时获利最大

当租金提高4元的时候，租出的床位多一些，成本高一些所以提高六元时获利最大

故答案为 6

同步51页第4题

（2014江苏徐州）某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：

y＝ax2＋bx－75，其图像如图所示．

（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？

最大利润为多少元？

（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？

试题分析：

（1）由已知，应用待定系数法，可得二次函数解析式，根据二次函数顶点坐标的性质，可得答案.

（2）根据函数值大于或等于16，可得不等式的解集，可得答案．

试题解析：

解：

（1）y=ax2+bx﹣75图象过点（5，0）、（7，16），

∴

，解得

.

∴y与x之间的函数关系为

.

∵

∴当x=10时，y最大=25，

答：

销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元.

（2）∵函数

图象的对称轴为直线x=10，

∴点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16）.

又∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象开口向下，

∴当7≤x≤13时，y≥16．

答：

销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．

考点：

1.二次函数的应用；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.待定系数法的应用；4.二次函数的性质；5.数形结合思想的应用．

同步52页第5题，某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．

（1）求一次函数y=kx+b的表达式；

（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．

解：

（1）根据题意得

解得k=-1，b=120．

所求一次函数的表达式为y=-x+120．（2分）

（2）W=（x-60）•（-x+120）

=-x2+180x-7200

=-（x-90）2+900，（4分）

∵抛物线的开口向下，

∴当x＜90时，W随x的增大而增大，

而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，

即60≤x≤60×（1+45%），

∴60≤x≤87，

∴当x=87时，W=-（87-90）2+900=891．

∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．（6分）

（3）由W≥500，得500≤-x2+180x-7200，

整理得，x2-180x+7700≤0，

而方程x2-180x+7700=0的解为x1=70，x2=110．（7分）

即x1=70，x2=110时利润为500元，而函数y=-x2+180x-7200的开口向下，所以要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，

而60元/件≤x≤87元/件，所以，销售单价x的范围是70元/件≤x≤87元/件．（10分）

课本52页第8题

某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？

解设空闲的房间为x间，则定价增加了10x元，房价为（180+10x）元，，

由题意得，y=（180+10x）（50-x）-（50-x）×20=-10x2+340x+8000=-10（x-17）2+10890

故可得当x=17，即房间定价为180+170=350元的时候利润最大．

答：

房间定价为350元时，利润最大．

同步学习第58页第5题某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．

（1）试确定y与x之间的函数关系式；

（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？

最大利润是多少元？

（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．

（1）利用待定系数法将图中点的坐标求出一次函数解析式即可；

（2）根据利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式；

（3）令函数关系式Q≥600，解得x的范围，利用“获利不得高于40%”求得x的最大值，得出销售单价x的范围．

解：

（1）设y=kx+b，根据题意得：

{

55k+b=65

60k+b=60

解得：

k=-1，b=120．

所求一次函数的表达式为y=-x+120．

（2）利润Q与销售单价x之间的函数关系式为：

Q=（x-50）（-x+120）=-x2+170x-6000；

Q=-x2+170x-6000=-（x-85）2+1225；

∵成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．

∵获利不得高于40%，

∴最高价格为50（1+40%）=70

∴50≤x≤70，

∴当试销单价定为70元时，该商店可获最大利润，最大利润是1000元．

（3）依题意得当=﹣x2+170x﹣6000=600，解得：

x1=60，x2=110，

∴-x2+170x-6000≥600，

解得：

60≤x≤110，

∵获利不得高于40%，

∴最高价格为50（1+40%）=70，

故60≤x≤70的整数．

本题主要考查二次函数的应用，根据利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式，运用二次函数解决实际问题，比较简单．